2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破9 等差、等比數(shù)列的基本問題 理

必考問題9等差、等比數(shù)列的基本問題1(2020·遼寧)在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11()A58 B88 C143 D176答案： B利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式求解因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以a4a82a616a68，則該數(shù)列的前11項(xiàng)和為S1111a688.2(2020·新課標(biāo)全國(guó))已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10()A7 B5 C5 D7答案：D設(shè)數(shù)列an的公比為q，由得或所以或所以或所以a1a107.3(2020·福建)等差數(shù)列an中，a1a510，a47，則數(shù)列an的公差為()A1 B2 C3 D4答案：B在等差數(shù)列an中，a1a510，2a310，a35，又a47，所求公差為2.4(2020·浙江)設(shè)公比為q(q0)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S23a22，S43a42，則q_.解析S4S2a3a43(a4a2)，a2(qq2)3a2(q21)，q1(舍去)或q.答案本部分在高考中常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，考查這兩種數(shù)列的概念、基本性質(zhì)、簡(jiǎn)單運(yùn)算、通項(xiàng)公式、求和公式等，屬于中檔題；以解答題出現(xiàn)時(shí)，各省市的要求不太一樣，有的考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和等知識(shí)，屬于中檔題；有的與函數(shù)、不等式、解析幾何等知識(shí)結(jié)合考查，難度較大(1)深刻理解兩種數(shù)列的基本概念和性質(zhì)，熟練掌握常用的方法和技能；掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的判定、證明方法，這類問題經(jīng)常出現(xiàn)在以遞推數(shù)列為背景的試題的第(1)問中(2)熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，并會(huì)靈活應(yīng)用，這是迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)行計(jì)算的關(guān)鍵.必備知識(shí)等差數(shù)列的有關(guān)公式與性質(zhì)(1)an1and(nN*，d為常數(shù))(2)ana1(n1)d.(3)Snna1d.(4)2anan1an1(nN*，n2)(5)anam(nm)d(n，mN*)；若mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)；等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差數(shù)列等比數(shù)列的有關(guān)公式與性質(zhì)(1)q(nN*，q為非零常數(shù))(2)ana1qn1.(3)Sn(q1)(4)aan1an1(nN*，n2)(5)anamqnm；若mnpq，則am·anap·aq；等比數(shù)列an(公比q1)的前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2mSm，S3mS2m，也成等比數(shù)列必備方法1運(yùn)用方程的思想解等差(比)數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡(jiǎn)化運(yùn)算2深刻理解等差(比)數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差(比)數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵解題時(shí)應(yīng)從基礎(chǔ)處著筆，首先要熟練掌握這兩種基本數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)及公式，然后要熟悉它們的變形使用，善用技巧，減少運(yùn)算量，既準(zhǔn)又快地解決問題3等差、等比數(shù)列的判定與證明方法：(1)定義法：an1and(d為常數(shù))an是等差數(shù)列；q(q為非零常數(shù))an是等比數(shù)列；(2)利用中項(xiàng)法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列；aan·an2(nN*)an是等比數(shù)列(注意等比數(shù)列的an0，q0)；(3)通項(xiàng)公式法：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列；ancqn(c，q為非零常數(shù))an是等比數(shù)列；(4)前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn(A，B為常數(shù))an是等差數(shù)列；Snmqnm(m為常數(shù)，q0)an是等比數(shù)列；(5)若判斷一個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列，只需用a1，a2，a3驗(yàn)證即可等差數(shù)列和等比數(shù)列在公式和性質(zhì)上有許多相似性，是高考必考內(nèi)容，著重考查等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算、基本技能和基本思想方法，題型不僅有選擇題、填空題、還有解答題，題目難度中等【例1】 (2020·江西)已知兩個(gè)等比數(shù)列an、bn滿足a1a(a>0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an唯一，求a的值審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)利用b1、b2、b3等比求解；(2)利用(1)問的解題思路，結(jié)合方程的相關(guān)知識(shí)可求解解(1)設(shè)an的公比為q，則b11a2，b22aq2q，b33aq23q2.由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2q)22(3q2)，即q24q20，解得q12，q22，所以an的通項(xiàng)公式為an(2)n1或an(2)n1.(2)設(shè)an的公比為q，則由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10.(*)由a>0得，4a24a>0，故方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根，由an唯一，知方程(*)必有一根為0，代入(*)得a. 關(guān)于等差(等比)數(shù)列的基本運(yùn)算，一般通過其通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式構(gòu)造關(guān)于a1和d(或q)的方程或方程組解決，如果在求解過程中能夠靈活運(yùn)用等差(等比)數(shù)列的性質(zhì)，不僅可以快速獲解，而且有助于加深對(duì)等差(等比)數(shù)列問題的認(rèn)識(shí)【突破訓(xùn)練1】 (2020·廣東改編)等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和若a11，aka40，則k()A10 B12 C15 D20答案： A設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S9S40，即a5a6a7a8a90,5a70，故a70，而aka40，故k10.高考對(duì)該內(nèi)容的考查主要是等差、等比數(shù)列的定義，常與遞推數(shù)列相結(jié)合考查常作為數(shù)列解答題的第一問，為求數(shù)列的通項(xiàng)公式做準(zhǔn)備，屬于中檔題【例2】 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，Sn14an2.