河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學(xué)二輪 備考抓分點(diǎn)透析專題6 立體幾何 理

2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六 立體幾何【重點(diǎn)知識(shí)回顧】穩(wěn)定中有所創(chuàng)新,由知識(shí)立意轉(zhuǎn)為能力立意（1） 考查重點(diǎn)及難點(diǎn)穩(wěn)定：高考始終把空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直的性質(zhì)與判定,以及求線面角、二面角等知識(shí)都是重點(diǎn)考查的內(nèi)容，其中線線角、線面角、二面角的求解更是重中之重在難度上平穩(wěn)過渡，始終以中等偏難為主。實(shí)行新課程的高考，命題者在求穩(wěn)的同時(shí)注重創(chuàng)新高考創(chuàng)新，主要體現(xiàn)在命題的立意和思路上注重對(duì)學(xué)生能力的考查 （2）空間幾何體中的三視圖仍是高考的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)解答題的考查形式仍要注重在一個(gè)具體立體幾何模型中考查線面的關(guān)系（3）使用，“向量”仍將會(huì)成為高考命題的熱點(diǎn)，一般選擇題、填空題重在考查向量的概念、數(shù)量積及其運(yùn)算律在有些立體幾何的解答題中，建立空間直角坐標(biāo)系，以向量為工具，利用空間向量的坐標(biāo)和數(shù)量積解決直線、平面問題的位置關(guān)系、角度、長度等問題，比用傳統(tǒng)立體幾何的方法簡便快捷，空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算仍是2020年高考命題的重點(diǎn)（4）支持新課改，在重疊部分做文章,在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？ 平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 線面平行的判定： 線面平行的性質(zhì)： 三垂線定理（及逆定理）： 線面垂直： 面面垂直： 三類角的定義及求法 （1）異面直線所成的角，0°90° （2）直線與平面所成的角，0°90° （三垂線定理法：A作或證AB于B，作BO棱于O，連AO，則AO棱l，AOB為所求。） 三類角的求法： 找出或作出有關(guān)的角。 證明其符合定義，并指出所求作的角。 計(jì)算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與線，點(diǎn)與面，線與線，線與面，面與面間距離。 將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長（如：三垂線定理法，或者用等積轉(zhuǎn)化法）。 如：正方形ABCDA1B1C1D1中，棱長為a，則： （1）點(diǎn)C到面AB1C1的距離為_； （2）點(diǎn)B到面ACB1的距離為_； （3）直線A1D1到面AB1C1的距離為_； （4）面AB1C與面A1DC1的距離為_； （5）點(diǎn)B到直線A1C1的距離為_。你是否準(zhǔn)確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？ 正棱柱底面為正多邊形的直棱柱 正棱錐底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心。 正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角形中： 它們各包含哪些元素？ 球有哪些性質(zhì)？ （2）球面上兩點(diǎn)的距離是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓的劣弧長。為此，要找球心角！ （3）如圖，為緯度角，它是線面成角；為經(jīng)度角，它是面面成角。 （5）球內(nèi)接長方體的對(duì)角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r3：1?！镜湫屠}】1， 空間幾何體及三視圖例1用一些棱長為1cm的小正方體碼放成一個(gè)幾何體，圖1為其俯視圖，圖2為其主視圖則這個(gè)幾何體的體積最大是 7 cm3 圖1（俯視圖） 圖2（主視圖）例2.一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，則多面體的體積為 例4.右圖是由一些相同的小正方體構(gòu)成的幾何體的三視圖，這些相同的小正方體共有 個(gè)5例5如果一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位長度: cm), 則此幾何體的表面積是 。主視圖俯視圖左視圖2俯視圖主視圖左視圖212例 6.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為 例7.一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖是等腰直角三角形（如圖），根據(jù)圖中標(biāo)注的長度，可以計(jì)算出該幾何體的表面積是 12+4 2.平行與垂直例8.