河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學二輪 備考抓分點透析專題12 高考中的解答題的解題策略 理
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河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學二輪 備考抓分點透析專題12 高考中的解答題的解題策略 理
2020屆高考數(shù)學二輪復習專題十二 高考中的解答題的解題策略【重點知識回顧】 解答題可分為低檔題、中檔題和高檔題三個檔次,低檔題主要考查基礎知識和基本方法與技能,中檔題還要考查數(shù)學思想方法和運算能力、思維能力、整合與轉化能力、空間想象能力,高檔題還要考查靈活運用數(shù)學知識的能力及分析問題和解決問題的能力解答題的解題步驟1.分析條件,弄清問題2.規(guī)范表達,實施計劃3.演算結果,回顧反思解答題的解題策略1.從條件入手分析條件,化繁為簡,注重隱含條件的挖掘;2.從結論入手執(zhí)果索因,搭好聯(lián)系條件的橋梁;3.回到定義和圖形中來;4.換一個角度去思考;5優(yōu)先作圖觀察分析,注意挖掘隱含條件;6.注重通性通法,強化得分點。【典型例題】1.從定義信息入手 定義信息型題是近幾年來高考出現(xiàn)頻率較高的新題型之一,其命題特點是:給出一個新的定義、新的關系、新的性質(zhì)、新的定理等創(chuàng)新情境知識,然后在這個新情境下,綜合所學知識并利用新知識作為解題工具使問題得到解決,求解此類問題通常分三個步驟:(1)對新知識進行信息提取,確定化歸方向;(2)對新知識中所提取的信息進行加工,探究解題方法;(3)對提取的知識加以轉換,進行有效組合,進而求解例1、根據(jù)定義在集合A上的函數(shù),構造一個數(shù)列發(fā)生器,其工作原理如下: 輸入數(shù)據(jù),計算出;若,則數(shù)列發(fā)生器結束工作,若,則輸出x1,并將x1反饋回輸入端,再計算出,并依此規(guī)律繼續(xù)下去,現(xiàn)在有, ()求證:對任意,此數(shù)列發(fā)生器都可以產(chǎn)生一個無窮數(shù)列;()若,記,求數(shù)列的通項公式【解析】()證明:當,即0<x<1時,由可知m+1>x>0,又,即故對任意有;由有,由有;以此類推,可以一直繼續(xù)下去,從而可以產(chǎn)生一個無窮數(shù)列()由,可得,即,令,則,又,數(shù)列是以為首項,以為公比的等差數(shù)列,于是【題后反思】 本題以算法語言為命題情境,構造一個數(shù)列發(fā)生器,通過定義工作原理,得到一個無窮數(shù)列,這是命題組成的第一部分,解答時只需依照命題程序完成即可,第()問其實是一個常規(guī)的數(shù)學問題,由上可知,創(chuàng)新題的解答還是需要考生有堅實的數(shù)學解題功底2. 由巧法向通法轉換 巧法的思維起點高,技巧性也強,有匠心獨具、出人意料等特點,而巧法本身的思路難尋,方法不易把握,而通法則體現(xiàn)了解決問題的常規(guī)思路,而順達流暢,通俗易懂的特點例2、已知,求的取值范圍【解析】由,得, ,從而得【題后反思】 本題是一典型、常見而又方法繁多、技巧性較強的題目,求解時常常出錯,尤其是題目的隱含條件的把握難度較大,將解法退到常用的數(shù)學方法之一消元法上來,則解法通俗、思路清晰3. 常量轉化為變量 轉化思想方法用于研究、解釋數(shù)學問題時思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉化成另一種情況,也就是轉化到另一種情境,使問題得到解釋的一種方法,這種轉化是解決問題的有效策略,同時也是成功的思維模式,轉化的目的是使問題變的簡單、容易、熟知,達到解決問題的有利境地,通向問題解決之策有的問題需要常、變量相互轉化,使求解更容易例3、設,求證:【解析】令,則有,若,則成立;若,則,方程有兩個相等的實數(shù)根,即,由韋達定理,即,又,【題后反思】 把變量變?yōu)槌A?,也就是從一般到特殊,是我們尋找?guī)律時常用的解題方法,而本題反其道而行之,將常量變?yōu)樽兞?,從特殊到一般使問題得到解決4. 