《經(jīng)濟數(shù)學基礎》教案1

教學目標理解常量、變量以及函數(shù)概念，了解初等函數(shù)和分段函數(shù)的概念。熟練掌握求函數(shù)的定義域、函數(shù)值的方法，掌握將復合函數(shù)分解成較簡單函數(shù)的方法。了解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的基本特征和簡單性質。了解極限、無窮?。ù螅┝康挠嘘P概念，掌握求極限的常用方法。了解函數(shù)連續(xù)性概念，會求函數(shù)的間斷點。理解導數(shù)概念，會求曲線的切線方程，熟練掌握導數(shù)基本公式和求導數(shù)的常用方法，會求簡單的隱函數(shù)的導數(shù)。知道微分概念，會求微分。會求二階導數(shù)。重難點函數(shù)概念、導數(shù)概念和導數(shù)的計算教學內容第一編 微分學第1章 函數(shù)一、試著回答下列問題：問題1：在某過程中由兩個變量，其中一個量x變，另一個量y也變，那么變量y是變量x的函數(shù)，此話對嗎？問題2：一個函數(shù)可以由哪些要素唯一確定？問題3：函數(shù)的定義域、對應關系和值域中的任意兩個因素，是否可將函數(shù)唯一確定呢？問題4：如果y是x的函數(shù)y=f(x)，是否y與x之間的關系只能用一個解析式子表示？答：問題1：不對。根據(jù)函數(shù)定義，變量x變，變量y也變，并沒有說明y是如何隨x的變化而變化，也沒有說明每給x一個值，就有唯一的y值與之對應，因此還不能說y是x的函數(shù)。 問題2：任一函數(shù)，都可由其定義域D和對應關系f這兩個要素確定。有的教材講，確定函數(shù)有三個要素：定義域、對應關系和值域，實際上，只要定義域和對應關系確定了，值域也就隨之確定了。 問題3：不一定。例如y=sinx與y=cosx，它們的定義域相同，值域也相同，但對應關系不同，它們不是同一個函數(shù)。 問題4：不一定。表示函數(shù)的方法有：公式法、圖示法和列表法。即使對于公式法，也不一定必須用一個解析式表示，如分段函數(shù)：包含了兩個式子，但分段函數(shù)仍是一個函數(shù)。二、主要內容歸納：（一）、函數(shù)概念1、 常量與變量在所研究的問題中，保持同一確定數(shù)值的量，稱為常量。而能取不同數(shù)值的量，稱為變量。注意：常量與變量是相對的，條件改變時，可以相互轉化。2、函數(shù)定義： y=f(x) x其中x叫做自變量，y叫做因變量，x的變域D稱為函數(shù)的定義域。用圖示說明如下：Y D （ y的變化范圍） （x的變化范圍）函數(shù)的實質是兩個變量（x與y）及其對應規(guī)則f( ) （二）、初等函數(shù)微積分研究的對象主要是初等函數(shù)，但初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)構成的。1、 基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù) y=C (C是常數(shù))冪函數(shù) y=xa （a為實數(shù)）指數(shù)函數(shù) y=ax (a>0,a1)對數(shù)函數(shù) y=log ax (a>0,a1)三角函數(shù) y=sinx , y=cosx y=tanx , y=ctgx2、 復合函數(shù)y=f(u),u=(x)且u=(x)的值域是y=f(u)的定義域的子集，則y是x的復合函數(shù)：y=f(x). y u 其各量的關系圖示如下：3、 初等函數(shù)初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算及有限次的復合所構成的函數(shù)。注意：要掌握好將一個初等函數(shù)分解成較簡單函數(shù)，其步驟是自外層向內層逐層分解，切忌漏層。4、 常見函數(shù)的定義域的基本求法求一元函數(shù)y=f(x)的定義域D，即是求使函數(shù)有意義的自變量x的變化范圍。常見解析式的定義域求法有：（1）、分母不能為零；（2）、偶次根號下非負；（3）、對數(shù)式中的真數(shù)恒為正；（4）、分段函數(shù)的定義域應取各分段區(qū)間定義域的并集。