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計(jì)算凝聚態(tài)物理 凝聚態(tài)物質(zhì)的數(shù)值模擬方法 4 臨界慢化與其它方法 自由能的計(jì)算馬紅孺 2003 9 28 上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺 臨界點(diǎn)的模擬和臨界慢化 在臨界點(diǎn)附近 會(huì)出現(xiàn)臨界慢化現(xiàn)象 臨界慢化可以通過動(dòng)力學(xué)臨界指數(shù)來描述 物理量A的關(guān)聯(lián)函數(shù)為 馳豫時(shí)間可以定義為 一般 為2 3個(gè)MCS 但在臨界點(diǎn) 發(fā)散 Z為動(dòng)力學(xué)臨界指數(shù) 二維Ising模 z 2 18 2003 9 28 上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺 臨界點(diǎn)的模擬和臨界慢化 對(duì)于有限系統(tǒng) 改進(jìn)的辦法 Swendsen Wang方法 1 從任一狀態(tài)出發(fā) s 2 訪問所有的近鄰對(duì) 如果兩個(gè)相鄰格點(diǎn)i和j的自旋相同 則在這兩個(gè)格點(diǎn)之間以幾率p 1 e 2 J生成一個(gè)鍵 如果兩個(gè)相鄰自旋不同 則在它們之間不生成鍵 3 根據(jù)連鍵的情況構(gòu)造集團(tuán) 任何兩個(gè)格點(diǎn)之間 如果能夠找到一條連接的通路 則屬于一個(gè)集團(tuán) 一個(gè)孤立格點(diǎn)也是一個(gè)集團(tuán) 每一個(gè)格點(diǎn)必須屬于某一個(gè)集團(tuán) 在確認(rèn)了每一個(gè)集團(tuán)后 給每個(gè)集團(tuán)按相同幾率給予自旋 1和 1 并完全忘掉原來的自旋 4 一個(gè)MCS結(jié)束 重復(fù)2 4 2003 9 28 上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺 臨界點(diǎn)的模擬和臨界慢化 改進(jìn)的方法 Wolff方法 1 隨機(jī)選擇一個(gè)格點(diǎn) 2 從這一格點(diǎn)出發(fā) 如果 對(duì)所有的和此格點(diǎn)自旋相同的近鄰點(diǎn)以概率p 1 e 2 J連鍵 3 如果鍵已經(jīng)畫到了近鄰格點(diǎn)j 然后從j出發(fā)向所有的相同自旋的近鄰以幾率p 1 e 2 J連鍵 4 重復(fù)第三步 直到再不能生成新的鍵 從而構(gòu)成一個(gè)集團(tuán) 5 翻轉(zhuǎn)集團(tuán)的自旋 6 轉(zhuǎn)到第一步 2003 9 28 上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺 臨界點(diǎn)的模擬和臨界慢化 Wollf的單集團(tuán)算法比Swendsen 王建生的多集團(tuán)算法的效率要高 而且容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn) 對(duì)于二維的Ising模型 兩個(gè)算法都給出z 0 或 2003 9 28 上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺 自由能的計(jì)算 熱力學(xué)積分方法 利用 得到 2003 9 28 上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺 自由能的計(jì)算 接受幾率方法 AcceptanceRatioMethod 這一方法計(jì)算由U0和U1描述的兩個(gè)相近系統(tǒng)的自由能之差 自由能之差可以寫為 2003 9 28 上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺 自由能的計(jì)算 兩個(gè)配分函數(shù)之比可以變換為 這里的下標(biāo)0和1是指對(duì)勢(shì)U0和U1 正則分布求平均 W是一個(gè)任意函數(shù) 2003 9 28 上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺 自由能的計(jì)算 選擇 n0和n1是兩個(gè)任意常數(shù) 令 2003 9 28 上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺 自由能的計(jì)算 我們得到 這里 自由能差為 2003 9 28 上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺 自由能的計(jì)算 王福高 Landau方法 能量空間的無規(guī)行走 正則分布 物理量的平均值 是狀態(tài)數(shù) 自由能 FugaoWangandD P Landau Phys Rev Lett 86 2050 2001 Phys Rev E64 056101 2001 2003 9 28 上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺 自由能的計(jì)算 1 賦初值 令所有能級(jí)E的狀態(tài)數(shù) E 均為1 2 選定一個(gè)已知能量的位型 3 以隨機(jī)或打字的方式改變一個(gè)格點(diǎn)的自旋 設(shè)改變以前系統(tǒng)的能量為E1 改變以后系統(tǒng)的能量為E2 為了使訪問能級(jí)E的概率正比于該能級(jí)狀態(tài)數(shù) E 的倒數(shù) 從能級(jí)E1到E2的轉(zhuǎn)變幾率為min E1 E2 1 按照接受狀況更新狀態(tài)數(shù) E 同時(shí)計(jì)算狀態(tài)的能量分布H E 以二維Ising模型為例 能量的可能取值為 2NJ 2NJ 2 2NJ 2 2NJ我們需要計(jì)算每個(gè)能級(jí)的狀態(tài)數(shù) E 問題 如何計(jì)算 E 2003 9 28 上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺 自由能的計(jì)算 即 1 倘若當(dāng)前的狀態(tài)數(shù)是 E1 E2 則無條件接受新位型 同時(shí)能級(jí)E2的狀態(tài)數(shù) E2 乘以一個(gè)修正因子f f 1 并且能級(jí)E2的訪問次數(shù)H E2 計(jì)數(shù)一次 2 倘若當(dāng)前的狀態(tài)數(shù)是 E1 E2 則按幾率 E1 E2 接受新位型 如果接受新位型 那么能級(jí)E2的狀態(tài)數(shù) E2 乘以一個(gè)修正因子f 并且能級(jí)E2的訪問次數(shù)H E2 計(jì)數(shù)一次 如果不接受新位型 那么能級(jí)E1的狀態(tài)數(shù) E1 乘以一個(gè)修正因子f 并且能級(jí)E1的訪問次數(shù)H E1 計(jì)數(shù)一次 收斂的標(biāo)志 H E 常數(shù) 2003 9 28 上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺 自由能的計(jì)算 其它重要方法 1 Multicanonical方法 B BergandT Neuhaus Phys Lett B267 249 1991 Phys Rev Lett 68 9 1992 由一個(gè)初始態(tài)密度出發(fā) 通過多次模擬 近似求得態(tài)密度 2 MultistageSampling McDonaldandSinger 1967 1969 3 FiniteSizemethod Mon 1985 4 Particle InsertionMethod B Widom 1962 5 HistogramMethods FerrenbergandSwendsen 1988 6 DensityScalingMonteCarlo JPValleau 1991 7 8 2003 9 28 上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺 自由能的計(jì)算 選作習(xí)題 試用王福高 Landau方法計(jì)算二維Ising模型的態(tài)密度并由此計(jì)算二維Ising模型的自由能和熵密度作為溫度的函數(shù)