主元轉化為輔元有的問題按常規(guī)確定主元進行處理往往受阻,陷于困境,這時可以將主元化為輔元,即可迎刃而解例4、對于滿足的所有實數(shù)p,求使不等式恒成立的x的取值范圍【解析】把轉化為,則成為關于p的一次不等式,則,得,由一次不等式的性質(zhì)有:,當時,;當時,綜上可得:【題后反思】 視x為主元,不等式是關于x的一元二次不等到式,討論其取值情況過于繁瑣,將p轉化為主元,不等式是關于p的一次的不等式,則問題不難解決5. 正向轉化為反向有些數(shù)學問題,如果是直接正向入手求解難度較大,可以反向考慮,這種方法也叫“正難則反”例5、若橢圓與連接A(1,2)、B(3,4)兩點的線段沒有公共點,求實數(shù)a的取值范圍【解析】設線段AB和橢圓有公共點,由A、B兩點的坐標可得線段AB的方程為,則方程組,消去y得:,即,當橢圓與線段AB無公共點時,實數(shù)a的取值范圍為【題后反思】 在探討某一問題的解決辦法時,如果我們按照習慣的思維方式從正面思考遇到困難,則應從反面的方向去探索6. 數(shù)與形的轉化數(shù)形結合,實質(zhì)上是將抽象的語言與直觀圖形結合起來,以便化抽象為直觀,達到化難為易,化簡為繁的目的例6、已知是定義在上的奇函數(shù),且在區(qū)間上是增函數(shù),若,解不等式【解析】由在上為增函數(shù),且是定義域上的奇函數(shù),在上也是增函數(shù),或,xy-11O由函數(shù)的單調(diào)性知:或,原不等式的解集為:【題后反思】 由已知,是定義在上的奇函數(shù),且在區(qū)間上是增函數(shù),由,則可得的大致圖像如下圖,可知7自變量與函數(shù)值的轉化函數(shù)單調(diào)性的定義明確體現(xiàn)了函數(shù)自變量的不等式關系與函數(shù)值間不等關系相互轉化的思想,理解它們之間的相互轉化關系,有利于靈活運用函數(shù)的單調(diào)性解題例7、設是定義在上的增函數(shù),且對于定義域內(nèi)任意x、y,都有,求使不等式成立的x的取值范圍【解析】的定義域是,即,由于,得,由,得,由題設條件得: ,是定義在上的增函數(shù),解之得:,又,適合題意的x的取值范圍為3,4【題后反思】 這類抽象函數(shù)求解是初學者較難掌握的,解題的關鍵需實現(xiàn)三種轉化:將函數(shù)值間的不等關系轉化為自變量的不等關系;根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性意義又能比較兩個值的大小,因此需將,根據(jù)等價轉化為;需將轉化為某自變量的函數(shù)值,從而建立關于x的不等關系,求出x的取值范圍8. 類比歸納類比是將式子結構、運算法則、解題方法、問題結論等式引申或推廣,或遷移,由已知探索未知,由舊知識探索新知識的一種研究問題的方法;歸納是從個別特殊事例,若干特殊現(xiàn)象遞推出同一類事物的一般性結論,總結出同一種現(xiàn)象的一般規(guī)律的一種思考問題的方法,這兩種推理方法可有效地鍛煉考生的創(chuàng)造性思維能力,培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力因為這類創(chuàng)新題的思維含量高、知識覆蓋面廣、綜合性強,所以它們在高考中頻繁亮相,已成為高考中的又一個熱點x1x2xyOD=x1,x2y=f(x)x1x2xyOD=x1,x2y=B例8、如下圖所示,定義在D上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常數(shù)A,都有成立,則稱函數(shù)在D上有下界,其中A稱為函數(shù)的下界(提示:下圖中的常數(shù)A、B可以是正數(shù),也可以是負數(shù)或零)()試判斷函數(shù)在上是否有下界?