2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.1.2 函數(shù)的最大（小）值學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值1理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義2會(huì)借助單調(diào)性求最值3掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值1最大值(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：xI，都有f(x)M；x0I，使得f(x0)M.那么，稱M是函數(shù)yf(x)的最大值(2)幾何意義：函數(shù)yf(x)的最大值是圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)2最小值(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：xI，都有f(x)M；x0I，使得f(x0)M.那么，稱M是函數(shù)yf(x)的最小值(2)幾何意義：函數(shù)yf(x)的最小值是圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)溫馨提示：(1)最大(小)值必須是一個(gè)函數(shù)值，是值域中的一個(gè)元素(2)并不是每一個(gè)函數(shù)都有最值，如函數(shù)y，既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值(3)最值是函數(shù)的整體性質(zhì)，即在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)研究其最值1函數(shù)yf(x)在2,2上的圖象如圖所示，試指出此函數(shù)的最小值、最大值和相應(yīng)的x的值答案f(x)的最小值為1，此時(shí)x2；f(x)的最大值為2，此時(shí)x12判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)任何函數(shù)都有最大值或最小值()(2)函數(shù)的最小值一定比最大值小()(3)函數(shù)f(x)x在2,3)上的最大值為2，無(wú)最小值()(4)函數(shù)最大值對(duì)應(yīng)圖象中的最高點(diǎn)，且該點(diǎn)只有一個(gè)()答案(1)×(2)×(3)(4)×題型一圖象法求函數(shù)的最大(小)值【典例1】(1)已知函數(shù)f(x)求f(x)的最大值、最小值；(2)畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的最小值思路導(dǎo)引作出函數(shù)f(x)的圖象，結(jié)合圖象求解解(1)作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖1)由圖象可知，當(dāng)x±1時(shí)，f(x)取最大值為f(±1)1；當(dāng)x0時(shí)，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值為1，最小值為0.(2)f(x)的圖象如圖2所示，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)和0，)，函數(shù)的最小值為f(0)1.圖象法求最大(小)值的步驟針對(duì)訓(xùn)練1利用圖象求下列函數(shù)的最大值和最小值(1)y，x1,3；(2)y|x1|x2|.解(1)作出函數(shù)圖象如右圖所示，該函數(shù)的圖象既有最高點(diǎn)，也有最低點(diǎn)(1，2)，所以函數(shù)y，x1,3有最大值，最小值2；(2)y|x1|x2|作出函數(shù)的圖象，由右圖可知，y3,3所以函數(shù)的最大值為3，最小值為3.題型二利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值【典例2】已知函數(shù)f(x)x.(1)證明：f(x)在(1，)內(nèi)是增函數(shù)；(2)求f(x)在2,4上的最值解(1)證明：設(shè)x1，x2(1，)，且x1<x2.則f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)·.x2>x1>1，x1x2<0，又x1x2>1，x1x21>0，故(x1x2)·<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，)內(nèi)是增函數(shù)(2)由(1)可知f(x)在2,4上是增函數(shù)，當(dāng)x2,4時(shí)，f(2)f(x)f(4)又f(2)2，f(4)4，f(x)在2,4上的最大值為，最小值為.函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系(1)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b上是增函數(shù)，在區(qū)間b，c)上是減函數(shù)，則函數(shù)yf(x)，x(a，c)在xb處有最大值f(b)(2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b上是減函數(shù)，在區(qū)間b，c)上是增函數(shù)，則函數(shù)yf(x)，x(a，c)在xb處有最小值f(b)(3)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是增(減)函數(shù)，則在區(qū)間a，b的左、右端點(diǎn)處分別取得最小(大)值、最大(小)值針對(duì)訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)，x2,5，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求函數(shù)f(x)的最大值和最小值解任取2x1<x25，則f(x1)，f(x2)，f(x2)f(x1)，2x1<x25，x1x2<0，x21>0，x11>0，f(x2)f(x1)<0.f(x2)<f(x1)f(x)在區(qū)間2,5上是單調(diào)減函數(shù)f(x)maxf(2)2，f(x)minf(5).