2020年高考數(shù)學(xué) 易錯點點睛與高考突破 專題01 集合與簡易邏輯

2020年高考數(shù)學(xué) 易錯點點睛與高考突破 專題01 集合與簡易邏輯難點1 集合的運算 1設(shè)I是全集，非空集合P、Q滿足PQI，若含P、Q的一個運算表達(dá)式，使運算結(jié)果為空集，則這個運算表達(dá)式可以是_；如果推廣到三個，即PQRI，使運算結(jié)果為空集，則這個運算表達(dá)式可以是_.(只要求寫出一個表達(dá)式)2設(shè)A=(x，y)|y2-x-1=0，B=(x，y)|4x2+2x-2y+5=0，C=(x，y)|y=kx+b，是否存在k、bN，使得(AB)C=Ø，證明此結(jié)論難點2 邏輯在集合中的運用1.已知不等式： |x+3|>|2x|；;2x2+mx-10 若同時滿足、的x也滿足，求m的取值范圍； 若滿足的x至少滿足、中的一個，求m的取值范圍 難點3 集合的工具性 1已知an是等差數(shù)列，d為公差且不為零，a1和d均為實數(shù)，它的前n項和為Sn，設(shè)集合A=(an，)|nN*,B=(x,y)|x2-y2=1，x，yR，試問下列結(jié)論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明(1)若以集合A中的元素作為點的坐標(biāo)，則這些點都在同一條直線上；(2)AB中至多有一個元素； (3)當(dāng)a10時，一定有ABØ2設(shè)M是滿足下列兩個條件的函數(shù)f(x)的集合：f(x)的定義域是-1，1；若x1，x2-1，1，則|f(x1)-f(x2)|4|x1-x2|試問：(1)定義在-1，1上的函數(shù)g(x)=x2+3x+2020是否屬于集合M?并說明理由；(2)定義在-1，1上的函數(shù)h(x)=4sinx+2020是否屬于集合M?并說明理由3向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人問對A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人?【解析】畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系【答案】贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B.設(shè)對事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x，則對A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1，贊成A而不贊成B的人數(shù)為30-x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33-x依題意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50，解得x=21所以對A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人難點4 真假命題的判斷1已知p、q為命題，命題“(p或q)”為假命題，則 ( )A.p真且q真 B.p假且q假C.p，q中至少有一真 D.p，q中至少有一假2已知p：|1-2，q：x2-2x+1-m20(m>0)，若p是q的必要而不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍 m9，實數(shù)m的取值范圍是9，+難點5 充要條件的應(yīng)用1設(shè)符合命題p的所有元素組成集合A，符合命題q的所有元素組成集合B，已知q的充分不必要條件是p，則集合A、B的關(guān)系是 ( )AAB BA BCB A DA=B20<a是函數(shù)f(x)=ax2+2(a-1)+3在(-，4)上為減函數(shù)的 ( )A.充分但不必要條件B必要但不充分條件C.充要條件D既不充分也不必要條件1.集合與常用邏輯用語中的轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種策略將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法由于一個命題與其逆否命題是等價的，所以對于較難判斷的命題，可轉(zhuǎn)化為它的逆否命題的判斷來解決【例1】已知p：2, q：x22x1m2 0(m>0)若綈p是綈q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍【題后反思】解此類題的關(guān)鍵是利用等價命題進(jìn)行命題的等價轉(zhuǎn)化，例如：如果p是q的充分不必要條件，那么綈p是綈q的必要不充分條件同理，如果p是q的必要不充分條件，那么綈p是綈q的充分不必要條件；如果p是q的充要條件，那么綈p是綈q的充要條件【變式】已知集合M，Ny|y4x2x1，UR，如圖所示，則圖中陰影部分表示的集合是()A. B.C. D解析：由10，即0，解得x<0或x1，故函數(shù)y 的定義域為(，0)1，)，【易錯點點睛】易錯點1 集合的概念與性質(zhì) 