5、 對應規(guī)則f( )從以上分析，對應規(guī)則f( )往往表現(xiàn)為各種運算，已知f( ) 求f( a)，只須用a取代x，代入對應規(guī)則運算即成。但應注意分段函數(shù)不同區(qū)間有不同的對應規(guī)則。（三）、函數(shù)的奇、偶性判斷函數(shù)y=f(x)的奇、偶性常見有以下方法：（1）、定義法：即在對稱區(qū)間上若滿足f(-x)=f(x) ，則y=f(x)為偶函數(shù)，若滿足f(-x) = -f(x) ，則y=f(x)為奇函數(shù)，否則y=f(x)為非奇非偶函數(shù)。（2）、符合法：記偶為，記奇為，則有：，即“同號”相乘除為，“異號” 相乘除為。記住這些常見函數(shù)的奇、偶性，用符合法可以判斷很多函數(shù)的奇、偶性。（3）、圖象法：奇函數(shù)關于原點對稱 偶函數(shù)關于y軸對稱圖象法即利用奇函數(shù)關于原點對稱、偶函數(shù)關于y軸對稱來判斷函數(shù)的奇、偶性。 （四）、經(jīng)濟中常用的函數(shù)1、需求函數(shù)：qd =q(p), qd需求量，p價格2、供給函數(shù)：qs=q(p), qs需求量，p價格3、總成本函數(shù)：C(x)=C1+C2(x), q產量C1為固定成本，C2(x)為變動成本4、收入函數(shù)：R(q)=q.p(q), q銷售量，p價格6、 利潤函數(shù)：L（q）=R(q) C(q) 三、重點、難點：重點：1、函數(shù)y=f(x)的兩要素；2、 函數(shù)的奇偶性；3、 基本初等函數(shù)；4、 經(jīng)濟中常用的函數(shù)。難點：經(jīng)濟中常用的函數(shù)。四、實例分析：例1、 求下列函數(shù)定義域 （1）、分析：應同時要求分母0，偶次根號下非負，于是 解：要使函數(shù)有意義，必須使： （2）、分析：要求分母0且對數(shù)真數(shù)>0、偶次根號下非負，于是 解：要使函數(shù)有意義，必須使：對照練習1、求下列函數(shù)定義域：例2、求分段函數(shù)的定義域：分析：分段函數(shù)的定義域應是各段定義域的并集對照練習2、求分段函數(shù)的定義域：例3、 函數(shù)f(x)的定義域是1，2，求函數(shù)f(x+1)的定義域。 分析：已知f(x)的定義域為1，2， 有f(x+1)的定義域要求1x+12,即0x1,即f(x+1)的定義域為D=0，1對照練習3、函數(shù)f(x)的定義域是2，3，求函數(shù)f(x+1)的定義域。例4、 設g（t）=t36,求g（t2）, g（t）2 分析：函數(shù)關系為g( )=( )36，（1）用t2代t，即求出g（t2）；（2）求g（t）2即是求該函數(shù)的平方。 解：g（t2）(t2 )36t66g（t）2=（ t36）2對照練習4、設f(x)= x2+5,求f(1/x)，ff(x)求f(0) ，f(2) ，f(4)分析：求分段函數(shù)的函數(shù)值應將自白變量的取值代入所在區(qū)間對應的表達式中。解：f(0)= 02+1=1f(2) 無意義 （2不在f(x)的定義域內）f(4)=942=7對照練習5、在上例中，求f(1) ，f(5)例6、下列函數(shù)對中，（ ）表示相同函數(shù)分析：兩個函數(shù)相同是當且僅當其定義域和對應規(guī)則分別相同。解：選擇A，因為f(x)與g(x)的定義域均為（-，+），對應規(guī)則也相同（sin2x+cos2x=1）對照練習6、下列函數(shù)對中，（ ）表示相同函數(shù)例7、找出下列函數(shù)的奇函數(shù) 對照練習7、找出下列函數(shù)的偶函數(shù)例8、某廠生產一種元器件，設計能力為日產100件，每日的固定成本為150元，每件的平均可變成本為10元。（1）、試求該廠此元器件的日總成本函數(shù)及平均成本函數(shù)；（2）、若每件售價14元，試寫出總收入函數(shù)；（3）、試寫出利潤函數(shù)。