（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題跟蹤檢測（十三）圓錐曲線的方程與性質(zhì) 理（重點(diǎn)生含解析）

（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題跟蹤檢測（十三）圓錐曲線的方程與性質(zhì) 理（重點(diǎn)生，含解析）1直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A.BC. D解析：選B不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)B(0，b)和一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0)，則直線l的方程為1，即bxcybc0.由題意知×2b，解得，即e.故選B2(2019屆高三·湖南長郡中學(xué)模擬)已知F為雙曲線C：1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，其關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率為()A. BC2 D解析：選C依題意，設(shè)雙曲線的漸近線yx的傾斜角為，則有3，tan ，雙曲線C的離心率e 2.3(2019屆高三·南寧、柳州名校聯(lián)考)已知雙曲線1(b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y28x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±3x Dy±x解析：選B由題意知，拋物線的焦點(diǎn)是(2,0)，即雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0)，則c2，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以3b22，即b1，于是雙曲線的漸近線方程為y±x.4(2018·昆明調(diào)研)過拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，若|MN|AB|，則l的傾斜角為()A15° B30°C45° D60°解析：選B分別過A，B，N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A，B，Q，由拋物線的定義知|AF|AA|，|BF|BB|，|NQ|(|AA|BB|)|AB|，因?yàn)閨MN|AB|，所以|NQ|MN|，所以MNQ60°，即直線MN的傾斜角為120°，又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為30°.5(2018·南昌模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且F1PF2，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為()A. BC1 D解析：選B如圖，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓和雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的點(diǎn)，橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實(shí)半軸長為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，|PF1|a1a2，|PF2|a1a2.設(shè)|F1F2|2c，又F1PF2，則在PF1F2中，由余弦定理得，4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos ，化簡得(2)a(2)a4c2，設(shè)橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，4，又2，4，即e1·e2，橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為.6(2018·長春質(zhì)檢)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2y21的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)F1作F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|()A1 B2C4 D解析：選A不妨設(shè)P在雙曲線的左支，如圖，延長F1H交PF2于點(diǎn)M，由于PH既是F1PF2的平分線又垂直于F1M，故PF1M為等腰三角形，|PF1|PM|且H為F1M的中點(diǎn)，所以O(shè)H為MF1F2的中位線，所以|OH|MF2|(|PF2|PM|)(|PF2|PF1|)1.7已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y28x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|_.解析：拋物線C：y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，準(zhǔn)線方程為x2.從而橢圓E的半焦距c2.可設(shè)橢圓E的方程為1(a>b>0)，因?yàn)殡x心率e，所以a4，所以b2a2c212.由題意知|AB|2×6.答案：68(2018·南寧模擬)已知橢圓1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是xy50，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(4，1)，則橢圓的離心率是_解析：設(shè)直線xy50與橢圓1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，因?yàn)锳B的中點(diǎn)M(4,1)，所以x1x28，y1y22.易知直線AB的斜率k1.由兩式相減得，0，所以·，所以，于是橢圓的離心率e.答案：9(2019屆高三·惠州調(diào)研)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過其中一個(gè)焦點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是_解析：如圖，不妨設(shè)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)，則過點(diǎn)F1與漸近線yx平行的直線為yxc，聯(lián)立解得即M.因?yàn)辄c(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓x2y2c2內(nèi)，故22<c2，化簡得b2<3a2，即c2a2<3a2，解得<2，又雙曲線的離心率e1，所以雙曲線離心率的取值范圍是(1,2)答案：(1,2)10(2018·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B，若BF1F2的周長為6，且點(diǎn)F1到直線BF2的距離為B(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)A1，A2是橢圓C長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P是橢圓C上不同于A1，A2的任意一點(diǎn)，直線A1P交直線xm于點(diǎn)M，若以MP為直徑的圓過點(diǎn)A2，求實(shí)數(shù)m的值解：(1)由題意得F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，B(0，b)，則2a2c6.直線BF2的方程為bxcybc0，所以b，即2ca.又a2b2c2，所以由可得a2，b，所以橢圓C的方程為1.(2)不妨設(shè)A1(2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)，則直線A1P的方程為y(x2)，所以M.又點(diǎn)P在橢圓C上，所以y3.若以MP為直徑的圓過點(diǎn)A2，則A2MA2P，即·0，所以·(x02，y0)(m2)(x02)(m2)(m2)(x02)(m2)(x02)0.又點(diǎn)P不同于點(diǎn)A1，A2，所以x0±2，所以m0，解得m14.11(2018·唐山模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，長為1的線段的兩端點(diǎn)C，D分別在x軸、y軸上滑動(dòng)， .