中考數(shù)學(xué) 知識點聚焦 第八章 不等式與不等式組

第八章不等式與不等式組考情分析高頻考點考查頻率所占分值1.不等式的性質(zhì)2.一元一次不等式的解法3.一元一次不等式的特殊解4.一元一次不等式的應(yīng)用5.由實際問題抽象出一元一次不等式6.解一元一次不等式組7.一元一次不等式組的特殊解8.在數(shù)軸上表示不等式（組）的解集310分知能圖譜第17講一元一次不等式知識能力解讀知能解讀（一）不等式的有關(guān)概念1不等式的定義用符號“”或“”表示大小關(guān)系的式子，叫作不等式.像這樣用符號“”表示不等關(guān)系的式子也是不等式.注意（1）方程與不等式的區(qū)別：方程表示的是相等關(guān)系，不旁式表示的是不等關(guān)系.（2）常用的不等號有“”五種.“”“”不僅表示左右兩邊的不等關(guān)系，還明確表示左右兩邊的大??；“”“”也表示不等關(guān)系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或等于）；“”表示左右兩邊不相等.2不等式的解、解集不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值叫作不等式的解.不等式的解集：一般地，一個含有未知數(shù)的不等 式的所有的解，組成這個不等式的解集.不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，是數(shù)形結(jié)合的具體表現(xiàn).一般來說，不等式的解集用數(shù)軸表示有以下四種情況：不等式表示數(shù)軸表示注意（1）不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系：不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值，而不等式的解集是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,故不等式的所有解組成了這個不等式的解集，不等式的解集中包括這個不等式的每一個解.（2）用數(shù)軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號畫實心圓點，無等號畫空心圓圖.3解不等式求不等式的解集的過程叫作解不等式.知能讀解（二）不等式的性質(zhì)性質(zhì)文字語言數(shù)學(xué)語言性質(zhì)1不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變?nèi)绻?，那么性質(zhì)2不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變?nèi)绻敲矗ɑ颍┬再|(zhì)3不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變?nèi)绻敲矗ɑ颍c撥（1）運用不等式的性質(zhì)對不等式進(jìn)行變形時，要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，在乘（或除以）同一個數(shù)時，必須先弄清這個數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，不等號的方向要改變.（2）不等式性質(zhì)的拓展：對稱性：如果，那么.傳遞性：如果，那么.同向相加性：如果，那么.知能解讀（三）一元一次不等式的概念不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式叫一元一次不等式.如“”或“”，其中是未知數(shù)，是已知數(shù)，并且.或是一元一次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式.例如，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式.注意一元一次不等式的四點標(biāo)準(zhǔn)：（1）是不等式；（2）只含有一個未知數(shù)；（3）不等號兩邊的代數(shù)式；(4)未知數(shù)的最高次數(shù)是1.知能解讀（四）一元一次不等式的解法一元一次方程的解法與一元一次不等式的解法既有聯(lián)系又有區(qū)別，具體如下表：一元一次方程一元一次不等式解法的依據(jù)方程得兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），方程的解不變方程的兩邊乘（或除以）同一個不為零的數(shù)，方程的解不變不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變不等式的兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變不等式的兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變解法的步驟去分母；去括號；移項；合并同類項；未知數(shù)的系數(shù)化為1去分母；去括號；移項；合并同類項；未知數(shù)的系數(shù)化為1在步驟和步驟中，如果乘數(shù)（或除以）是負(fù)數(shù)，不等號要改變方向解得情況一元一次方程只有一個解一元一次不等式可以有無數(shù)多個解知能解讀（五）列一元一次不等式解決實際問題列不等式解應(yīng)用題的基本步驟與列方程解應(yīng)用題的步驟類似，即（1）審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量及其關(guān)系，找出題中不等關(guān)系，要抓住題設(shè)中的關(guān)鍵“字眼”，如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等.