解：設總成本函數(shù)為C（q）,平均成本函數(shù)為A(q),總收入函數(shù)為R(q),利潤函數(shù)為L（q）其中：q為生產量（銷售量），則有：（1）、C（q）=固定成本+變動成本 =150+10q，（0q100）A(q)= C（q）q=150q 10（2）、R(q)=14q（3）、L（q）= R(q)C（q） =14q(150 10q) =4q150對照練習8、已知某產品固定成本為2000元，每生產一件產品，成本增加50元，則生產q件產品的平均成本為何函數(shù)？五、問題解答：對照練習答案第2章 一元函數(shù)微分學第一部分 極限與連續(xù)一、試著回答下列問題：問題1：什么是函數(shù)的極限過程？函數(shù)的極限過程是用什么指標來衡量的？為什么說函數(shù)極限存在與否取決于函數(shù)極限過程？問題2：設有函數(shù)yf(x)3x2，當x2時，f(x)3x24，而f(2)4，即f(x)在x2的函數(shù)值f(2)4，這兩件事有什么不同？問題3：怎樣直觀描述函數(shù)的極限？問題4：能否直接稱是無窮大量或無窮小量呢？答：問題1：因為微積分研究的是變量間的變化關系，也就是函數(shù)關系，而在極限中往往用自變量x的變化去刻畫變化過程，去研究相應的函數(shù)f(x)的變化趨勢，所以函數(shù)的極限過程是指：函數(shù)的自變量x的變化過程。而自變量x的變化過程有各種情形：xx0, xx0 , xx0 , x, x, x 等等。顯然，函數(shù)yf(x)的變化趨勢，或存在極限或不存在極限都與極限過程有關，也就是與自變量x的各種變化過程有關，同一函數(shù)yf(x)對不同極限過程就有不同的變化趨勢。例如：yf(x) 1x，當x1時，f(x) 1；當x12時，f(x) 2 等等。 問題2：當x2時，yf(x)3x2的值如下表：x19199199919999200012001201213x23739739973999740003400340343由此可以看出：當x2時，（包括小于2和大于2的值），yf(x)3x24。在討論x趨于2時，yf(x)3x2的極限過程中，并未提及yf(2)4這一事實，其原因在于yf(2)描寫的是x 2時 yf(x)的值，而我們所研究的卻是當x趨于2時yf(x)的變化，這是兩碼事。即在本例中，兩種不同的概念得到是相同的值，注意這是不應混淆的兩件不同的事。這表明這兩種不同的概念有時產生不同的結果。 問題3：由上述兩個問題我們有：定義如果當x取值趨近于時，f(x)趨近于一個單一的值A或在A值上保持不變，則稱A是當x趨近于時函數(shù)yf(x)的極限，這時可寫成 問題4：顯然不然。比如：若x時，則即是無窮小量；又若x0時，則即是無窮大量?？梢?，極限過程不相同，那么函數(shù)極限一般也不同，因此，所謂的無窮大量或無窮小量是相對某一極限過程而言。二、主要內容歸納： （一）、函數(shù)極限極限過程：即x無限接近極限值：即在所給極限過程中，f(x)無限接近A某函數(shù)極限符號：即無限接近1、 描述性定義： 注意：、以上是一個符號系統(tǒng)，構成極限定義，缺一不可；、弄懂定義的關鍵是聯(lián)系函數(shù)圖像，看懂在同一變化過程中自變量與因變量兩個無限變化趨勢；、極限過程x是指：xx0, xx0 , xx0 , x, x, x 中的一種。2、 極限存在的充要條件3、 窮小量與無窮大量以零我極限的變量稱為無窮小量；絕對值越來越大且趨于正無窮大的變量稱為無窮大量。無窮小量與無窮大量的關系是： （即關系互倒）無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量。4、 極限的四則運算對某一極限過程x，若limuA，limvB，則有：1、 lim(uv) limulimvAB；2、 lim(uv) limulimvAB若vc (c是常量)，有l(wèi)im(cu) climucA；、推論：、limun(limu)n An，（n為自然數(shù)）、lim，（n為自然數(shù)）、limCC，（C是常數(shù)）5、 兩個重要極限、或注：這里教材中相應公式原來x的位置，統(tǒng)統(tǒng)被“”取代，它可以是任一有意義的函數(shù)，這時的公式實際比原公式應用更廣。并給學生提供了想象空間，不具體給出函數(shù)形式。（二）、連續(xù)與間斷1、 點連續(xù) 在點連續(xù)的這一定義中，一下三個條件要同時滿足：、f(x)在點x0的某一鄰域有定義；、f(x)在點x0有極限；、f(x)在點x0的極限等于函數(shù)值。