1(2020模擬題精選)設(shè)全集U=R，集合M=x|x1，P=x|x21，則下列關(guān)系中正確的是 ( ) A.M=P BPM C.MP DCUP=ø【錯誤答案】 D【錯解分析】 忽視集合P中，x-1部分【正確解答】 C x21 x1或x-1故MP 2(2020模擬題精選)設(shè)P、Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P+Q=a+b|aP，bQ，若P0，2，5，Q=1，2，6，則P+Q中元素的個數(shù)是（ ） A9 B8 C7 D63(2020模擬題精選)設(shè)f(n)=2n+1(nN)，P=l，2，3，4，5，Q=3，4，5，6，7,記=nN|f(n) P，=nN|f(n) 則(CN) (CN)等于 ( ) A0，3 B1，7 C3，4，5 D1，2，6，7【錯誤答案】 D PCNQ=6，7QCNP=1，2故選D【錯解分析】 未理解集合 的意義.【正確解答】 B =1，3，5=3，5，7CN=1. CN=7故選B 4設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足ABI，則下列各式中錯誤的是 ( ) A（CIA）B=I B(CIA) (CIB)=I CA(CIB)=ø D(CIA)(CIB)= CIB【特別提醒】 1解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合x|xP，要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，充分運用數(shù)形結(jié)合(數(shù)軸，坐標(biāo)系，文氏圖)或特例法解集合與集合的包含關(guān)系以及集合的運算問題，直觀地解決問題2注意空集ø的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如AB，則有A=ø或Aø 兩種可能，此時應(yīng)分類討論【變式探究】 1 全集U=R，集合M=1，2，3，4，集合N=，則M(CUN)等于 ( ) A4 B3，4 C2，3，4 D 1，2，3，4答案：B 解析：由N=CUN=2.設(shè)M=x|x4a，aR，N=y|y=3x，xR，則 ( )AMN=Ø BM=NC. MN D. MN 答案：B 解析：M=3.已知集合A=0，2，3，B=x|x=ab,a、bA且ab，則B的子集的個數(shù)是 ( )A4 B8 C16 D15 答案：解析：它的子集的個數(shù)為22=4。4.設(shè)集合M=(x，y)|x=(y+3)·|y-1|+(y+3)，-y3，若(a，b)M，且對M中的其他元素(c，d)，總有ca，則a=_.解析：依題可知，本題等價于求函數(shù)不勝數(shù)x=f(y)=(y+3).|y-1|+(y+3)在當(dāng)1y3時，x=(y+3)(y-1)+(y+3)=y2+3y=(y+)2-易錯點 2 集合與不等式1(2020模擬題精選)集合A=，B=x|x-b|a，若“a=1”是“ABØ”的充分條件，則b的取值范圍是 ( )A-2b<2 B-2<b2C-3b-1 D-2b2【錯誤答案】 A 當(dāng)a=l時，A=x|-1x1且B=x|b-1xb+1ABØ.b-11且b+1-1.故-2b2只有A符合3(2020模擬題精選)已知f(x)=(xR)在區(qū)間-1，1上為增函數(shù)(1)求實數(shù)a的值所組成的集合A；(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩根為x1,x2，試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1|x1-x2|對任意aA及t-1,1恒成立?若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由【特別提醒】討論參數(shù)a的范圍時，對各種情況得出的參數(shù)a的范圍，要分清是“或”還是“且”的關(guān)系，是“或”只能求并集，是“且”則求交集.【變式探究】1 設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù)，則不等式x2-5x+60的解集為 ( ) A(2，3) B2，3C2，4 D2，4 答案：C 解析：由x2-5x+60,解得2x 3,由x的定義知2x<4所選C.2 已知不等式|x-m|<1成立的充分非必要條件是，則實數(shù)m的取值范圍是 ( ) A. B.C. D. 易錯點 3 集合的應(yīng)用 1(2020模擬題精選)是正實數(shù)，設(shè)S=|f(x)=cos(x+)是奇函數(shù)，若對每個實數(shù)a,S(a,a+1)的元素不超過2個，且有a使S(a，a+1)含2個元素，則的取值范圍是_.【錯誤答案】 (，2)【錯解分析】 a使S(a,a+1)含兩個元素，如果>1時，則超過2個元素，注意區(qū)間端點【正確解答】 由S(a，a+1)的元素不超過兩個,周期×<1又有a使S(a，a+1)含兩個元素，周期12故(，2)2(2020模擬題精選)設(shè)函數(shù)f(x)=-(xR)，區(qū)間M=a,b(a<b)，集合N=y|y=f(x)，xM，則使M=N成立的實數(shù)對(a，b)有 ( )A.0個 B1個C.2個 D無數(shù)多個【錯誤答案】 (1)由2-0，得x<-1或x1A=x|x<-1或x1 (2)由(x-a-1)(2a-x)>0，得(x-a-1)(x-2a)<0a<1，a+1>2a，B=(2a，a+1)【特別提醒】集合與不等式、集合與函數(shù)、集合與方程等，都有緊密聯(lián)系.