已知：正方體，E為棱的中點(diǎn)求證：；求證：平面；求三棱錐的體積證明：連結(jié)，則/， 是正方形，面，又，面 面， 證明：作的中點(diǎn)F，連結(jié)是的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形， 是的中點(diǎn)，又，四邊形是平行四邊形，/，平面面 又平面，面例ABCDE9. 多面體中，。（1）求證：；（2）求證：證明：（1） （2）令中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連結(jié)、 是的中位線 ABCDEMN又 為正 又，四邊形為平行四邊形 例10如圖四邊形是菱形，平面， 為的中點(diǎn). 求證： 平面；BACDPQO 平面平面.解：證：設(shè) ,連 為菱形， 為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)。 又 , 為菱形， , 又， 又 又 3.距離與角例11已知所在的平面互相垂直，且，求：直線AD與平面BCD所成角的大?。?直線AD與直線BC所成角的大?。欢娼茿-BD-C的余弦值如圖，在平面ABC內(nèi)，過A作AHBC，垂足為H，則AH平面DBC，ADH即為直線AD與平面BCD所成的角 由題設(shè)知AHBAHD，則DHBH，AH=DH，ADH=45°BCDH，且DH為AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD與BC所成的角為90° 過H作HRBD，垂足為R，連結(jié)AR，則由三垂線定理知，ARBD，故ARH為二面角ABDC的平面角的補(bǔ)角 設(shè)BC=a,則由題設(shè)知，AH=DH=,在HDB中，HR=a，tanARH=2故二面角ABDC的余弦值的大小為 【點(diǎn)評(píng)】:本題著眼于讓學(xué)生掌握通性通法。幾何法在書寫上體現(xiàn)：“作出來、證出來、指出來、算出來、答出來”五步。斜線和平面所成的角是一個(gè)直角三角形所成的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面內(nèi)的射影。因此求直線和平面所成的角，幾何法一般先定斜足、再作垂線找射影、通過解直角三角形求解；向量法則利用斜線和射影的夾角或考慮法向量，設(shè) 為直線與平面所成的角，為直線的方向向量與平面的法向量之間的夾角，則有或（如圖） 特別地 時(shí)，；時(shí)， ，或。用兩面垂直的性質(zhì)作垂線，找垂足的位置作出線面角，利用三垂線定理證，利用對(duì)稱性定義法作二面角【變式與拓展】如圖，BCD是等腰直角三角形，斜邊CD的長等于點(diǎn)P到BC的距離，D是P在平面BCD上的射影.求PB與平面BCD所成角；.求BP與平面PCD所成的角.【解法】. PD平面BCD，BD是PB在平面BCD內(nèi)的射影，PBD為PB與平面BCD所成角,BDBC，由三垂線定理得BCBD，BP=CD，設(shè)BC=a，則BD=a，BP=CD=a在RtBPD中，cosDBP= DBP=45°, 即PB與平面BCD所成角為45°.過B作BECD于E，連結(jié)PE，PD平面BCD得PDBE，BE平面PCD，BPE為BP與平面PCD所成的角,在RtBEP中，BE=a, BP=a,BPE=30° 即BP與平面PCD所成角為30°例12.在四棱錐P-ABCD中，已知ABCD為矩形，PA 平面ABCD，設(shè)PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小BDPCABDPCA解析一BDPCA解析三EFGBDPCA解析二解析1.定義法 過D作DE PC于E，過E作EF PC于F，連接FD，由二面角的平面角的定義可知是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解DEF即可【解法一】過D作DE PC于E，過E作EF PC于F，連接FD，由二面角的平面角的定義可知是所求二面角B-PC-D的平面角在四棱錐P-ABCD中， PA 平面ABCD且ABCD為矩形，ADDCPDDCPA=a，AD=BC=2a，PD=,PC=,DE=,CE=同理在RtPBC中，在RtEFC中,FC=, 在RtDFC中,DF=,在DEF中由余弦定理cos=所求二面角B-PC-D的余弦值為解析2.垂面法易證面PAB面PBC，過A作AM BP于M，顯然AM 面PBC，從而有AM PC，同法可得AN PC，再由AM與AN相交與A得PC 面AMN。設(shè)面AMN交PC于Q，則為二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解【解法二】略解析3.利用三垂線求解把四棱錐P-ABCD補(bǔ)成如圖的直三棱柱PAB-EDC，顯然二面角E-PC-D與二面角D-PC-B互補(bǔ)，轉(zhuǎn)化為求二面角E-PC-D。易證面PEDA PDC，過E作EF PD于F，顯然PF 面PDC，在面PCE內(nèi)，過E作EG PC于G，連接GF，由三垂線得GF PC 即為二面角E-PC-D的平面角，只需解EFG即可BDPCA解析四解析4.在面PDC內(nèi)，分別過D、B作DE PC于E，BF PC于F，連接EF即可。利用平面知識(shí)求BF、EF、DE的長度，再利用空間余弦定理求出q 即可【點(diǎn)評(píng)】.用幾何法求二面角的方法比較多，常見的有：（1）定義法, 在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，如解析（2）三垂線求解 ,在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，如解析（3）垂面法, 在棱上的點(diǎn)分別作棱的垂線，如解析用幾何法將二面角轉(zhuǎn)化為其平面角，要掌握以下三種基本做法：直接利用定義，圖(1).