題型三求二次函數(shù)的最大(小)值【典例3】(1)已知函數(shù)f(x)3x212x5，x0,3，求函數(shù)的最大值和最小值(2)求二次函數(shù)f(x)x22ax2在2,4上的最小值思路導(dǎo)引找出f(x)的對(duì)稱軸，分析對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性求最值解(1)函數(shù)f(x)3x212x53(x2)27，函數(shù)f(x)3(x2)27的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)f(x)在0,2)上遞減，在2,3上遞增，并且f(0)5，f(2)7，f(3)4，所以在0,3上，f(x)maxf(0)5，f(x)minf(2)7.(2)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是xa，當(dāng)a<2時(shí)，f(x)在2,4上是增函數(shù)，f(x)minf(2)64a.當(dāng)a>4時(shí)，f(x)在2,4上是減函數(shù)，f(x)minf(4)188a.當(dāng)2a4時(shí)，f(x)minf(a)2a2.f(x)min變式本例(2)條件變?yōu)?，若f(x)x22ax2，當(dāng)x2,4時(shí)，f(x)a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解在2,4內(nèi)，f(x)a恒成立，即ax22ax2在2,4內(nèi)恒成立，即af(x)max，x2,4又f(x)max當(dāng)a3時(shí)，a188a，解得a2，此時(shí)有2a3.當(dāng)a>3時(shí)，a64a，解得a，此時(shí)有a>3.綜上有實(shí)數(shù)a的取值范圍是2，)求解二次函數(shù)最值問(wèn)題的順序(1)確定對(duì)稱軸與拋物線的開(kāi)口方向、作圖(2)在圖象上標(biāo)出定義域的位置(3)觀察單調(diào)性寫(xiě)出最值針對(duì)訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)x22xa(x0,2)有最小值2，則f(x)的最大值為()A4 B6 C1 D2解析函數(shù)f(x)x22xa的對(duì)稱軸為x1，在0,2上為增函數(shù)，所以f(x)的最小值為f(0)a2，f(x)的最大值為f(2)8a6.答案B4已知函數(shù)f(x)x26x8，x1，a，并且f(x)的最小值為f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析如圖可知f(x)在1，a內(nèi)是單調(diào)遞減的，又f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，3，1<a3.答案(1,3題型四實(shí)際應(yīng)用中的最值【典例4】某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R(x)其中x是儀器的月產(chǎn)量(1)將利潤(rùn)表示為關(guān)于月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？(總收益總成本利潤(rùn))思路導(dǎo)引先將利潤(rùn)表示成關(guān)于x的函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性求最值解(1)月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為(20000100x)元，從而f(x)(2)當(dāng)0x400時(shí)，f(x)(x300)225000，當(dāng)x300時(shí)，f(x)max25000；當(dāng)x>400時(shí)，f(x)60000100x是減函數(shù)，f(x)<60000100×40020000<25000.當(dāng)x300時(shí)，f(x)max25000.即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為25000元求解函數(shù)最大(小)值的實(shí)際問(wèn)題應(yīng)注意的2點(diǎn)(1)解實(shí)際應(yīng)用題要弄清題意，從實(shí)際出發(fā)，引入數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式，分析函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問(wèn)題，要注意自變量的取值范圍(2)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，最大利潤(rùn)、用料最省等問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值來(lái)解決針對(duì)訓(xùn)練5將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元一個(gè)出售時(shí)，能賣出500個(gè)已知這種商品每漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)，為得到最大利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)為多少元？