高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 三角換元法

三角換元法摘要：本文歸納總結(jié)了三角換元法的基本用法，以常見例題的形式講述了三角換元法在解題過程中的具體應(yīng)用。大家知道，換元法的實(shí)質(zhì)是通過換元將原來比較復(fù)雜的、非標(biāo)準(zhǔn)的形式轉(zhuǎn)化為簡單的、標(biāo)準(zhǔn)的形式，以利于揭示問題的本質(zhì)、題目的分析和解決。三角換元法是眾多換元法中的一種，它以三角函數(shù)為“元”，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為易于應(yīng)用三角函數(shù)性質(zhì)求解的問題，三角換元法在求解方程、不等式、解析幾何和函數(shù)最值等方面都有著廣泛的應(yīng)用。一般情況下，在運(yùn)用三角換元的題目中，往往在表達(dá)式的形式或字母的取值范圍等方面明顯反映出三角函數(shù)式的特征，這一點(diǎn)給三角換元法的應(yīng)用提供了線索。具體表現(xiàn)在該方法對于含有被開方式為二次式的二次根式問題能起到除去二次根式的作用，因?yàn)槎胃娇偸强梢赞D(zhuǎn)化為、或的形式，其中t為變量，k為非負(fù)常量?，F(xiàn)對于此類問題歸納如下：1形如的形式，其中f是x和的代數(shù)函數(shù)。令此時，或令同理，2形如的形式，其中f是x和的代數(shù)函數(shù)。令此時，或令。3形如的形式，其中f是x和的代數(shù)函數(shù)。令此時，或令其中。注：上面替換中應(yīng)注意，t的范圍應(yīng)滿足：1°根式中變量的取值要求。2°二次根式的化簡唯一。以上是常見的用法，其具體應(yīng)用現(xiàn)分類介紹如下：一、 三角換元法在解方程及解不等式中的應(yīng)用。例1 解方程：解：該方程的根必然為正（否則左負(fù)右正），所以設(shè)，則方程變?yōu)樽冃握淼茫夯蚬蕬?yīng)舍去，由得 當(dāng)時，得， 當(dāng)時，得，故原方程的根為 或 說明：此題關(guān)鍵是去掉根式，易聯(lián)想到的形式，換元也就水到渠成了。例2 解方程組。解：由題意知則設(shè)其中那么此時 即 從而 所以方程組的解為說明：題目的實(shí)質(zhì)是在圓上找一點(diǎn)，使其縱坐標(biāo)之和為定值，注意到半徑與定值的大小關(guān)系，設(shè)參數(shù)時角的范圍可適當(dāng)縮小。例3 實(shí)數(shù)滿足，且當(dāng)時，求的取值范圍。解：此題直接求解較難，若令由可得，于是問題轉(zhuǎn)化為：“已知，且求的取值范圍”，再做三角變換，令，則 由得當(dāng)時， 當(dāng)或時，故 的取值范圍是。說明：本題條件較為復(fù)雜，解題方向不明確，所以通過有理代換，三角代換揭示了問題的幾何意義。二、 三角換元法在證明中的應(yīng)用例4 若則。證明：設(shè)故 說明：題目綜合難度較大，但通過換元后利用單調(diào)性巧證，題目的關(guān)鍵在于放縮之后利用，為解題帶來了便利。例5 已知，求證：。證明：由于，可設(shè) 則 其中等號在 時成立。故 。說明：含有條件不等式的證明因題而異，此題換元思想的來源在于和的類比聯(lián)想。當(dāng)然此題也可以采用整體換元。例6 設(shè)，求證：。證明： ，故可設(shè) 即 兩邊同乘以就得所證之式。 說明：此題換元思想在于：在非直角三角形中，其中三個內(nèi)角的正切之間有關(guān)系式，它雖然沒有正式提出來，但相當(dāng)重要。 三三角換元法在解析幾何中的應(yīng)用。 例7一條直線過點(diǎn)P（3，2）與 軸的正半軸交于A 、B兩點(diǎn)，若的面積最?。∣為原點(diǎn)），求此時直線的方程。P（3，2）XOY解：設(shè),則，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，即取最小值12。故 直線方程為。說明：此題已知直線上的點(diǎn)坐標(biāo)，求其方程，在于求出其斜率，即。因此三角思想由此而生，換元也順理成章。例7 在橢圓上求點(diǎn)使取最小。