高考大題分層練 8 解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(D組) 理 新人教版
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高考大題分層練 8 解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(D組) 理 新人教版
高考大題分層練 8.解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(D組)大題集訓(xùn)練,練就慧眼和規(guī)范,占領(lǐng)高考制勝點(diǎn)!1.設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0),定義橢圓C的“相關(guān)圓”方程為x2+y2=,若拋物線y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合,且橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形.(1)求橢圓C的方程和“相關(guān)圓”E的方程.(2)過(guò)“相關(guān)圓”E上任意一點(diǎn)P作“相關(guān)圓”E的切線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).證明AOB為定值.【解析】(1)因?yàn)槿魭佄锞€y2=4x的焦點(diǎn)為(1,0)與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合,所以c=1,又因?yàn)闄E圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,所以b=c=1,故橢圓C的方程為+y2=1,“相關(guān)圓”E的方程為x2+y2=.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),不妨設(shè)直線AB方程為x=,則A,B,所以AOB=.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=kx+m,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程組得x2+2(kx+m)2=2,即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2-m2+1)>0,即2k2-m2+1>0(*),因?yàn)橹本€與相關(guān)圓相切,所以d=,所以3m2=2+2k2,所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=-+m2=0,所以O(shè)AOB,所以AOB=為定值.2.已知函數(shù)f(x)=x-1-a(x-1)2-lnx(aR).(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)若存在k(1,2),使得當(dāng)x(0,k時(shí),f(x)的值域是f(k),+),求a的取值范圍.(注:自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e=2.71828)【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=1-=.由f(x)<0,解得0<x<1;由f(x)>0,解得x>1.所以,函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(1,+),減區(qū)間為(0,1).(2)f(x)=1-2a(x-1)-=-=-.當(dāng)a0時(shí),<0.當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)<0,f(x)在(0,1)上為減函數(shù);當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0,f(x)在(1,+)上為增函數(shù).所以,當(dāng)x(0,k(1<k<2)時(shí),f(x)min=f(1)=0<f(k),f(x)的值域是0,+).不符合題意.當(dāng)a>0時(shí),f(x)=-.(i)當(dāng)<1,即a>時(shí),當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下:x1(1,+)f(x)-0+0-f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)若滿(mǎn)足題意,只需滿(mǎn)足f>f(2),即-1-a-ln>1-a-ln2.整理得+ln2a+ln2-1>0.令F(a)=+ln2a+ln2-1,當(dāng)a>時(shí),F(xiàn)(a)=-=>0,所以F(a)在上為增函數(shù),所以,當(dāng)a>時(shí),F(xiàn)(a)>F=ln2->ln-=0.可見(jiàn),當(dāng)a>時(shí),f>f(2)恒成立.故若a>,當(dāng)x(0,k(1<k<2)時(shí),函數(shù)f(x)的值域是f(k),+).所以a>滿(mǎn)足題意.()當(dāng)=1,即a=時(shí),f(x)=-0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).所以f(x)在(0,+)上為減函數(shù).從而f(x)在(0,k上為減函數(shù).符合題意.()當(dāng)>1,即0<a<時(shí),當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x(0,1)1f(x)-0+0-f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)若滿(mǎn)足題意,只需滿(mǎn)足f(2)<f(1),且<2,即a>1-ln2,且a>.又1-ln2>,所以a>1-ln2.此時(shí),1-ln2<a<.綜上,a>1-ln2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1-ln2,+).