（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù),并用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出題目中涉及的量.（3）列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式.（4）解：解出所列不等式的解集.（5）驗：檢驗答案是否符合題意.（6）答：寫出答案.在以上步驟中，審題是基礎(chǔ)，根據(jù)題意找出不等關(guān)系是關(guān)鍵，而根據(jù)不等關(guān)系列出不等式又是解題難點.以上過程可簡單表述為: .方法技巧歸納方法技巧（一）用不等式表示數(shù)量間的不等關(guān)系首先列出有關(guān)的代數(shù)式，其中把所列的代數(shù)式用不等號連接.關(guān)鍵是把題中的文字語言正確轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.點撥列不等式時，先用代數(shù)式表示其中的相關(guān)量，再把關(guān)鍵詞找出來，用不等號表示不等關(guān)系.方法技巧（二）不等式的性質(zhì)的應(yīng)用根據(jù)不等式的性質(zhì)，可以將一個不等式變形，尤其要注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，當(dāng)不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向要改變.方法技巧（三）一元一次不等式的解法解一元一次不等式與解一元一次方程的方法步驟類似，注意在利用不等式的性質(zhì)3對不等式進(jìn)行變形時，要改變不等號的方向.解一元一次不等式各個步驟的根據(jù)、做法、注意事項如下：(1)去分母：根據(jù)不等式的性質(zhì)2、3.做法：不等式兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù).注意（1）不要漏乘不含分母的項.（2）分子是一個代數(shù)式時，分?jǐn)?shù)線有括號的作用，去分母后，應(yīng)作為一個整體加上括號.（3）不等式兩邊乘同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向改變（2）去括號：根據(jù)去括號法則、乘法分配率.注意（1）一個數(shù)乘多項式時，不要漏乘括號里的任一項.（2）不要出現(xiàn)符號的錯誤.（3）移項：根據(jù)移項法則.做法：把含有未知數(shù)的移項到不等式的一邊，其他移項都移到不等式的另一邊.注意移項時該項要變號，不要漏項.（4）合并同類項：根據(jù)合并同類項法則.做法：系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變，把不等式化成或的形式.（5）系數(shù)化為1：根據(jù)不等式的性質(zhì)2、3.做法：不等式兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù).注意（1）不要把分子、分母搞顛倒.（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向要改變.點撥在利用不等式的性質(zhì)3時，注意不等號的方向要改變.點撥因為的系數(shù)不確定，所以要分情況討論，體現(xiàn)了分類討論思想.方法技巧（四）一元一次不等式的應(yīng)用1求不等式特殊解的方法此類題目把不等式的知識與其他知識綜合到一起進(jìn)行考查，綜合性強、難度大，一般應(yīng)先根據(jù)題意列出符合條件的不等式，再去求解集，然后根據(jù)題目條件找出相應(yīng)的解.點撥首先應(yīng)根據(jù)題中所給的不等關(guān)系，列出能夠反映本題意義的不等式，要注意“不小于”“不大于”“大于”“小于”等關(guān)鍵性詞語，然后再解不等式，并找出符合“非負(fù)整數(shù)”條件的.注意可借助數(shù)軸直觀找出適合的解，以防重解或漏解.2根據(jù)不等式解集的情況，確定不等式中某個參數(shù)的范圍點撥解決本題的關(guān)鍵是解一元一次不等式和利用數(shù)形結(jié)合思想分析題意.方法技巧（五）列一元一次不等式解應(yīng)用題的技巧應(yīng)用一元一次不等式解決實際問題，需要認(rèn)真審題，準(zhǔn)確把握問題中的數(shù)量關(guān)系，尤其是不等關(guān)系，更要抓住題目中的關(guān)鍵詞，設(shè)出未知數(shù)，列出不等式，從而解決問題.點撥本題是一元一次不等式與二元一次方程組的綜合應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系與不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.易混易錯辨析易混易錯知識1.應(yīng)用不等式的性質(zhì)時出錯.根據(jù)不等式的性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向應(yīng)改變，而在解題中易忽略這一點.2.混淆非負(fù)整數(shù)解與正整數(shù)解，導(dǎo)致出錯.在求不等式的特殊解時，對“非負(fù)整數(shù)解”概念理解不清，易忘掉0.易混易錯(一)不等式兩邊同乘一個字母時沒有分類討論易混易錯(二)求不等式的特殊解時易丟掉某些解易混易錯(三)解不等式去分母時易漏乘不含分母的項易混易錯(四)應(yīng)用不等式的性質(zhì)3時容易出錯易混易錯(五)應(yīng)用不等式的特殊解求某個字母的取值范圍時出錯中考試題研究中考命題規(guī)律本講主要考點有不等式的性質(zhì)、一元一次不等式的解法、求不等式的特殊解及與實際生活密切聯(lián)系的不等式應(yīng)用題，題型有選擇題、填空題、解答題，近幾年，決策類及與函數(shù)等知識相聯(lián)系的應(yīng)用題備受關(guān)注.