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高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)14 專題5 突破點(diǎn)14 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) 理

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高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)14 專題5 突破點(diǎn)14 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) 理

專題限時(shí)集訓(xùn)(十四)圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) 建議A、B組各用時(shí):45分鐘A組高考達(dá)標(biāo)一、選擇題1(2016全國甲卷)設(shè)F為拋物線C:y24x的焦點(diǎn),曲線y(k0)與C交于點(diǎn)P,PFx軸,則k()A.B1C.D2Dy24x,F(xiàn)(1,0)又曲線y(k0)與C交于點(diǎn)P,PFx軸,P(1,2)將點(diǎn)P(1,2)的坐標(biāo)代入y(k0)得k2.故選D.2(2016石家莊一模)過點(diǎn)A(0,1)作直線,與雙曲線x21有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則符合條件的直線的條數(shù)為()A0B2 C4D無數(shù)C過點(diǎn)A(0,1)和雙曲線的漸近線平行的直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),這樣的直線有兩條,過點(diǎn)A(0,1)和雙曲線相切的直線只有一個(gè)公共點(diǎn),這樣的直線也有兩條,故共四條直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)3(2016唐山二模)橢圓y21(0m1)上存在點(diǎn)P使得PF1PF2,則m的取值范圍是()A. BC. D.B當(dāng)點(diǎn)P是短軸的頂點(diǎn)時(shí)F1PF2最大,因此若橢圓上存在點(diǎn)P使得PF1PF2,則F1PF290,所以F2PO45(O是原點(diǎn)),從而,即1m2,又0m1,所以0m.4(2016??诙?設(shè)點(diǎn)P是橢圓1(ab0)上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左,右焦點(diǎn),I為PF1F2的內(nèi)心,若SIPF1SIPF22SIF1F2,則該橢圓的離心率為()A. BC. D.A因?yàn)镾IPF1SIPF2SIF1F2SPF1F2,所以3SIF1F2SPF1F2,設(shè)PF1F2內(nèi)切圓的半徑為r,則有2cr(|PF1|PF2|2c)r,整理得|PF1|PF2|4c,即2a4c,所以e.5(2016蘭州模擬)已知橢圓C:1(ab0)的離心率為.雙曲線x2y21的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為() 【導(dǎo)學(xué)號:85952052】A.1 B1C.1 D.1D橢圓的離心率e,所以a2b.所以橢圓方程為x24y24b2.因?yàn)殡p曲線x2y21的漸近線方程為xy0,所以漸近線xy0與橢圓x24y24b2在第一象限的交點(diǎn)為,所以由圓錐曲線的對稱性得四邊形在第一象限部分的面積為bb4,所以b25,所以a24b220.所以橢圓C的方程為1.故選D.二、填空題6(2016合肥二模)雙曲線M:x21的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,記|F1F2|2c,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,c為半徑的圓與雙曲線M在第一象限的交點(diǎn)為P,若|PF1|c2,則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_根據(jù)雙曲線的定義知|PF1|PF2|2,又|PF1|c2,所以|PF2|c,由勾股定理得(c2)2c24c2,即c22c20,解得c1,根據(jù)OPF2是等邊三角形得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.7(2016邯鄲二模)已知F1,F(xiàn)2為1的左、右焦點(diǎn),M為橢圓上一點(diǎn),則MF1F2內(nèi)切圓的周長等于3,若滿足條件的點(diǎn)M恰好有2個(gè),則a2_. 【導(dǎo)學(xué)號:85952053】25由題意得內(nèi)切圓的半徑等于,因此MF1F2的面積為(2a2c),即|yM|2c,因?yàn)闈M足條件的點(diǎn)M恰好有2個(gè),所以M為橢圓短軸端點(diǎn),即|yM|4,所以3a5c而a2c216,所以a225.8(2016平頂山二模)如圖141,F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)B,A.若ABF2為等邊三角形,則雙曲線的離心率為_圖141因?yàn)锳BF2為等邊三角形,由點(diǎn)A是雙曲線上的一點(diǎn)知,|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a,由點(diǎn)B是雙曲線上一點(diǎn)知,|BF2|BF1|2a,從而|BF2|4a,由ABF260得F1BF2120,在F1BF2中應(yīng)用余弦定理得4c24a216a222a4acos 120,整理得c27a2,則e27,從而e.三、解答題9(2016唐山一模)在ABC中,A(1,0),B(1,0),若ABC的重心G和垂心H滿足GH平行于x軸(G,H不重合)(1)求動點(diǎn)C的軌跡方程;(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線AC與以O(shè)為圓心,以|OH|為半徑的圓相切,求此時(shí)直線AC的方程解(1)由題意可設(shè)C(x,y),則G,H,(x1,y).2分因?yàn)镠為垂心,所以x210,整理可得x21,即動點(diǎn)C的軌跡方程為x21(xy0).4分(2)顯然直線AC的斜率存在,設(shè)AC的方程為yk(x1),C(x0,y0)將yk(x1)代入x21得(3k2)x22k2xk230,6分解得x0,y0,則H.8分原點(diǎn)O到直線AC的距離d,依題意可得,10分即7k42k290,解得k21,即k1或1,故所求直線AC的方程為yx1或yx1.12分10(2016全國甲卷)已知橢圓E:1的焦點(diǎn)在x軸上,A是E的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MANA.(1)當(dāng)t4,|AM|AN|時(shí),求AMN的面積;(2)當(dāng)2|AM|AN|時(shí),求k的取值范圍解設(shè)M(x1,y1),則由題意知y1>0.