2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)23 正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例（含解析）理

課后限時集訓(xùn)(二十三)(建議用時：60分鐘)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1如圖所示，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的( )A北偏東10°B北偏西10°C南偏東80°D南偏西80°D由條件及題圖可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.2如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為( )Aa km B.a kmC.a km D2a kmB在ABC中，ACBCa，ACB120°，AB2a2a22a2cos 120°3a2，ABa.3如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)C與D，測得BCD15°，BDC30°，CD30 m，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于( )A5 m B15 mC5 m D15 mD在BCD中，CBD180°15°30°135°.由正弦定理得，解得BC15(m)在RtABC中，ABBCtanACB15×15(m)4(2019·重慶模擬)一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是( )A10海里 B10海里C20海里 D20海里A如圖所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30°，ACB45°，根據(jù)正弦定理得，解得BC10(海里)5如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測，A，B分別在D處的北偏西15°，北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為( A20海里 B40海里C20(1)海里 D40海里A連接AB，由題意可知CD40，ADC105°，BDC45°，BCD90°，ACD30°，CAD45°，ADB60°，在ACD中，由正弦定理得，AD20，在RtBCD中，BDC45°，BCD90°，BDCD40.在ABD中，由余弦定理得AB20.故選A.二、填空題6如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°的方向上，燈塔B在觀察站C的南偏東60°的方向上，則燈塔A在燈塔B的_的方向上北偏西10°由題意知ABC(180°80°)50°，則燈塔A在燈塔B的北偏西10°的方向上7(2019·衡水模擬)如圖，為了測量河對岸電視塔CD的高度，小王在點(diǎn)A處測得塔頂D的仰角為30°，塔底C與A的連線同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到達(dá)M處，測得塔底C與M的連線同河岸成60°角，則電視塔CD的高度為_m.600在ACM中，MCA60°15°45°，AMC180°60°120°，由正弦定理得，即，解得AC600.在ACD中，tanDAC，DC600×600.8如圖所示，小明同學(xué)在山頂A處觀測到，一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且BAC135°.若山高AD100 m，汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時14 s，則這輛汽車的速度為_ m/s(精確到0.1)參考數(shù)據(jù)：1.414，2.236.22.6由題意可得AB200，AC100，在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC105，則BC100141.4×2.236，又歷時14 s，所以速度為22.6 m/s.三、解答題9某航模興趣小組的同學(xué)，為了測定在湖面上航模航行的速度，采用如下辦法：在岸邊設(shè)置兩個觀察點(diǎn)A，B，且AB長為80米，當(dāng)航模在C處時，測得ABC105°和BAC30°，經(jīng)過20秒后，航模直線航行到D處，測得BAD90°和ABD45°.請你根據(jù)以上條件求出航模的速度(答案可保留根號)解在ABD中，BAD90°，ABD45°，ADB45°，ADAB80，BD80.在ABC中，BC40.在DBC中，DC2DB2BC22DB·BCcos 60°(80)2(40)22×80×40×9 600.DC40，航模的速度v2米/秒10如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上(1)求漁船甲的速度；(2)求sin 的值解(1)依題意知，BAC120°，AB12，AC10×220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC1222022×12×20×cos 120°784，解得BC28.所以漁船甲的速度為14海里/小時(2)在ABC中，因?yàn)锳B12，BAC120°，BC28，BCA，由正弦定理，得，即sin .B組能力提升1(2019·六安模擬)一個大型噴水池的中央有一個強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是 ( )A50 m B100 m C120 m D150 mA設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，A60°，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m2如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點(diǎn)之間的距離，選擇山坡上一段長度為330 m且和P，Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點(diǎn)作為觀測點(diǎn)，現(xiàn)測得PAB90°，PAQPBAPBQ60°，則P，Q兩點(diǎn)間的距離為_m.990由已知，得QABPABPAQ30°.又PBAPBQ60°，AQB30°，ABBQ.又PB為公共邊，PABPQB，PQPA.在RtPAB中，APAB·tan 60°990，故PQ990，P，Q兩點(diǎn)間的距離為990 m3如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角，在山坡的A處測得DAC15°，從A處沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處，又測得DBC45°，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos _.1由DAC15°，DBC45°可得BDA30°，DBA135°，BDC90°(15°)30°45°，由內(nèi)角和定理可得DCB180°(45°)45°90°，根據(jù)正弦定理可得，即DB100sin 15°100×sin(45°30°)25(1)，又，即，得到cos 1.4如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測得山頂P在北偏東15°(BAC15°)方向上，勻速向北航行20分鐘到達(dá)B處，測得山頂P位于北偏東60°方向上，此時測得山頂P的仰角60°，若山高為2千米(1)船的航行速度是每小時多少千米？(2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達(dá)D處，問此時山頂位于D處的南偏東什么方向？解(1)在BCP中，tanPBCBC2.在ABC中，由正弦定理得：，所以AB2(1)，船的航行速度是每小時6(1)千米(2)在BCD中，由余弦定理得：CD，在BCD中，由正弦定理得：sinCDB，所以，山頂位于D處南偏東45°.- 8 -