解：設(shè)則當(dāng)時，點(diǎn)P坐標(biāo)為或時，。當(dāng)時，點(diǎn)P坐標(biāo)為時，。說明：此題若直接求解顯得生硬，而且很繁，聯(lián)想橢圓的參數(shù)方程，運(yùn)用三角函數(shù)性質(zhì)來解就簡單了許多。例8。已知點(diǎn)P在圓A：上運(yùn)動，Q點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，求 的最大值及此時P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)。解：在橢圓上任取一點(diǎn)記為Q，連接QA（A為圓心）并延長交圓于P ，在圓A上取異于點(diǎn)P的任一點(diǎn)P，易知 于是問題轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)到橢圓上動點(diǎn)Q的最大值問題，設(shè)則， 當(dāng)時，最大。此時，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（。下面求此時P點(diǎn)的坐標(biāo)直線AQ方程為與已知圓A方程聯(lián)立易求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為。說明：此題同例8一樣，運(yùn)用參數(shù)方程回避了大量復(fù)雜運(yùn)算。四三角換元法在求函數(shù)最值中的應(yīng)用例10求函數(shù)的值域。解：所給函數(shù)可化為令 ，則其中，所以，因此，即，故值域?yàn)?。說明：此題目有兩個根式，平方去根號需兩次，很繁，而采用換元法去根號使得題目變得簡單易做。例11已知，求的最大值。解：設(shè)，則故 說明：題目中與去根號暗示了三角換元法和利用來解題。例12求函數(shù)在上的最小值。 解：令，則此時的最小值即歸結(jié)為求在上的最小值，易知在此區(qū)間上為減函數(shù)，而為增函數(shù)。故在時，取最小值。 說明：去根號采用三角換元。例13求函數(shù)在上的最大值。 解：令，則且說明：此題同樣式為去根號而換元，但在題目的處理中則顯示了對三角知識的靈活運(yùn)用，不僅有萬能公式，而且用到二倍角公式，三角函數(shù)有界性等知識，因此需仔細(xì)觀察然后用代換。例14設(shè)，求函數(shù)的最大值。解： 以為邊可作成直角三角形，因此可設(shè)所以 當(dāng)時，等號成立，此時（即）有 說明：此題抓住題目結(jié)構(gòu)的內(nèi)在特點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，設(shè)元代換。通過上面的例題可以看出，三角換元法的使用是有一定范圍的，它只適用于具有某些特點(diǎn)的式子，如前文所提及的式子時，可以考慮使用此法，但應(yīng)用此法是否能夠解決問題，還必須進(jìn)一步考慮能否引進(jìn)三角函數(shù)，例如要設(shè)時，必須滿足，否則就不能引進(jìn)。進(jìn)行三角換元以后，如果能利用三角知識解決問題，此法可行，否則還得另覓新路。 參考資料： 1«數(shù)學(xué)問題化歸理論與方法» 喻平 廣西師范大學(xué)出版社 1999。8 2«解題與證題指導(dǎo)» 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)文摘 浙江人民出版社 1982。5 3“函數(shù)值域又一求法” 盧劍春 «數(shù)學(xué)教學(xué)通訊» 2000。1內(nèi)容總結(jié)（1）三角換元法摘要：本文歸納總結(jié)了三角換元法的基本用法，以常見例題的形式講述了三角換元法在解題過程中的具體應(yīng)用（2）令此時，或令同理，2形如的形式，其中f是x和的代數(shù)函數(shù)（3）說明：此題已知直線上的點(diǎn)坐標(biāo)，求其方程，在于求出其斜率，即（4）解：所給函數(shù)可化為令 ，則其中，所以，因此，即，故值域?yàn)椋?）進(jìn)行三角換元以后，如果能利用三角知識解決問題，此法可行，否則還得另覓新路