因為集合是一種數(shù)學(xué)工具.在運用時注意知識的融會貫通.有時要用到分類討論，數(shù)形結(jié)合的思想.【變式探究】1 已知集合A=x|(a2-a)x+1=0，xR，B=x|ax2-x+1=0，xR,若AB=Ø，則a的值為 ( ) A0 B1 C0或1 D0或4 易錯點4 簡易邏輯 1(2020模擬題精選)對任意實數(shù)a、b、c，給出下列命題：“a=b”是“ac=bc”的充要條件；“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件；“a>b”是“a2b2”的充分條件；“a<5”是“a<3”的必要條件其中真命題的個數(shù)是 ( )A1 B2 C3 D42(2020模擬題精選)給出下列三個命題 若ab-1，則若正整數(shù)m和n滿足mn，則設(shè)P(x1，y1)為圓O1：x2+y2=9上任一點，圓O2以Q(a，b)為圓心且半徑為1當(dāng)(a-x1)2+(b-y1)2=1時，圓O1與圓O2相切其中假命題的個數(shù)為 ( )A0 B1 C2 D33(2020模擬題精選)設(shè)原命題是“已知a，b，c，d是實數(shù)，若a=b，c=d，則a+c=b+d”，則它的逆否命題是( )A.已知a，b，c，d是實數(shù)，若a+cb+d，則ab且cdB.已知a，b，c，d是實數(shù)，若a+cb+d，則ab或cdC.若a+cb+d，則a，b，c，d不是實數(shù)，且ab，cdD.以上全不對【錯誤答案】 A【錯解分析】 沒有分清“且”的否定是“或”，“或”的否定是“且”.【正確解答】 B 逆否命題是“已知a，b，c，d是實數(shù)，若a+cb+d，則ab或cd” 4(2020模擬題精選)已知c>0，設(shè)P：函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減；Q：不等式x+|x-2c|1的解集為R，如果P和Q有且僅有一個正確，求c的取值范圍【特別提醒】1在判斷一個結(jié)論是否正確時，若正面不好判斷，可以先假設(shè)它不成立，再推出矛盾，這就是正難則反2求解范圍的題目，要正確使用邏輯連結(jié)詞，“且”對應(yīng)的是集合的交集，“或”對應(yīng)的是集合的并集【變式探究】 1 已知條件P：|x+1|>2，條件q：5x-6>x2，則p是q的 ( )A.充要條件 B充分但不必要條件C.必要但不充分條件 D.既非充分也非必要條件 答案：解析：p:x<-3或x>1,q:2<x<3,則q是p的充分但不必要條件，故p是q的充分但不必要條件。2 已知命題p：函數(shù)log05(x2+2x+a)的值域為R，命題q：函數(shù)y=-(5-2a)x是減函數(shù)若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是( ) Aa1 Ba<2C1<a<2 Da1或a23.已知在x的不等式0<x2-46x-13a的解集中，有且只有兩個整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍 易錯點5 充要條件1(2020模擬題精選)“m=”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的 ( )A.充分必要條件 B充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D既不充分也不必要條件【錯誤答案】 A【錯解分析】 當(dāng)兩直線垂直時，A1A2+B1B2=0，m2-4+3m(m+2)=0，即m=或m=-2；故不是充分必要條件【正確解答】 B 當(dāng)m=時兩直線垂直兩直線垂直時m=或m=-2，故選B 2(2020模擬題精選)設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)=，則關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個不同實數(shù)解的充要條件是 ( ) Ab<0且c>0 Bb>0且c<0 Cb<0且c=0 Db0且c=03(2020模擬題精選)若非空集合MN，則aM或aN是a(MN)的 ( )A.充分但不必要條件 B必要但不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4(2020模擬題精選)設(shè)命題p：關(guān)于x的不等式a1x2+b1x+c10與a2x2+b2x+c2>0的解集相同；命題q：，則命題p是命題g的 ( )A.