(1)當(dāng)t4時(shí),E的方程為1,A(2,0).2分由已知及橢圓的對稱性知,直線AM的傾斜角為.因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1得7y212y0.解得y0或y,所以y1.4分因此AMN的面積SAMN2.5分(2)由題意t3,k0,A(,0)將直線AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1,故|AM|x1|.7分由題設(shè),直線AN的方程為y(x),故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得,即(k32)t3k(2k1)當(dāng)k時(shí)上式不成立,因此t.9分t3等價(jià)于0,即0.10分由此得或解得k2.因此k的取值范圍是(,2).12分B組名校沖刺一、選擇題1(2016唐山二模)已知點(diǎn)A是拋物線C:x22py(p0)上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若以點(diǎn)M(0,8)為圓心,|OA|的長為半徑的圓交拋物線C于A,B兩點(diǎn),且ABO為等邊三角形,則p的值是()A.B2 C6D.D由題意知|MA|OA|,所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,又ABO為等邊三角形,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為,又點(diǎn)A是拋物線C上一點(diǎn),所以2p4,解得p.2(2016安慶二模)已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為1,隨著a的增大該橢圓的形狀()A越接近于圓 B越扁C先接近于圓后越扁 D先越扁后接近于圓D由題意知4aa21且a0,解得2a2,又e2111.因此當(dāng)a(2,1)時(shí),e越來越大,當(dāng)a(1,2)時(shí),e越來越小,故選D.3已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),對于左支上任意一點(diǎn)P都有|PF2|28a|PF1|(a為實(shí)半軸),則此雙曲線的離心率e的取值范圍是() 【導(dǎo)學(xué)號:85952054】A(1,) B(2,3C(1,3 D(1,2C由P是雙曲線左支上任意一點(diǎn)及雙曲線的定義,得|PF2|2a|PF1|,所以|PF1|4a8a,所以|PF1|2a,|PF2|4a,在PF1F2中,|PF1|PF2|F1F2|,即2a4a2a,所以e3.又e1,所以1e3.故選C.4(2016武漢二模)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F,已知點(diǎn)A,B為拋物線上的兩個(gè)動點(diǎn),且滿足AFB120.過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN,垂足為N,則的最大值為()A.B1 C.D2A設(shè)AFa,BFb,由余弦定理得|AB|2a2b22abcos 120a2b2ab(ab)2ab(ab)22(ab)2.abAFBF2MN,|AB|2|2MN|2,.二、填空題5(2016哈爾濱二模)設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓x21(0b1)的左、右焦點(diǎn),過F1的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),若|AF1|3|F1B|,且AF2x軸,則b2_.由題意F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),AF2x軸,|AF2|b2,A點(diǎn)坐標(biāo)為(c,b2),設(shè)B(x,y),則|AF1|3|F1B|,(cc,b2)3(xc,y),B,代入橢圓方程可得21.1b2c2,b2.6過拋物線y24x焦點(diǎn)F的直線交其于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|AF|3,則AOB的面積為_設(shè)直線AB的傾斜角為(0)及|BF|m,|AF|3,點(diǎn)A到準(zhǔn)線l:x1的距離為3,23cos 3,即cos ,則sin .m2mcos(),m,AOB的面積為S|OF|AB|sin 1.三、解答題7如圖142,橢圓C:1(ab0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B,且|AB|BF|.圖142(1)求橢圓C的離心率;(2)若點(diǎn)M在橢圓C內(nèi)部,過點(diǎn)M的直線l交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),M為線段PQ的中點(diǎn),且OPOQ.求直線l的方程及橢圓C的方程解(1)由已知|AB|BF|,即a,2分4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2,e.4分(2)由(1)知a24b2,橢圓C:1.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由1,1,可得0,即0,即(y1y2)0,從而kPQ2,6分直線l的方程為y2,即2xy20.8分由x24(2x2)24b20,即17x232x164b20,9分3221617(b24)0b,x1x2,x1x2.OPOQ,0,即x1x2y1y20,x1x2(2x12)(2x22)0,5x1x24(x1x2)40,11分從而40,解得b1,橢圓C的方程為y21.12分8(2016全國丙卷)已知拋物線C:y22x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn)(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明:ARFQ;(2)若PQF的面積是ABF的面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程解由題意知F.設(shè)l1:ya,l2:yb,則ab0,且A,B,P,Q,R.記過A,B兩點(diǎn)的直線為l,則l的方程為2x(ab)yab0.2分(1)由于F在線段AB上,故1ab0.記AR的斜率為k1,F(xiàn)Q的斜率為k2,則k1bk2.所以ARFQ.4分(2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0),則SABF|ba|FD|ba|,SPQF.6分由題設(shè)可得2|ba|,8分所以x10(舍去)或x11.設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x,y)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),9分由kABkDE可得(x1)而y,所以y2x1(x1).10分當(dāng)AB與x軸垂直時(shí),E與D(1,0)重合.11分所以,所求軌跡方程為y2x1.12分

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