并說明理由;()具有圖所示特征的函數(shù)稱為在D上有上界,請你類比函數(shù)有下界 的定義,給出函數(shù)在D上有上界的定義,并判斷()中的函數(shù)在上是否有上界,并說明理由【解析】,由,得,x=2,當0<x<2時,函數(shù)在(0,2)上是減函數(shù); 當x>2時,函數(shù)在(2,)上是增函數(shù);x=2是函數(shù)在區(qū)間(0,)上的最小值點,于是,對任意,都有,即在區(qū)間(0,)是存在常數(shù)A=32,使得對任意,都有成立,所以,函數(shù)在上有下界()類比函數(shù)有下界的定義,函數(shù)有上界可以給出這樣的定義:定義在D上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常B,都有成立,則稱函數(shù)在D上有上界,其中B稱為函數(shù)的上界設x<0,則-x>0,則()知,對任意,都有,函數(shù)為奇函數(shù),即,即存在常數(shù)B=-32,對任意,都有,所以,函數(shù)在上有上界【題后反思】本題以高等數(shù)學中的函數(shù)有界性為命題素材,先給出一個定義,研究問題的結論,然后提出類比的方向,這是一種直接類比的情境題數(shù)學中有許多能夠產(chǎn)生類比的知識點,如等差數(shù)列與等比數(shù)列的內(nèi)容有著非常和諧的“同構”現(xiàn)象,立體幾何中的很多結論和方法都可以從平面幾何中產(chǎn)生“靈感”進行遷移,我們復習時要注意研究知識間的縱橫聯(lián)系,把握知識間的內(nèi)在規(guī)律,通過知識間的對比和類比,可以更好地掌握知識,提高解題能力【模擬演練】(1)已知函數(shù) ()若,求x的值;()若對于恒成立,求實數(shù)m的取值范圍(2)設函數(shù),曲線通過點(0,2a+3)且在點(-1,)處的切線垂直于x軸 用a分別表示b和c; ()當bc取得最小值時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(3)在直角坐標系xOy中,點P到兩點(),()的距離之和等于4,設點P的軌跡為C,直線與C交于A、B兩點, ()寫出C的方程; ()若,求k的值; ()若點A在第一象限,證明:當k>0時,恒有(4)已知函數(shù),()將函數(shù)化簡成的形式;()求函數(shù)的值域(5)已知曲線C1:所圍成的封閉圖形的面積為,曲線C1的內(nèi)切圓半徑為,記C2為以曲線C1與坐標軸的交點為頂點的橢圓, ()求橢圓C2的標準方程; ()設AB是過橢圓C2中心的任意弦,是線段AB的垂直平分線,M是上異于橢圓中心的點,若(O為坐標原點),當點A在橢圓C2上運動時,求點M的軌跡方程;若M是與橢圓C2的交點,求面積的最小值(6)已知元素為實數(shù)的集合S滿足下列條件:;若,則若非空集合S為有限集,則你對集合S的元素個數(shù)有何猜測?并請證明你的猜測(7)已知橢圓的右準線與x軸相交于點P,右焦點F到上頂點的距離為,點C(m,0)是線段OF上的一個動點, ()求橢圓的方程;()是否存在過點F且與x軸不垂直的直線,其與橢圓交于A、B兩點,且使得?親說明理由(8)設函數(shù),函數(shù),其中a為常數(shù)且,令函數(shù)為函數(shù)和的積函數(shù) ()求函數(shù)的表達式,并求其定義域; ()當時,求函數(shù)的值域; ()是否存在自然數(shù)a,使得函數(shù)的值域恰為?若存在,試寫出所有滿足條件的自然數(shù)a所構成的集合,若不存在,試說明理由(9)已知函數(shù),當點在的圖像上移動時,點在孫函數(shù)的圖像上移動 ()若點P坐標為(1,-1),點Q也在的圖像上,求t的值; ()求函數(shù)的解析式; ()當時,試探索一個函數(shù),使得在限定域內(nèi)為時有最小值而沒有最大值(10)矩形鋼板的邊長分別為,現(xiàn)要將它剪焊成正四棱柱或正四棱錐,并使其底面邊長為矩形邊長的一半,表面積為ab,試比較得到所制作的正四棱柱與正四棱錐中哪一個體積最大,哪一個體積最小,并說明你的結論答案:1(1);(2) 2(1)c=2a+3,b=2a;(2)的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為(-2,2);3(1),(2),(3)略;4(1),(2)的值域為;5(1),(2),6. S的元素的個數(shù)為3的倍數(shù);7. ();()當時,即存在這樣的直線;當時,k不存在,即不存在這樣的直線8, ();();(),且9. ();();()當時,有最小值0,但沒有最大值10如下圖: 圖1圖2圖3圖4 易證:,即最大,最小