2020高中數(shù)學(xué) 2-2-1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程同步檢測(cè) 新人教B版選修2-1

2.2第1課時(shí) 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、選擇題1平面上到點(diǎn)A(5,0)、B(5,0)距離之和為10的點(diǎn)的軌跡是()A橢圓B圓C線段 D軌跡不存在答案C解析兩定點(diǎn)距離等于定常數(shù)10，所以軌跡為線段2橢圓ax2by2ab0(a<b<0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A(±，0) B(±，0)C(0，±) D(0，±)答案D解析ax2by2ab0可化為1a<b<0a>b>0，1，焦點(diǎn)在y軸上，c焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±)3已知橢圓1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為()A.B3C.D.答案D解析a216，b29c27c.PF1F2為直角三角形P是橫坐標(biāo)為±的橢圓上的點(diǎn)(P點(diǎn)不可能是直角頂點(diǎn))設(shè)P(±，|y|)，把x±代入橢圓方程，知1y2|y|.4橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是()A± B±C± D±答案C解析設(shè)F1(3,0)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為3代入1得1，y2，y±5橢圓y21的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，過(guò)F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則|PF2|()A.B.C.D4答案C解析如圖所示，由y21知，F(xiàn)1、F2的坐標(biāo)分別為(，0)、(，0)，即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xp，代入橢圓方程得yp，|PF1|，|PF1|PF2|4.|PF2|4|PF1|4.6(09·陜西理)“m>n>0”是“方程mx2ny21表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案C解析方程mx2ny21表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓>>0m>n>0.故選C.7橢圓1的焦距是2，則m的值是()A5B3或8C3或5D20答案C解析2c2，c1，故有m412或4m12，m5或m3且同時(shí)都大于0，故答案為C.8過(guò)橢圓4x2y21的一個(gè)焦點(diǎn)F1的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則A、B與橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2構(gòu)成ABF2的周長(zhǎng)是()A2 B4 C. D2答案B解析|AF1|AF2|2，|BF1|BF2|2，|AF1|BF1|AF2|BF2|4，即|AB|AF2|BF2|4.9已知橢圓的方程為1，焦點(diǎn)在x軸上，則m的取值范圍是()A4m4 B4<m<4且m0Cm>4或m<4 D0<m<4答案B解析因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，故m2<16且m20，解得4<m<4且m0.10若ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(4,0)，B(4,0)，ABC的周長(zhǎng)為18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為()A.1 B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)答案D解析頂點(diǎn)C滿足|CA|CB|10>|AB|，由橢圓定義知2a10,2c8所以b2a2c225169，故橢圓方程為1(y0)二、填空題11如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，POF2是面積為的正三角形，則b2_.答案2解析由題意SPOF2c2，則c24c2P(1，)代入橢圓方程1中得，1，求出b22.12已知A(，0)，B是圓F：(x) 2y24(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)答案x2y21解析如圖所示，由題意知，|PA|PB|，|PF|BP|2，|PA|PF|2，且|PA|PF|>|AF|，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓，a1，c，b2.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x21，即x2y21.13(08·浙江)已知F1、F2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)若|F2A|F2B|12，則|AB|_.答案8解析(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)|AB|AF2|BF2|4a20，|AB|8.14如圖，把橢圓1的長(zhǎng)軸AB分成8等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1、P2、P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則|P1F|P2F|P7F|_.答案35解析設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，|P1F|P7F|，|P2F|P6F|，|P3F|P5F|，原式(|P7F|P7F|)(|P6F|P6F|)(|P5F|P5F|)(|P4F|P4F|)7a35.三、解答題15求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)(2)坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，并且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(0,2)，B(，)解析(1)由于橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由于橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和(1,0)，故所求橢圓的方程為x21.(2)設(shè)所求橢圓的方程為1(m>0，n>0)橢圓過(guò)A(0,2)，B(，)，解得所求橢圓方程為x21.16已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,0)，a3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為1(a>b>0)由橢圓過(guò)點(diǎn)P(3,0)，知1，又a3b，代入得b21，a29，故橢圓的方程為y21.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為1(a>b>0)由橢圓過(guò)點(diǎn)P(3,0)，知1，又a3b，聯(lián)立解得a281，b29，故橢圓的方程為1.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或y21.17已知m為常數(shù)且m>0，求證：不論b為怎樣的正實(shí)數(shù)，橢圓1的焦點(diǎn)不變解析m>0，b2m>b2，焦點(diǎn)在x軸上，由，得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，由m為常數(shù)，得橢圓的焦點(diǎn)不變18在面積為1的PMN中，tanM，tanN2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M、N為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)(y0>0)的橢圓方程解析以線段MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)，MN所在直線為x軸，建立坐標(biāo)系設(shè)M(c,0)，N(c,0)，c>0，又P(x0，y0)，y0>0.由P(，)設(shè)橢圓方程為1，又P在橢圓上，故b2()2(b2)()2b2(b2)，整理得3b48b230b23.所以所求橢圓方程為1.