數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 4 第2課時(shí) 二次函數(shù)的性質(zhì) 北師大版必修1

第2課時(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)1函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法 a的符號(hào)的符號(hào)性質(zhì)性質(zhì)a0a0圖像開口圖像開口方向方向 . . 核心必知核心必知 向上向上向下向下a的符號(hào)的符號(hào)性質(zhì)性質(zhì)a0a0單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間遞增區(qū)間為遞增區(qū)間為 ;遞減區(qū)間為遞減區(qū)間為 .遞增區(qū)間為遞增區(qū)間為 ;遞減區(qū)間為遞減區(qū)間為 .最值最值ymin ，無最大值，無最大值ymax ，無最小值，無最小值b2a，b2a4acb24a4acb24a續(xù)表續(xù)表續(xù)表續(xù)表 a的符號(hào)的符號(hào)性質(zhì)性質(zhì)a0a0對(duì)稱軸對(duì)稱軸 .頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo) .xb2ab2a，4acb24a注：記注：記ymax、ymin分別表示函數(shù)分別表示函數(shù)yf(x)的最大值、最小值的最大值、最小值 1二次函數(shù)在其對(duì)稱軸的兩側(cè)單調(diào)性一定相反嗎？二次函數(shù)在其對(duì)稱軸的兩側(cè)單調(diào)性一定相反嗎？ 2二次函數(shù)的最值一定在頂點(diǎn)取得嗎？二次函數(shù)的最值一定在頂點(diǎn)取得嗎？提示：yax2bxc(a0)，在其對(duì)稱軸的兩側(cè)單調(diào)性一定相反，可以借助于二次函數(shù)的圖像進(jìn)行說明提示：不一定，對(duì)于二次函數(shù)yax2bxc(a0)當(dāng)xR時(shí)可以，但當(dāng)x屬于某局部閉區(qū)間時(shí)，不一定 3對(duì)二次函數(shù)對(duì)二次函數(shù)yf(x)，若滿足，若滿足f(ax)f(ax)(a0)，則其，則其對(duì)稱軸方程是什么？對(duì)稱軸方程是什么？提示：xa. 問題思考問題思考 f(x)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為3，214 ，對(duì)稱軸為 x3.單調(diào)增區(qū)間為3，)，減區(qū)間為(，3(2)法一：f72 418，又52372312，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性可知，f52 f72 418.法二：函數(shù) f(x)的圖像關(guān)于 x3 對(duì)稱f(3x)f(3x)f52 f312 f312 f72 418.(3)f(x)在(，3上是單調(diào)遞減函數(shù)，又15414f14 .(1)“配方法配方法”是研究二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的基本方法，是研究二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的基本方法，一般先用配方法把二次函數(shù)解析式寫成頂點(diǎn)式：一般先用配方法把二次函數(shù)解析式寫成頂點(diǎn)式：ya(xh)2k，進(jìn)而確定頂點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而確定頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)，對(duì)稱軸為，對(duì)稱軸為xh等其它等其它性質(zhì)性質(zhì) (2)比較兩數(shù)值大小，可以先比較兩點(diǎn)離對(duì)稱軸的距離的比較兩數(shù)值大小，可以先比較兩點(diǎn)離對(duì)稱軸的距離的大小，然后結(jié)合二次函數(shù)的開口方向，從而得到它們的大小大小，然后結(jié)合二次函數(shù)的開口方向，從而得到它們的大小關(guān)系，也可以將要比較的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，利用關(guān)系，也可以將要比較的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，利用函數(shù)的單調(diào)性比較它們的大小函數(shù)的單調(diào)性比較它們的大小.1函數(shù) f(x)4x2mx5 在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，求 f(1)的取值范圍解：二次函數(shù) f(x)4x2mx5 在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，且對(duì)稱軸是 xm8，m82，即 m16.f(1)4m5m925，f(1)25.(3)當(dāng) t1 時(shí)，f(x)在t，t1上單調(diào)遞增，所以當(dāng) xt時(shí)，f(x)取得取小值，此時(shí) g(t)f(t)t22t3.當(dāng) t1t1，即 0t1 時(shí)，f(x)在區(qū)間t，t1上先減再增，故當(dāng) x1 時(shí)，f(x)取得最小值，此時(shí) g(t)f(1)2.當(dāng) t11，即 t0 時(shí)，f(t)在t，t1上單調(diào)遞減，所以當(dāng) xt1 時(shí)，f(x)取得最小值，此時(shí) g(t)f(t1)t22，綜上得 g(t)t22t3t1，20t1，t22t0. 2已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)x2(2a4)x2在在1,1內(nèi)的最小值為內(nèi)的最小值為g(a)，求，求g(a)的解析式的解析式 3. 