中考試題（一）解不等式點撥去分母時，注意不含分母的項也要乘各分母的最小公倍數(shù)，系數(shù)化為1時，注意不等號方向的變化.中考試題（二）運用不等式的性質(zhì)對不等式進(jìn)行變形中考試題（三）不等式和分式的綜合點撥本題選取的的值既要使化簡后的分式有意義，又要使原分式有意義，即原分式的分母不能為0,化簡后分式的分母也不能為0.中考試題（四）不等式中的新定義運算中考試題（五）利用不等式解決實際問題第18講 一元一次不等式組知能解讀（一）一元一次不等式組的概念關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，組成一個一元一次不等式組.注意判斷一個不等式組是一元一次不等式組可根據(jù)下列兩個條件：（1)組成不等式組的每一個不等式必須是一元一次不等式且未知數(shù)相同；（2)不等式組中不等式至少是2個，也就是說可以是2個、3個、4個或過個.例如就不是一元一次不等式組，因為不等式組中未知數(shù)的個數(shù)為2.知能解讀（二）一元一次不等式組的解集1概念一般地，幾個不等式的解集的公共部分，叫作由它們所組成的不等式組的解集.如果這些不等式的解集無公共部分，就說這個不等式組無解.注意公共部分是指數(shù)軸上兩個(多個)不等式解集的區(qū)域都覆蓋住的部分.2解集的確定方法(共四種情況）解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分.利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.為了解題方便，可采用數(shù)軸法和口訣法，數(shù)軸法直觀明了，口訣法易記易用.由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集，可劃分為以下四種情形：不等式組數(shù)軸表示解集口訣（規(guī)律）同大取大同小取小大小小大中間找無解大大小小解沒了3幾種特殊不等式（組）的解集（1）關(guān)于的不等式組的解集為；（2）關(guān)于的不等式組無解；（3）關(guān)于的不等式的解集為全體實數(shù)，關(guān)于的不等式無解；（4）不等式（或）的解集為全體實數(shù)，不等式（或）無解.知能解讀（三）一元一次不等式組的解法解不等式組的方法步驟：（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集；（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集.知能解讀(四）列一元一次不等式組解決實際問題利用不等式組解決問題的方法、步驟與列二元一次方程組解應(yīng)用題的步驟類似，不同的是后者尋求等量關(guān)系，列出的是等式，前者尋求的是不等關(guān)系，并且解不等式所得結(jié)果通常為一個解集，需要從解集中找出符合條件的答案，即審、設(shè)、列、解、答.方法技巧歸納方法技巧（一）不等式組解集的確定方法一元一次不等式組解集的確定主要是借助數(shù)軸直觀找到，共分四種情況，“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解沒了”，對于口訣，不要死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)上加以運用.注意注意看圖要細(xì)致，弄清標(biāo)注的位置上是空心圓圈還是實心圓點，同時還要看清方向，是向右 畫還是向左畫.解不等式組時，借助數(shù)軸確定解集更加直觀、明了.方法技巧（二）不等式組的求解方法分二步：先求出各個不等式的解集，再利用數(shù)軸找出這些解集的公共部分，就是這個不等式組的解集.注意在數(shù)軸上找解集的公共部分是指數(shù)軸上被兩個不等式解集的區(qū)域都蓋住的部分，若無公共部分，則說這個不等式組無解.方法技巧（三)確定不等式組中待定系數(shù)的取值范圍如果已知不等式組的解集，可根據(jù)規(guī)律“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解沒了”的逆用，確定待定系數(shù)的取值情況.例如若不等式組的解集為，則由“同大取大”知.再如若不等式組的解集為，則可知，此類問題是中考熱點，下列舉例參考.注意本題中易忽略相等的情況，注意題目中的臨界點.點撥確定不等式組中某一個字母的取值范圍問題，往往借助數(shù)軸，使問題直觀易解.方法技巧（四）含字母系數(shù)的不等式組的解法技巧點撥在解含有字母系數(shù)的不等式組時，注意對字母系數(shù)分類討論，以免漏解.易混易錯辨析易混易錯知識1.確定不等式組的解集時有誤.部分同學(xué)能熟練求出一元一次不等式的解集，但不會找兩個不等式解集的公共部分，從而導(dǎo)致求錯不等式組的解集.如：的解集誤寫成，實際上是無解.2.求不等式組的某些特殊解時對界點的合理性理解不透導(dǎo)致出錯.易混易錯（一）求不等式組中字母的取值范圍時易丟掉某些解易混易錯（二）將解二元一次方程組的解法錯用在解一元一次不等式組上中考試題研究中考命題規(guī)律本講的主要考點有一元一次不等式組的解法、求不等式組的特殊解，題型有選擇題、填空題、解答題，同時加大了對數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的考查力度.中考試題（一）解不等式組中考試題（二）對解集概念的理解中考試題（三）不等式組的創(chuàng)新和綜合應(yīng)用注意根據(jù)的取值情況確定不等式組的解集，體現(xiàn)了分類討論思想.中考試題（四）列不等式組解決實際問題