記點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)(0,1)作直線與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時(shí)，求四邊形AOBM的面積解：(1)設(shè)C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由| |1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲線E的方程為x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知點(diǎn)M坐標(biāo)為(x1x2，y1y2)由題意知，直線AB的斜率存在設(shè)直線AB的方程為ykx1，代入曲線E的方程，得(k22)x22kx10，則x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2.由點(diǎn)M在曲線E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.所以|AB|x1x2|，又原點(diǎn)到直線AB的距離d，所以平行四邊形OAMB的面積S|AB|·d.12(2019屆高三·洛陽第一次統(tǒng)考)已知短軸長為2的橢圓E：1(a>b>0)，直線n的橫、縱截距分別為a，1，且原點(diǎn)O到直線n的距離為.(1)求橢圓E的方程；(2)直線l經(jīng)過橢圓E的右焦點(diǎn)F且與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓E上存在一點(diǎn)C滿足 2 0，求直線l的方程解：(1)橢圓E的短軸長為2，b1.依題意設(shè)直線n的方程為y1，由，解得a，故橢圓E的方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，顯然不符合題意當(dāng)直線l的斜率不為0或直線l的斜率不存在時(shí)，F(xiàn)(，0)，設(shè)直線l的方程為xty，由消去x，得(t23)y22ty10，y1y2，y1y2， 20，x3x1x2，y3y1y2，又點(diǎn)C在橢圓E上，y221，又y1，y1，x1x2y1y20，將x1ty1，x2ty2及代入得t21，即t1或t1.故直線l的方程為xy0或xy0.二、強(qiáng)化壓軸考法拉開分1(2018·全國卷)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|OP|，則C的離心率為()A. B2C. D解析：選C法一：不妨設(shè)一條漸近線的方程為yx，則F2到y(tǒng)x的距離db.在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO與RtF2PO中，根據(jù)余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.法二：如圖，過點(diǎn)F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P，連接PF2，由題意可知，四邊形PF1PF2為平行四邊形，且PPF2是直角三角形因?yàn)閨F2P|b，|F2O|c，所以|OP|a.又|PF1|a|F2P|，|PP|2a，所以|F2P|ab，所以ca，所以e.2(2018·合肥質(zhì)檢)已知橢圓M：y21，圓C：x2y26a2在第一象限有公共點(diǎn)P，設(shè)圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為k1，橢圓M在點(diǎn)P處的切線斜率為k2，則的取值范圍為()A(1,6) B(1,5)C(3,6) D(3,5)解析：選D由于橢圓M：y21，圓C：x2y26a2在第一象限有公共點(diǎn)P，所以解得3<a2<5.設(shè)橢圓M：y21與圓C：x2y26a2在第一象限的公共點(diǎn)P(x0，y0)，則橢圓M在點(diǎn)P處的切線方程為y0y1，圓C在P處的切線方程為x0xy0y6a2，所以k1，k2，a2，所以(3,5)3(2019屆高三·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)一條動(dòng)直線l與拋物線C：x24y相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若2，則()242的最大值為()A24 B16C8 D16解析：選B由2知G是線段AB的中點(diǎn)，()，()242()2()24·.由A，B是動(dòng)直線l與拋物線C：x24y的交點(diǎn)，不妨設(shè)A，B，4·44164216，()242的最大值為16.4(2018·合肥檢測)已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AF|3|FB|.直線l1，l2分別過點(diǎn)A，B，且與x軸平行，在直線l1，l2上分別取點(diǎn)M，N(M，N分別在點(diǎn)A，B的右側(cè))，分別作ABN和BAM的角平分線并相交于點(diǎn)P，則PAB的面積為()A. BC. D解析：選C因?yàn)閽佄锞€方程為y24x，所以其焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1，如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)B在x軸上方，過點(diǎn)B向l1作垂線，垂足為C.設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，因?yàn)閨AF|3|FB|，所以xA13(xB1)，所以xAxB2(xB1)2|FB|，所以cosBAC，所以BAC60°，因?yàn)锳P，BP分別為BAM與ABN的角平分線，所以BAP60°，ABP30°，所以APB90°，所以|AP|2|FB|2xB2，所以SPAB|AP|AB|sin 60°×2(xB1)×4(xB1)×2(xB1)2.由BAC60°，F(xiàn)(1,0)可得直線AB的方程為y(x1)，聯(lián)立解得x或x3，易知xB，所以SPAB2×2.5已知等腰梯形ABCD中，ABCD，AB2CD4，BAD60°，雙曲線以A，B為焦點(diǎn)，且與線段CD(包括端點(diǎn)C，D)有兩個(gè)交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_解析：以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，過點(diǎn)O且垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(2,0)，B(2,0)，C(1，)設(shè)以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則c2.由a2b2c2，得b24a2，當(dāng)x1時(shí)，y2a25.要使雙曲線與線段CD(包括端點(diǎn)C，D)有兩個(gè)交點(diǎn)，則a253，解得a242或0a242，由a242得a12，舍去，a242，即0a1.雙曲線的離心率e1.即該雙曲線的離心率的取值范圍是1，)答案：1，)6(2018·洛陽統(tǒng)考)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，P(x0，y0)是雙曲線C右支上的一點(diǎn)，連接PF1并過F1作垂直于PF1的直線交雙曲線左支于R，Q，其中R(x0，y0)，QF1P為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為_解析：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OP，OR，F(xiàn)2P，F(xiàn)2R，因?yàn)镻，R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以|OP|OR|，又|OF1|OF2|，PF1RQ，故四邊形F1RF2P為矩形設(shè)|PF1|m，由雙曲線的定義，得|PF2|m2a.法一：因?yàn)镼F1P為等腰直角三角形，所以|QF1|PF1|m，|PQ|m，連接QF2，則|QF2|m2a.在QPF2中，QPF245°90°135°，由余弦定理得(m2a)2(m2a)2(m)22(m2a)·m·cos 135°，化簡得m3a.在RtF1PF2中，|PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c，所以(3a)2a2(2c)2，即5a22c2，即雙曲線的離心率為.法二：因?yàn)镼F1P為等腰直角三角形，所以|QF1|PF1|m，連接QF2，則在RtQRF2中，|RQ|2m2a，|RF2|m，|QF2|m2a，由勾股定理得(2m2a)2m2(m2a)2，化簡得m3a.在RtF1PF2中，|PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c，所以(3a)2a2(2c)2，即5a22c2，即雙曲線的離心率為.答案：