利用三垂線定理及其逆定理，圖 (2).最常用。作棱的垂面，圖(3).AOBMNababAOPABOPab (1) (2) (3)4.空間幾何中的向量方法例13. 如下圖，直棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).C1A1B1BCA（1）求BN的長；（2）求異面直線BA與1CB1的余弦值；（3）求證：A1BC1M.【解法】：ACBC,CC1面ABC，可以建立如圖所示的坐標(biāo)系（1）依題意得B（0， 1，0），N（1，0，1），=.（2）A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），=(1,-1,2)，=（0，1，2），·=3，=，=.cos，=.所以，異面直線BA與1CB1的余弦值為（3）證明：C1（0，0，2），M（，2），=(-1,1,-2)，=（，0），·=0，A1BC1M.【點(diǎn)評(píng)】底面有直角的直棱柱適合建立坐標(biāo)系的條件，可以用兩點(diǎn)間的距離公式，數(shù)量積的夾角公式，用坐標(biāo)法求點(diǎn)點(diǎn)距、向量夾角。特別注意異面直線角的范圍(0,而向量角的范圍為0, SBCA【變式與拓展】在三棱錐SABC中，SAB=SAC=ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.（1）求證：SCBC；（2）求SC與AB所成角的余弦值.【解法一】：如下圖，取A為原點(diǎn)，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有AC=2，BC=，SB=，得B（0，0）、S（0，0，2）、C（2，0）， =（2，2），=（2，0）.（1）·=0，SCBC.（2）設(shè)SC與AB所成的角為，=（0，0），·=4，| |=4，cos=，即為所求. 【解法二】：（1）SA面ABC，ACBC，AC是斜線SC在平面ABC內(nèi)的射影，SCBC.（2）如下圖，過點(diǎn)C作CDAB，過點(diǎn)A作ADBC交CD于點(diǎn)D，連結(jié)SD、SC，則SCD為異面直線SC與AB所成的角.四邊形ABCD是平行四邊形，CD=，SA=2，SD=5，在SDC中，由余弦定理得cosSCD=，即為所求.例14.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，作交PB于點(diǎn)F. （1）證明 平面； （2）證明平面EFD； （3）求二面角的大小【解法】：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)證明：連結(jié)AC，AC交BD于G.連結(jié)EG. 依題意得底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為且. 這表明.而平面EDB且平面EDB，平面EDB。證明：依題意得。又故 , 由已知，且所以平面EFD.(3)解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為則從而所以由條件知，即 解得 點(diǎn)F的坐標(biāo)為 且,即，故是二面角的平面角.且 ,所以，二面角CPCD的大小為【點(diǎn)評(píng)】考查空間向量數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，運(yùn)用向量數(shù)量積判斷向量的共線與垂直，用向量證明線線、線面、面面的垂直與平行關(guān)系?！咀兪脚c拓展】如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn) （1）求證：EF平面PAD； （2）求證：EFCD； （3）若ÐPDA45°，求EF與平面ABCD所成的角 證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)AB2a，BC2b，PA2c，則：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn) E (a, 0, 0)，F(xiàn) (a, b, c)(1)(0, b, c)，(0, 0, 2c)，(0, 2b, 0)() 與、共面又 E Ï 平面PAD EF平面PAD(2) (-2a, 0, 0 ) ·(-2a, 0, 0)·(0, b, c)0 CDEF(3)若ÐPDA45°，則有2b2c，即 bc， (0, b, b)，(0, 0, 2b) cos á，ñ á，ñ 45° 平面AC， 是平面AC的法向量 EF與平面AC所成的角為：90°á，ñ 45°例15.如圖，在正四棱柱中，已知，、分別為、上的點(diǎn)，且圖9（）求證：平面；（）求點(diǎn)到平面的距離.解：()以為原點(diǎn)，以、的正向分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則于是且 平面 （）由()知，為平面的一個(gè)法向量，向量在上的射影長即為到平面的距離，設(shè)為，于是故點(diǎn)到平面的距離為例16.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn)（）求直線AC與PB所成角的余弦值；PABCDE（）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離解：方法一、（1）設(shè)ACBD=O，連OE，則OE/PB，EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角.