(1)設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)先利用an1Sn1Sn將Sn14an2轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的遞推關(guān)系式，再利用bnan12an的形式及遞推關(guān)系式構(gòu)造新數(shù)列來求證(2)借助(1)問結(jié)果，通過構(gòu)造新數(shù)列的方式求通項(xiàng)(1)證明由a11，及Sn14an2，有a1a24a12，a23a125，b1a22a13，由Sn14an2，則當(dāng)n2時(shí)，有Sn4an12.得an14an4an1.an12an2(an2an1)又bnan12an，bn2bn1，bn是首項(xiàng)b13，公比為2的等比數(shù)列，(2)解由(1)可得bnan12an3·2n1，.數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，(n1)×n，所以an(3n1)·2n2. 判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列的首選方法是根據(jù)定義去判斷，其次是由等差中項(xiàng)或等比中項(xiàng)的性質(zhì)去判斷【突破訓(xùn)練2】 在數(shù)列an中，a11，an12an2n.(1)設(shè)bn.證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.(1)證明an12an2n，1.即有bn1bn1，所以bn是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)知bnn，從而ann·2n1.Sn1×202×213×22(n1)×2n2n×2n1，2Sn1×212×223×23(n1)×2n1n×2n.兩式相減得，Snn×2n2021222n1n×2n2n1(n1)2n1.從近幾年的考題看，對(duì)于等差與等比數(shù)列的綜合考查也頻頻出現(xiàn)考查的目的在于測(cè)試考生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，這個(gè)“靈活”就集中在“轉(zhuǎn)化”的水平上【例3】 (2020·石家莊二模)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a12，S1、2S2、3S3成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bnan是首項(xiàng)為6，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)列出關(guān)于公比q的方程求q；(2)先求出bn后，再根據(jù)公式求和解(1)由已知4S2S13S3,4(a1a1q)a13a1(1qq2)，3q2q0，q0(舍)，或q，an2·n1.(2)由題意得：bnan2n8，bnan2n82n12n8.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，Tn3n(n7)n27n3. (1)在等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題中，特別要注意它們的區(qū)別，避免用錯(cuò)公式(2)方程思想的應(yīng)用往往是破題的關(guān)鍵【突破訓(xùn)練3】 數(shù)列an為等差數(shù)列，an為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且a13，b11，數(shù)列ban是公比為64的等比數(shù)列，b2S264.(1)求an，bn；(2)求證：.(1)解設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則d為正整數(shù)，an3(n1)d，bnqn1.依題意有由(6d)q64知q為正有理數(shù)，故d為6的因子1,2,3,6之一，解得d2，q8，故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)證明Sn35(2n1)n(n2)，.遞推數(shù)列及其應(yīng)用遞推數(shù)列問題一直是高考命題的特點(diǎn)，遞推數(shù)列在求數(shù)列的通項(xiàng)、求和及其它應(yīng)用中往往起至關(guān)重要的紐帶作用，是解決后面問題的基礎(chǔ)和臺(tái)階，此類題目需根據(jù)不同的題設(shè)條件，抓住數(shù)列遞推關(guān)系式的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)那蠼夥椒ā臼纠?(2020·湖北)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a1a(a0)，an1rSn(nN*，rR，r1)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差數(shù)列，試判斷：對(duì)于任意的mN*，且m2，am1，am，am2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論滿分解答(1)由已知an1rSn，可得an2rSn1，兩式相減，得an2an1r(Sn1Sn)ran1，即an2(r1)an1.(2分)又a2ra1ra，所以，當(dāng)r0時(shí)，數(shù)列an為：a,0，0，；(3分)當(dāng)r0，r1時(shí)，由已知a0，所以an0(nN*)，于是由an2(r1)an1，可得r1(nN*)，a2，a3，an，成等比數(shù)列，當(dāng)n2時(shí)，anr(r1)n2a.(5分)綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(6分)(2)對(duì)于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差數(shù)列，證明如下：當(dāng)r0時(shí)，由(1)知，an對(duì)于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差數(shù)列(8分)當(dāng)r0，r1時(shí)，Sk2Skak1ak2，Sk1Skak1，若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差數(shù)列，則Sk1Sk22Sk，2Sk2ak1ak22Sk，即ak22ak1.(10分)由(1)知，a2，a3，am，的公比r12，于是對(duì)于任意的mN*，且m2，am12am，從而am24am，am1am22am，即am1，am，am2成等差數(shù)列(12分)綜上，對(duì)于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差數(shù)列(13分)老師叮嚀：本題是以an和Sn為先導(dǎo)的綜合問題，主要考查等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)以及處理遞推關(guān)系式的一般方法失分的原因有：第(1)問中漏掉r0的情況，導(dǎo)致結(jié)論寫為anr(r1)n2a；第(2)問中有的考生也漏掉r0的情況，很多考生不知將Sk1Sk22Sk轉(zhuǎn)化為ak1與ak2的關(guān)系式，從而證明受阻【試一試】 (2020·四川)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a2anS2Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立(1)求a1，a2的值；(2)設(shè)a10，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn.當(dāng)n為何值時(shí)，Tn最大？并求出Tn的最大值解(1)取n1，得a2a1S2S12a1a2，取n2，得a2a12a2，由，得a2(a2a1)a2，(i)若a20，由知a10，(ii)若a20，由知a2a11.由、解得，a11，a22；或a11，a22.綜上可知a10，a20；或a11，a22；或a11，a22.(2)當(dāng)a10時(shí)，由(1)知a11，a22.當(dāng)n2時(shí)，有(2)anS2Sn，(2)an1S2Sn1，所以(1)an(2)an1，即anan1(n2)，所以ana1()n1(1)·()n1.令bnlg，則bn1lg()n11(n1)lg 2lg，所以數(shù)列bn是單調(diào)遞減的等差數(shù)列(公差為lg 2)，從而b1b2b7lglg 10，當(dāng)n8時(shí)，bnb8lglg 10，故n7時(shí)，Tn取得最大值，且Tn的最大值為T77lg 2.