2、 間斷點函數(shù)的不連續(xù)點稱為間斷點； 3、 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內是連續(xù)的 4、 利用連續(xù)性求極限： 三、重點、難點：重點：1、函數(shù)極限（特別是“”、“”型）3、 兩個重要極限的計算；4、 無窮大、無窮小的概念、性質和關系。難點：點連續(xù)及間斷點的判斷。四、實例分析：理解并掌握下列極限的計算方法：l 極限的四則運算法則；l 兩個重要極限；l 函數(shù)的連續(xù)性。具體計算時要注意上述法則或方法成立的條件，否則會在運算出現(xiàn)錯誤。例1 求下列極限（1） （2）（3） （4）解（1）當時分式的分子、分母的極限都不存在，不能用極限的除法法則，由教材中公式（2.2.4）可直接得到結果，即(2) 當時分式的分子、分母的極限都為0，且分子中含有無理根式。遇到此情形需先將根式有理化，即有 =（3）當時分式的分子、分母的極限都為0，且分式的分子、分母均為的二次多項式，遇到此情形需先分解因式，消去極限為零的因式再用除法法則。即 （4）先進行恒等變形，在利用第2個重要極限。即對照練習1、求下列極限（1） （2）（3） （4）五、問題解答：對照練習1、答案 、 、 、 、e2第二部分 導數(shù)及導數(shù)應用一、試著回答下列問題：問題1：導數(shù)與導函數(shù)的關系及區(qū)別？問題2：可導、連續(xù)、極限存在三者之間的關系如何？問題3：函數(shù)的極值點、駐點和不可導點的關系如何？問題4：導數(shù)有哪些方面的應用？學習中應注意些什么？答：問題1：、導數(shù)與導函數(shù)是兩個不同的概念，導數(shù)是函數(shù)在某一點附近的性質，實質就是函數(shù)對自變量在某點的變化速度；而導函數(shù)反映函數(shù)的一般規(guī)律。、導數(shù)定義的是一個常量，導函數(shù)仍是一個函數(shù)，導數(shù)是導函數(shù)f(x)在某點x0處的導函數(shù)值f(x0)。因此可先求出函數(shù)的導數(shù)，再求某點的導數(shù)值。 問題2：y=f(x)在x0處有： 可導連續(xù)存在 f(x)在點x0必有定義 但反方向的箭頭結論不一定成立。 問題3：駐點及一階導數(shù)不存在的點x0即不可導點（但是連續(xù)點）是極值點的可疑點，但它們不一定是極值點；可導函數(shù)的極值點必是駐點。 問題4：導數(shù)應用非常廣泛，而需要我們掌握的有：、利用一階導數(shù)的幾何意義求曲線在某點的切線方程；、判別函數(shù)的單調性、求函數(shù)的極值；、邊際分析、求解經(jīng)濟應用問題的最值：成本最低、利潤最大等等；、求需求彈性。 求解經(jīng)濟應用題的極值，關鍵是利用所掌握的有關知識列出目標函數(shù)，注意函數(shù)必須是一元的，若有兩個自變量，必須將其中之一轉化。求解時所用方法仍是求函數(shù)極值的方法。二、主要內容歸納： （一）、導數(shù)的概念:1、 導數(shù)的定義:、 點導數(shù)：、 導函數(shù)： 兩者的關系： ，即點導數(shù)是導函數(shù)在點的函數(shù)值。點導數(shù)，導函數(shù)均簡稱為導數(shù)。、左、右導數(shù)：左導數(shù)：右導數(shù)：關系：存在且相等。導數(shù)是函數(shù)在點x處的變化率。2、 導的幾何意義：是曲線處切線的斜率。曲線的切線方程為： 3、可導與連續(xù)的關系：若函數(shù)處可導，則它在點處一定連續(xù)，反之未必成立。 （二）、求導公式與求導法則 1、導數(shù)基本公式略。看教材第108及109頁。2、導數(shù)四則運算法則：略?？唇滩牡?08及109頁。3、復合函數(shù)求導法：設4、隱函數(shù)求導法：方法：對隱函數(shù)方程F(x,y)=0，兩邊對自變量x求導（求導過程中視y為中間變量y=y(x)）,從等式中解出y。5、高階導數(shù)函數(shù)的二階導數(shù)：，即是一階導數(shù)的導數(shù)。作業(yè)設計形成性考核冊作業(yè)114