充分但不必要條件B必要但不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【特別提醒】 (1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念：當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時，就記作pq稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件,因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假. (2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“”要熟悉它的各種同義詞語：“等價于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須并且只需”，“，反之也真”等 (3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(zhì) (4)從集合觀點看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要條依.(5)證明命題條件的充要性時，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性) 【變式探究】 1 設(shè)ab、是非零向量，則使a·b=|a|b|成立的一個必要非充分條件是 ( )Aa=b BabCab Da=b(>0)答案： 解析：由ab=|a| |b|可得ab;但ab, ab=±|a| |b|, 故使ab=|a| |b| 成立的一個必要充分條件是：ab.故選.2若條件甲：平面內(nèi)任一直線平行于平面，條件乙：平面平面，則條件甲是條件乙的 ( )A充分不必要條件B必要不充分條件C. 充要條件D既不充分又不必要條件 答案：C 解析：甲乙可以互推。選.3.已知函數(shù)f(x)=ax+b(0x<1)，則a+2b>0是f(x)>0在0，1上恒成立的 ( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件 2設(shè)集合My|y|cos2xsin2x|，xR，N，則MN為()A(0,1) B(0,1 C0,1) D0,1解析由題意得My|y|cos 2x|0,1，Nx|xi|<x|x21<2(1,1)，MN0,1)答案C3對于函數(shù)yf(x)，xR，“y|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“yf(x)是奇函數(shù)”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析若yf(x)是奇函數(shù)，則f(x)f(x)，|f(x)|f(x)|f(x)|，y|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱，但若y|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱，如yf(x)x2，而它不是奇函數(shù)答案B4已知命題“函數(shù)f(x)、g(x)定義在R上，h(x)f(x)·g(x)，若f(x)、g(x)均為奇函數(shù)，則h(x)為偶函數(shù)”的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中正確命題的個數(shù)是()A0 B1 C2 D35下列命題錯誤的是()A命題“若m>0，則方程x2xm0有實根”的逆否命題為：“若方程x2xm0無實根，則m0”B“x1”是“x23x20”的充分不必要條件C命題“若xy0，則x，y中至少有一個為零”的否定是：“若xy0，則x，y都不為零”D對于命題p：xR，使得x2x1<0；則綈p：xR，均有x2x108已知命題p：xR，使sin x；命題q：xR，都有x2x10，給出下列結(jié)論：命題“pq”是真命題；命題“綈p綈q”是假命題；命題“綈p綈q”是真命題；命題“pq”是假命題其中正確的是_解析命題p是假命題，命題q是真命題，故結(jié)論正確答案9設(shè)aR，二次函數(shù)f(x)ax22x2a.設(shè)不等式f(x)>0的解集為A，又知集合Bx|1<x<3，AB，求a的取值范圍10已知集合Ay|y2(a2a1)ya(a21)>0，B.(1)若AB，求a的取值范圍；(2)當(dāng)a取使不等式x21ax恒成立的a的最小值時，求(RA)B.RAy|2y5(RA)By|2y411設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集若對任意x，yS，都有xy，xy，xyS，則稱S為封閉集給出下列命題：集合Sabi|a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位為封閉集；若S為封閉集，則一定有0S；封閉集一定是無限集；若S為封閉集，則滿足STC的任意集合T也是封閉集其中的真命題是_(寫出所有真命題的序號)12設(shè)p：實數(shù)x滿足x24ax3a2<0，其中a<0，q：實數(shù)x滿足x2x60或x22x8>0，且綈p是綈q的必要而不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