最大利潤(rùn)是多少？解設(shè)售價(jià)為x元，利潤(rùn)為y元，單個(gè)漲價(jià)(x50)元，銷量減少10(x50)個(gè)y(x40)(100010x)10(x70)290009000.故當(dāng)x70時(shí)，ymax9000.答：售價(jià)為70元時(shí)，利潤(rùn)最大為9000元.課堂歸納小結(jié)1求函數(shù)最大(小)值的常用方法(1)值域求出函數(shù)f(x)的值域，即可求其最值(注意必須確保存在函數(shù)值里的最值)；(2)單調(diào)性法通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求函數(shù)的最值；(3)特殊函數(shù)法利用特殊函數(shù)如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、函數(shù)yx(a>0)的單調(diào)性來(lái)求其最值.2.函數(shù)的值域與最大(小)值的區(qū)別(1)函數(shù)的值域是一個(gè)集合，函數(shù)的最值是一個(gè)函數(shù)值，它是值域的一個(gè)元素，即定義域中一定存在一個(gè)x0，使f(x0)M(最值)(2)函數(shù)的值域一定存在，但函數(shù)并不一定有最大(小)值，如yx在x(1,1)時(shí)無(wú)最值.1函數(shù)f(x)在2，)上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最大、最小值分別為()A3,0B3,1C3，無(wú)最小值D3，2解析觀察圖象可以知道，圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3)，從而其最大值是3；另外從圖象看，無(wú)最低點(diǎn)，即該函數(shù)不存在最小值故選C.答案C2已知函數(shù)f(x)|x|，x1,3，則f(x)的最大值為()A0 B1 C2 D3解析作出函數(shù)f(x)|x|，x1,3的圖象，如圖所示根據(jù)函數(shù)圖象可知，f(x)的最大值為3.答案D3下列函數(shù)在1,4上最大值為3的是()Ay2 By3x2Cyx2Dy1x解析B、C在1,4上均為增函數(shù)，A、D在1,4上均為減函數(shù)，代入端點(diǎn)值，即可求得最值，故選A.答案A4.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為_(kāi)(m)解析設(shè)矩形花園的寬為y m，則，即y40x，矩形花園的面積Sx(40x)x240x(x20)2400，當(dāng)x20時(shí)，面積最大答案205已知二次函數(shù)yx24x5，分別求下列條件下函數(shù)的最小值：(1)x1,0；(2)xa，a1解(1)二次函數(shù)yx24x5的對(duì)稱軸為x2且開(kāi)口向上，二次函數(shù)在x1,0上是單調(diào)遞減的ymin024×055.(2)當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)在xa，a1上是單調(diào)遞增的，ymina24a5；當(dāng)a12即a1時(shí)，函數(shù)在a，a1上是單調(diào)遞減的，ymin(a1)24(a1)5a22a2；當(dāng)a<2<a1即1<a<2時(shí)，ymin224×251.故函數(shù)的最小值為課后作業(yè)(二十)復(fù)習(xí)鞏固一、選擇題1函數(shù)yf(x)(2x2)的圖象如右圖所示，則函數(shù)的最大值、最小值分別為()Af(2)，f(2)Bf，f(1)Cf，fDf，f(0)解析根據(jù)函數(shù)最值定義，結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)x時(shí)，有最小值f；當(dāng)x時(shí)，有最大值f.答案C2函數(shù)yx22x2在區(qū)間2,3上的最大值、最小值分別是()A10,5 B10,1C5,1 D以上都不對(duì)解析因?yàn)閥x22x2(x1)21，且x2,3，所以當(dāng)x1時(shí)，ymin1，當(dāng)x2時(shí)，ymax(21)2110.故選B.答案B3函數(shù)y(x2)在區(qū)間0,5上的最大值、最小值分別是()A.，0 B.，0C.，D最小值為，無(wú)最大值解析因?yàn)楹瘮?shù)y在區(qū)間0,5上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x0時(shí)，ymax，當(dāng)x5時(shí)，ymin.故選C.答案C4若函數(shù)yax1在1,2上的最大值與最小值的差為2，則實(shí)數(shù)a的值是()A2B2C2或2D0解析由題意知a0，當(dāng)a>0時(shí)，有(2a1)(a1)2，解得a2；當(dāng)a<0時(shí)，有(a1)(2a1)2，解得a2.綜上知a±2.答案C5當(dāng)0x2時(shí)，a<x22x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1 B(，0C(，0) D(0，)解析令f(x)x22x，則f(x)x22x(x1)21.又x0,2，f(x)minf(0)f(2)0.a<0.答案C二、填空題6函數(shù)y，x3，1的最大值與最小值的差是_解析因?yàn)楹瘮?shù)y在3，1上為增函數(shù)，所以ymin，ymax1，所以ymaxymin1.答案7已知函數(shù)f(x)x24xa，x0,1，若f(x)有最小值2，則f(x)的最大值為_(kāi)解析函數(shù)f(x)x24xa(x2)24a，x0,1，且函數(shù)有最小值2.