在AOE中，AO=1，OE=即AC與PB所成角的余弦值為. （2）在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F，則.連PF，則在RtADF中設(shè)N為PF的中點(diǎn)，連NE，則NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC，從而NE面PAC.N點(diǎn)到AB的距離，N點(diǎn)到AP的距離方法二、（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，1），從而設(shè)的夾角為，則AC與PB所成角的余弦值為. （）由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，O，z），則，由NE面PAC可得， 即N點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而N點(diǎn)到AB、AP的距離分別為1，.【模擬演練】一、選擇1已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長為（ ）A B C D2一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，已知側(cè)視圖是一個(gè)等腰三角形, 根據(jù)圖中尺寸(單位:),可知這個(gè)幾何體的體積是（ ）A. B. C. D. 4已知、是不重合的直線，、是兩兩不重合的平面，給出下列命題：若則；若，則;若，；若其中真命題的序號(hào)為（ ）A B C D 5.在正三棱錐中，分別為、的中點(diǎn)，若與所成的角為，則與所成的角為（ ）A. B. C. D. 7已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC，M、N分別是A1B1，AB的中點(diǎn)，P點(diǎn)在線段上，則與平面的位置關(guān)系是 （ ）A垂直 B平行 C相交但不垂直 D 要依P點(diǎn)的位置而定11. 如圖所示，設(shè)地球半徑為，點(diǎn)在赤道上，為地心，點(diǎn)在北緯30°的緯線（為其圓心）上，且點(diǎn)，共面，點(diǎn)、共線 若，則異面直線與所成角的正弦值為（ ）A. B. C. D. 二、填空13.已知一個(gè)正四棱柱內(nèi)接于球，該正四棱柱高為3，體積為24，則這個(gè)球的表面積是 。14若直線l與平面 所成角為，直線a在平面內(nèi)，且與直線l異面，則直線l與直線a所成的角的取值范圍是 。 三解答題17（本題滿分12分）如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)。（1）求證：平面平面；（2）求證：。 18. （本小題滿分12分）如圖所示，矩形中，G是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)， ，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且，連接FG.求證：；求證：/；求三棱錐的體積. 19如圖,四棱錐的底面為直角梯形，ABCD,。()求證:()求二面角的大小專題訓(xùn)練答案1B 解析：由正方體對(duì)角線得到直徑可知，所以棱長為。2.A 解析：由三視圖可知該幾何體的底面是底邊為6，高是4的等腰三角形，該幾何體的高為5，所以。4D解析：只有、相交才正確，所以錯(cuò)誤；正確；l還需與、的交線垂直，錯(cuò)誤；由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知正確，選D. 5C 解析：由正三棱錐的對(duì)應(yīng)棱互相垂直，得。取的中點(diǎn)，連，則，所以是直角三角形，與所成的角為，就是，從而，即與所成的角為，故選C。7B 解析：由題設(shè)知B1MAN且B1M=AN，四邊形ANB1M是平行四邊形，故B1NAM，B1NAMC1平面又C1MCN，得CN平面AMC1，則平面B1NCAMC1，平面AMC1，平面B1NC。11.C 解析：分別以所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，易得A（0，R，0），B（R，0，0），C（0，D（0，0，R），所以， 故選C。13. 解析：正四棱柱高為3，體積為24，底面積為8，正方形邊長為2，正四棱柱的對(duì)角線長即球的直徑為5， 球的半徑為，球的表面積是。14；解析：因?yàn)橹本€l是平面的斜線，斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角，故a與l所成的角大于或等于；又因?yàn)楫惷嬷本€所成的角不大于.17、證明：（1）平面，平面，。 2分 又，平面，平面，平面，平面，平面平面。 6分（2）連結(jié)交于點(diǎn)，并連結(jié)，四邊形為平行四邊形為的中點(diǎn)， 又為的中點(diǎn)。 8分 在中為中位線， ，平面，平面，。 12分 18、解：（1）證明：， 2分又， ， 4分又.，。 5分證明：，又是的中點(diǎn)，又易知是的中點(diǎn)，在中，又，. 9分由知且， .，又，在中，。在，在。 12分解析：（）如圖，建立坐標(biāo)系，則， 2分，又，平面 6分（）設(shè)平面的法向量為，則，又，解得。 8分平面的法向量取為，。二面角的大小為。 12分