漁場(chǎng)中魚群的最大養(yǎng)殖量為漁場(chǎng)中魚群的最大養(yǎng)殖量為m噸，為保證魚群的生長空間，噸，為保證魚群的生長空間，實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量已實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量已知魚群的年增長量知魚群的年增長量y噸與實(shí)際養(yǎng)殖量噸與實(shí)際養(yǎng)殖量x噸和空閑率的乘積成正比，噸和空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為比例系數(shù)為k(k0) (1)寫出寫出y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域；的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域； (2)求魚群的年增長量的最大值；求魚群的年增長量的最大值； (3)當(dāng)魚群的年增長量達(dá)到最大值時(shí)，求當(dāng)魚群的年增長量達(dá)到最大值時(shí)，求k所應(yīng)滿足的條件所應(yīng)滿足的條件km0 且 0 xm，當(dāng) xm2時(shí)，ymaxkm4.(3)當(dāng) xm2時(shí)，ymaxkm4，又實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，此時(shí)，需要m2km4m，解得 k2.又k0，0k2. 二次函數(shù)模型是一種常見的函數(shù)應(yīng)用模型，是高考的重點(diǎn)二次函數(shù)模型是一種常見的函數(shù)應(yīng)用模型，是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)解題關(guān)鍵是列出二次函數(shù)解析式，即建立函數(shù)模型，和熱點(diǎn)解題關(guān)鍵是列出二次函數(shù)解析式，即建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題解：設(shè)客房日租金每間提高 2x 元，則每天客房出租數(shù)為30010 x，由 x0，且 30010 x0，得 0 x30.設(shè)客房租金總收入為 y 元，則有 y(202x)(30010 x)20(x10)28 000(0 x30)由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng) x10 時(shí)，ymax8 000.所以當(dāng)每間客房日租金提高到 2010240 元時(shí)，客房租金總收入最高，為每天 8 000 元 3某農(nóng)家旅游公司有客房某農(nóng)家旅游公司有客房300間，每間日房租為間，每間日房租為20元，元，每天都客滿公司欲提高檔次，并提高租金，如果每間客房日每天都客滿公司欲提高檔次，并提高租金，如果每間客房日增加增加2元，客房出租數(shù)就會(huì)減少元，客房出租數(shù)就會(huì)減少10間若不考慮其他因素，旅游間若不考慮其他因素，旅游公司將客房日租金提高到多少時(shí)，每天客房的租金總收入最高？公司將客房日租金提高到多少時(shí)，每天客房的租金總收入最高？妙解設(shè) f(x)的最小值為 g(a)，則只需 g(a)0.(1)當(dāng)a22，即 a4 時(shí)，g(a)f(2)73a0，得 a73，又 a4，故此時(shí) a 不存在已知已知f(x)x2ax3a，若，若x2,2，f(x)0恒成立，求恒成立，求a的取值范圍的取值范圍 巧思巧思要使要使f(x)0恒成立，只需恒成立，只需f(x)min0，即可將問題，即可將問題轉(zhuǎn)化為求轉(zhuǎn)化為求f(x)的最小值問題的最小值問題(2)當(dāng)a22,2，即 a4,4時(shí)，g(a)fa2 3aa240，得6a2.又4a4，4a2.(3)當(dāng)a22，即 a4 時(shí)，g(a)f(2)7a0，得 a7，又 a4，7a4.綜上知，a 的取值范圍是(7,2)1函數(shù) f(x)4x(x2)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程分別是()A(2,4)，x2B(1,5)，x1C(5,1)，x1D(1,5)，x5解析： 選Bf(x)=4x(x2)x22x4(x1)25，函數(shù) f(x)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5)，對(duì)稱軸方程為 x1.2二次函數(shù) ya2x24x1 有最小值1，則 a 的值為()A. 2B 2C 2D2解析：選 C由題意4a2164a21，a22，a 2.3已知二次函數(shù) yf(x)在區(qū)間(，5上單調(diào)遞減，在區(qū)間5，)上單調(diào)遞增，則下列各式成立的是()Af(2)f(6)f(11)Bf(11)f(6)f(2)Cf(6)f(11)f(2)Df(11)f(2)f(6)4函數(shù) yx24x 的單調(diào)遞增區(qū)間是_5函數(shù)函數(shù)y3x26x1，x0,3的最大值是的最大值是_，最小值是最小值是_解析：解析：y3(x1)22，該函數(shù)的圖像如下，該函數(shù)的圖像如下從圖像易知：從圖像易知：f(x)maxf(3)10， f(x)minf(1)2.答案：答案：102 6已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)x22ax2，x5,5 . (1)當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；的最大值和最小值； (2)求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使函數(shù)的取值范圍，使函數(shù)yf(x)在在5,5上是單上是單調(diào)函數(shù)調(diào)函數(shù)解：(1)當(dāng) a1 時(shí)，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，當(dāng) x1 時(shí)，f(x)的最小值為 1.當(dāng) x5 時(shí)，f(x)的最大值為 37.(2)函數(shù) f(x)(xa)22a2的圖像的對(duì)稱軸為 xa.f(x)在5,5上是單調(diào)函數(shù)，a5，或a5，故 a 的取值范圍是 a5 或 a5.