故當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)有最小值，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)有最大值當(dāng)x0時(shí)，f(0)a2，f(x)x24x2，當(dāng)x1時(shí)，f(x)maxf(1)124×121.答案18.如圖，某地要修建一個(gè)圓形的噴水池，水流在各個(gè)方向上以相同的拋物線路徑落下，以水池的中央為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸、豎直方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系那么水流噴出的高度h(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的函數(shù)關(guān)系式為h(x)x22x，x，則水流噴出的高度h的最大值是_m.解析由函數(shù)h(x)x22x，x的圖象可知，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是水流噴出的最高點(diǎn)此時(shí)函數(shù)取得最大值對(duì)于函數(shù)h(x)x22x，x，若x1，函數(shù)有最大值h(x)max122×1(m)于是水流噴出的最高高度是m.答案三、解答題9已知函數(shù)f(x).(1)證明：函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)；(2)求函數(shù)f(x)在1,5上的最大值和最小值解(1)證明：設(shè)x1、x2是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x2>x1>，則f(x1)f(x2).由于x2>x1>，所以x2x1>0，且(2x11)·(2x21)>0，所以f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)(2)由(1)知，函數(shù)f(x)在1,5上是減函數(shù)，因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,5的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值與最小值，即最大值為f(1)3，最小值為f(5).10求函數(shù)f(x)x22ax2在1,1上的最小值解函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線xa，且函數(shù)圖象開(kāi)口向上，如圖所示：當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在1,1上單調(diào)遞減，故f(x)minf(1)32a；當(dāng)1a1時(shí)，f(x)在1,1上先減后增，故f(x)minf(a)2a2；當(dāng)a<1時(shí)，f(x)在1,1上單調(diào)遞增，故f(x)minf(1)32a.綜上可知f(x)的最小值為f(x)min綜合運(yùn)用11函數(shù)f(x)則f(x)的最大值與最小值分別為()A10,6 B10,8C8,6 D以上都不對(duì)解析x1,2時(shí)，f(x)max2×2610，f(x)min2×168；x1,1時(shí)，f(x)max178，f(x)min176，f(x)max10，f(x)min6.答案A12已知函數(shù)yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是()A1，) B0,2C(，2 D1,2解析f(x)(x1)22，f(x)min2，f(x)max3，且f(1)2，f(0)f(2)3，1m2，故選D.答案D13某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷售一種品牌車，銷售x輛該品牌車的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1x221x和L22x.若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤(rùn)為()A90萬(wàn)元B60萬(wàn)元C120萬(wàn)元D120.25萬(wàn)元解析設(shè)公司在甲地銷售x輛，則在乙地銷售(15x)輛，公司獲利為L(zhǎng)x221x2(15x)x219x30230，當(dāng)x9或10時(shí)，L最大為120萬(wàn)元答案C14函數(shù)y|x1|x2|的最小值為_(kāi)解析化簡(jiǎn)函數(shù)為y其圖象如圖所示，所以函數(shù)的最小值為3.答案315已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，yR，總有f(x)f(y)f(xy)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，f(1).(1)求證：f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)(2)求f(x)在3,3上的最小值解(1)證明：設(shè)x1，x2是任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則x2x1>0，因?yàn)閤>0時(shí)，f(x)<0，所以f(x2x1)<0，又因?yàn)閤2(x2x1)x1，所以f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)，所以f(x2)f(x1)f(x2x1)<0，所以f(x2)<f(x1)所以f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)(2)由(1)可知f(x)在R上是減函數(shù)，所以f(x)在3,3上也是減函數(shù)，所以f(x)在3,3上的最小值為f(3)而f(3)f(1)f(2)3f(1)3×2.所以函數(shù)f(x)在3,3上的最小值是2.16