高考大題分層練 5 解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(A組) 理 新人教版
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高考大題分層練 5 解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(A組) 理 新人教版
高考大題分層練 5.解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(A組)大題集訓(xùn)練,練就慧眼和規(guī)范,占領(lǐng)高考制勝點!1.已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點M(m,2),其焦點為F,且=2.(1)求拋物線C的方程.(2)設(shè)E為y軸上異于原點的任意一點,過點E作不經(jīng)過原點的兩條直線分別與拋物線C和圓F:(x-1)2+y2=1相切,切點分別為A,B,求證:直線AB過定點.【解析】(1)拋物線C的準(zhǔn)線方程為:x=-,所以=m+=2,又因為4=2pm,即4=2p,所以p2-4p+4=0,所以p=2.拋物線C的方程為y2=4x.(2)設(shè)點E(0,t)(t0),由已知切線不為y軸,設(shè)EA:y=kx+t,聯(lián)立消去y,可得k2x2+(2kt-4)x+t2=0,因為直線EA與拋物線C相切,所以=(2kt-4)2-4k2t2=0,即kt=1,代入x2-2x+t2=0,所以x=t2,即A(t2,2t),設(shè)切點B(x0,y0),則由幾何性質(zhì)可以判斷點O,B關(guān)于直線EF:y=-tx+t對稱,則解得:即B.方法一:直線AB的斜率為kAB=(t1),直線AB的方程為y=(x-t2)+2t,整理y=(x-1),所以直線AB過定點恒過定點F(1,0),當(dāng)t=1時,A(1,2),B(1,1),此時直線AB為x=1,過點F(1,0).綜上,直線AB過定點恒過定點F(1,0).方法二:直線AF的斜率為kAF=(t1),直線BF的斜率為kBF=(t1),所以kAF=kBF,即A,B,F(xiàn)三點共線,當(dāng)t=1時,A(1,2),B(1,1),此時A,B,F(xiàn)共線.所以直線AB過定點F.2.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x2)+ax.(a0)(1)若f(x)在x=0處取得極值,求a的值.(2)討論f(x)的單調(diào)性.(3)證明:<(nN*,e為自然對數(shù)的底數(shù)).【解析】(1)因為f(x)=+a,因為x=0是f(x)的一個極值點,則f(0)=0,所以a=0,驗證知a=0符合條件(2)因為f(x)=+a=,若a=0,所以f(x)在(0,+)單調(diào)遞增,在(-,0)單調(diào)遞減;若當(dāng)a-1時,f(x)0對xR恒成立,所以f(x)在R上單調(diào)遞減;若-1<a<0,由f(x)>0得ax2+2x+a>0,所以<x<,再令f(x)<0,可得x>或x<,所以f(x)在上單調(diào)遞增,在和上單調(diào)遞減,綜上所述,若a-1,f(x)在(-,+)上單調(diào)遞減;若-1<a<0,f(x)在(,)上單調(diào)遞增,和上單調(diào)遞減;若a=0,f(x)在(0,+)單調(diào)遞增,在(-,0)單調(diào)遞減.(3)由(2)知,當(dāng)a=-1時,f(x)在(-,+)單調(diào)遞減,當(dāng)x(0,+)時,由f(x)<f(0)=0,所以ln(1+x2)<x,所以ln=ln+ln+ln<+=<,所以<=(nN*,e為自然對數(shù)的底數(shù)).