高等數(shù)學(xué)同濟件 中值定理

會計學(xué)1高等數(shù)學(xué)同濟件高等數(shù)學(xué)同濟件 中值定理中值定理0 xxyoy=f(x)且在且在x0點可導(dǎo)，若對任意點可導(dǎo)，若對任意xU(x0)有有f (x) f(x0) ，則則設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在點的某鄰域在點的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，. 0)(0 xff (x) f(x0) ，證明：證明：對任意對任意xU(x0)由由f (x) f(x0) 得得f (x) f(x0) 00)()(00 xxxfxf當(dāng)當(dāng)x x0時，時，0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx由由f (x)在在x0可導(dǎo)，知可導(dǎo)，知0)(0 xf注：若注：若x0(a,b), f (x)在在x0可導(dǎo)，可導(dǎo)， 在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)內(nèi)f (x)f(x0) 則則. 0)(0 xf第2頁/共32頁羅爾定理羅爾定理 若函數(shù)若函數(shù) f(x)滿足滿足(1)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù)(2)在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)(3) f(a)= f(b)則在則在(a,b)內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點,使使 2 Cabxyo)(xfy AB( (幾何解釋）幾何解釋）D0)( f第3頁/共32頁證證 因函數(shù)因函數(shù) f(x)閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上上連續(xù)連續(xù),故故 f(x)在在a,b上上必有最大值必有最大值M和最小值和最小值m.(1)若若M = m，則，則 f(x)= m (常數(shù)常數(shù))， 故故0)(),( fba(2)若若Mm，因，因f(a)= f(b) 故故M和和m至少有一個不在區(qū)間端點取得，至少有一個不在區(qū)間端點取得， 不妨設(shè)不妨設(shè)M不在區(qū)間端點取得，不在區(qū)間端點取得， 則存在則存在Mfba )(),(由費馬引理：由費馬引理：0)( f第4頁/共32頁例例1 證明方程證明方程 x5 5x1=0有且僅有有且僅有一個一個小于小于1 的正實根的正實根證證 設(shè)設(shè) f(x)= x5 5x1,則則f(x)在在0,1上連續(xù)上連續(xù)且且f(0)=1 ，f(1)=3由零點定理：至少存在一點由零點定理：至少存在一點x0(0,1)使使故方程故方程x5 5x1=0有小于有小于1 1的正實根的正實根. .0)(0 xf設(shè)方程設(shè)方程x5 5x1=0另有一個小于另有一個小于1的正實根的正實根x1 得得 f(x1) = 0第5頁/共32頁因因 f(x)= x5 5x1在在x0, x1(或或x1, x0)上可導(dǎo)，上可導(dǎo)，且且 f(x0) = f(x1)由羅爾定理知：在由羅爾定理知：在x0與與x1之間至少存在一點之間至少存在一點，使使0)( f而在而在(0,1)內(nèi)內(nèi), 055)(4 xxf矛盾，矛盾，故方程故方程 x5 5x1=0有且僅有有且僅有一個一個小于小于1 的正實根的正實根第6頁/共32頁練習(xí)練習(xí) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)在上在上 可導(dǎo)可導(dǎo)，且，且 0f(x)0時時,.)1ln(1xxxx 證證:設(shè)設(shè) f(t)ln(1+t) 在在0,x上應(yīng)用拉格朗日定理上應(yīng)用拉格朗日定理得得: f(x)f(0) )0)( xf即即: ln(1+x) x 11因為因為11+ f(a)= f(b) ,在在a,c上由拉格朗日定理知上由拉格朗日定理知,acafcff )()()(0 證明至少存在一點證明至少存在一點 (a,b) ，使得，使得)()(afcf 至少存在一點至少存在一點 (a,c), 使使第19頁/共32頁 (2)若若f(c) 1,n1時，證明時，證明21111211ln)1(naaaanannnn 思路：設(shè)思路：設(shè)xaxf1)( 利用拉格朗日定理證明利用拉格朗日定理證明第31頁/共32頁