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2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)題型 課下層級(jí)訓(xùn)練48 雙曲線(含解析)

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2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)題型 課下層級(jí)訓(xùn)練48 雙曲線(含解析)

課下層級(jí)訓(xùn)練(四十八)雙曲線A級(jí)基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練1已知雙曲線的離心率為2,焦點(diǎn)是(4,0),(4,0),則雙曲線的方程為()A1B1C1D1【答案】A已知雙曲線的離心率為2,焦點(diǎn)是(4,0),(4,0),則c4,a2,b212,雙曲線方程為1 .2(2019·山東菏澤月考)已知雙曲線C:1,則雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(±5,0)B(±,0)C(0,±5)D(0,±)【答案】C由方程C:1表示雙曲線,焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上,可知,a216,b29.則c2a2b225,即c5,故雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±5)3(2018·全國(guó)卷)已知雙曲線C:1(a>0,b>0)的離心率為,則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為()AB2CD2【答案】D由題意,得e,c2a2b2,得a2b2.又因?yàn)閍>0,b>0,所以ab,漸近線方程為x±y0,點(diǎn)(4,0)到漸近線的距離為2.4(2019·山東鄒城檢測(cè))若雙曲線1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4), 則此雙曲線的離心率為()ABCD【答案】A雙曲線1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),4,e .5(2019·山東青島調(diào)研)已知雙曲線C:1(a>0,b>0)的離心率e2,則雙曲線C的漸近線方程為()Ay±2xBy±xCy±xDy±x【答案】D雙曲線C:1(a>0,b>0)的離心率e2,23,.故漸近線方程為y±x±x.6(2018·天津卷)已知雙曲線1(a>0,b>0)的離心率為2,過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1d26,則雙曲線的方程為()A1B1C1D1【答案】C如圖,不妨設(shè)A在B的上方,則A,B.其中的一條漸近線為bxay0,則d1d22b6,b3又由e2,知a2b24a2,a雙曲線的方程為1.7已知雙曲線1(a0,b0)的一條漸近線為2xy0,一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),則a_;b_【答案】12由2xy0,得y2x,所以2又c,a2b2c2,解得a1,b2.8(2018·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線1(a0,b0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為c,則其離心率的值為_(kāi)【答案】2雙曲線的漸近線方程為bx±ay0,焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線的距離db.bc,ac,e2.9設(shè)雙曲線1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過(guò)F1的直線l交雙曲線左支于A,B兩點(diǎn),則|BF2|AF2|的最小值為_(kāi)【答案】10由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1,得a2,由雙曲線的定義可得|AF2|AF1|4,|BF2|BF1|4,所以|AF2|AF1|BF2|BF1|8.因?yàn)閨AF1|BF1|AB|,當(dāng)|AB|是雙曲線的通徑時(shí),|AB|最小,所以(|AF2|BF2|)min|AB|min8810.10已知雙曲線的中心在原點(diǎn),左,右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過(guò)點(diǎn)(4,)(1)求雙曲線的方程;(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證:1·20【答案】(1)解e,可設(shè)雙曲線的方程為x2y2(0)雙曲線過(guò)點(diǎn)(4,),1610,即6,雙曲線的方程為x2y26(2)證明證法一:由(1)可知,雙曲線中ab,c2,F(xiàn)1(2,0),F(xiàn)2(2,0),kMF1,kMF2,kMF1·kMF2點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,9m26,m23,故kMF1·kMF21,MF1MF2,即1·20證法二:由證法一知1(32,m),2(23,m),1·2(32)×(32)m23m2,點(diǎn)M在雙曲線上,9m26,即m230,1·20B級(jí)能力提升訓(xùn)練11(2018·全國(guó)卷)已知雙曲線C:y21,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為C的右焦點(diǎn),過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N.若OMN為直角三角形,則|MN|()AB3C2D4【答案】B由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y±x設(shè)兩漸近線夾角為2,則有tan ,所以30°所以MON260°又OMN為直角三角形,由于雙曲線具有對(duì)稱性,不妨設(shè)MNON,如圖所示在RtONF中,|OF|2,則|ON|則在RtOMN中,|MN|ON|·tan 2·tan 60°3.12(2019·湖北武漢調(diào)研)已知不等式3x2y2>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)P(x,y)到直線yx和直線yx的垂線段分別為PA,PB,若PAB的面積為,則點(diǎn)P軌跡的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)可以是()A(2,0)B(3,0)C(0,2)D(0,3)【答案】A直線yx與yx的夾角為60°,且3x2y2>0,PA與PB的夾角為120°,|PA|PB|·,SPAB|PA|PB|·sin 120°(3x2y2),即P點(diǎn)的軌跡方程為x21,半焦距為c2,焦點(diǎn)坐標(biāo)可以為(2,0)13(2017·全國(guó)卷)已知雙曲線C:1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn)若MAN60°,則C的離心率為_(kāi)【答案】如圖,由題意知點(diǎn)A(a,0),雙曲線的一條漸近線l的方程為yx,即bxay0,點(diǎn)A到l的距離d又MAN60°,MANAb,MAN為等邊三角形,dMAb,即b,a23b2,e.14已知雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,雙曲線的離心率為e,若雙曲線上存在一點(diǎn)P使e,則·_【答案】2由題意及正弦定理得e2,|PF1|2|PF2|,由雙曲線的定義知|PF1|PF2|2,|PF1|4,|PF2|2.又|F1F2|4,由余弦定理可知cosPF2F1,·|·|cosPF2F12×4×2.15已知雙曲線C:1(a>0,b>0)的離心率為,點(diǎn)(,0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)(1)求雙曲線的方程;(2)經(jīng)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的直線,直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A,B,求|AB|【答案】解(1)雙曲線C:1(a>0,b>0)的離心率為,點(diǎn)(,0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn),解得c3,b,雙曲線的方程為1(2)雙曲線1的右焦點(diǎn)為F2(3,0),經(jīng)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F2且傾斜角為30°的直線的方程為y(x3)聯(lián)立得5x26x270設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2所以|AB|× 16已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),實(shí)軸長(zhǎng)為2(1)求雙曲線C的方程;(2)若直線l:ykx與雙曲線C的左支交于A,B兩點(diǎn),求k的取值范圍;(3)在(2)的條件下,線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M(0,m),求m的取值范圍【答案】解(1)設(shè)雙曲線C的方程為1(a>0,b>0)由已知得a,c2,再由a2b2c2,得b21,所以雙曲線C的方程為y21(2)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),將ykx代入y21,得(13k2)x26kx90由題意知解得<k<1所以當(dāng)l與雙曲線左支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),k的取值范圍為(3)由(2)得xAxB,所以yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2所以AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為設(shè)直線l0的方程為yxm,將P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l0的方程,得m因?yàn)?lt;k<1,所以2<13k2<0,所以m<2所以m的取值范圍為(,2) 7

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