（課標(biāo)專用）天津市2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練12 空間幾何體

專題能力訓(xùn)練12空間幾何體專題能力訓(xùn)練第30頁(yè) 一、能力突破訓(xùn)練1.球的體積為43,平面截球O的球面所得圓的半徑為1,則球心O到平面的距離為()A.1B.2C.3D.6答案:B解析:依題意,設(shè)該球的半徑為R,則有43R3=43,解得R=3,因此球心O到平面的距離d=R2-12=2.2.已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為()A.B.34C.2D.4答案:B解析:設(shè)圓柱的底面半徑為r,球的半徑為R,且R=1,由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知,r,R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形.r=12-122=32.圓柱的體積為V=r2h=34×1=34.故選B.3.在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P在線段BD1上,且BPPD1=12,M為線段B1C1上的動(dòng)點(diǎn),則三棱錐M-PBC的體積為()A.1B.32C.92D.與M點(diǎn)的位置有關(guān)答案:B解析:BPPD1=12,點(diǎn)P到平面BC1的距離是D1到平面BC1距離的13,即為D1C13=1.M為線段B1C1上的點(diǎn),SMBC=12×3×3=92,VM-PBC=VP-MBC=13×92×1=32.4.已知平面截球O的球面得圓M,過(guò)圓心的平面與的夾角為6,且平面截球O的球面得圓N.已知球的半徑為5,圓M的面積為9,則圓N的半徑為()A.3B.13C.4D.21答案:B解析:如圖,OA=5,AM=3,OM=4.NMO=3,ON=OM·sin3=23.又OB=5,NB=OB2-ON2=13,故選B.5.已知三棱柱ABC-A'B'C'的側(cè)棱垂直于底面,各頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱柱的體積為3,AB=2,AC=1,BAC=60°,則此球的表面積是()A.2B.4C.8D.10答案:C解析:根據(jù)余弦定理可知,BC=3,則ACB=90°.如圖,點(diǎn)E,F分別是斜邊AB,A'B'的中點(diǎn),點(diǎn)O為EF的中點(diǎn),則點(diǎn)O為三棱柱外接球的球心,連接OA.設(shè)三棱柱的高為h,V=12×1×3×h=3,解得h=2,R2=OA2=12AB2+12h2,代入可得R2=1+1=2,所以此球的表面積為S=4R2=8.6.已知三棱錐A-BCD內(nèi)接于半徑為5的球O中,AB=CD=4,則三棱錐A-BCD的體積的最大值為()A.43B.83C.163D.323答案:C解析:如圖,過(guò)CD作平面ECD,使AB平面ECD,交AB于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)E到CD的距離為EF,當(dāng)球心在EF上時(shí),EF最大,此時(shí)E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),且球心O為EF的中點(diǎn),所以EF=2,所以Vmax=13×12×4×2×4=163,故選C.7.在四面體ABCD中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,則四面體ABCD的外接球的表面積為. 答案:772解析:構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體,使得它的三條面對(duì)角線長(zhǎng)分別為4,5,6,設(shè)長(zhǎng)方體的三條邊長(zhǎng)分別為x,y,z,則x2+y2+z2=772,而長(zhǎng)方體的外接球就是四面體的外接球,所以S=4R2=772.8.如圖所示,圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為. 答案:1403解析:由題知,旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是一個(gè)圓臺(tái)去掉一個(gè)半球,其中圓臺(tái)的體積為V=13×(×22+×22××52+×52)×4=52,半球的體積V=12×43××23=163,則所求體積為52-163=1403.9.已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為78,SA與圓錐底面所成角為45°.若SAB的面積為515,則該圓錐的側(cè)面積為. 答案:402解析:設(shè)O為底面圓圓心,cosASB=78,sinASB=1-782=158.SASB=12×|AS|·|BS|·158=515.SA2=80.SA=45.SA與圓錐底面所成的角為45°,SOA=90°,SO=OA=22SA=210.S圓錐側(cè)=rl=45×210×=402.10.已知正四棱錐P-ABCD中,PA=23,則當(dāng)該正四棱錐的體積最大時(shí),它的高h(yuǎn)等于. 答案:2解析:設(shè)正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為a,PA=23,2a22+h2=12,即a22+h2=12,故a2=24-2h2,正四棱錐P-ABCD的體積V=13a2h=8h-23h3(h>0),V'=8-2h2.令V'>0,得0<h<2,令V'<0,得h>2,當(dāng)h=2時(shí),正四棱錐P-ABCD的體積取得最大值.11.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過(guò)點(diǎn)E,F的平面與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫法和理由);(2)求平面把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.解:(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示.(2)作EMAB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面分成兩個(gè)高為10的直棱柱,所以其體積的比值為9779也正確.12.如圖所示,等腰三角形ABC的底邊AB=66,高CD=3,點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B,D的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F在BC邊上,且EFAB,現(xiàn)沿EF將BEF折起到PEF的位置,使PEAE,記BE=x,V(x)表示四棱錐P-ACFE的體積,求V(x)的最大值.解:因?yàn)镻EEF,PEAE,EFAE=E,所以PE平面ABC.因?yàn)镃DAB,FEAB,所以EFCD,所以EFCD=BEBD,即EF3=x36,所以EF=x6,所以SABC=12×66×3=96,SBEF=12×x×x6=612x2,所以V(x)=13×96-612x2x=63x9-112x2(0<x<36).因?yàn)閂'(x)=639-14x2,所以當(dāng)x(0,6)時(shí),V'(x)>0,V(x)單調(diào)遞增;當(dāng)6<x<36時(shí),V'(x)<0,V(x)單調(diào)遞減,因此當(dāng)x=6時(shí),V(x)取得最大值126.二、思維提升訓(xùn)練13.如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則V1V2的值是. 答案:32解析:設(shè)球O的半徑為r,則圓柱O1O2的高為2r,故V1V2=r2·2r43r3=32,答案為32.14.如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),DBC,ECA,FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開(kāi)后,分別以BC,CA,AB為折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為. 答案:415解析:如圖所示,連接OD,交BC于點(diǎn)G.由題意知ODBC,OG=36BC.設(shè)OG=x,則BC=23x,DG=5-x,三棱錐的高h(yuǎn)=DG2-OG2=25-10x+x2-x2=25-10x.因?yàn)镾ABC=12×23x×3x=33x2,所以三棱錐的體積V=13SABC·h=3x2·25-10x=3·25x4-10x5.令f(x)=25x4-10x5,x0,52,則f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,可得x=2,則f(x)在(0,2)單調(diào)遞增,在2,52單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(2)=80.所以V3×80=415,所以三棱錐體積的最大值為415.15.若三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SA平面ABC,SA=215,AB=1,AC=2,BAC=60°,則球O的表面積為. 答案:64解析:如圖,三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,因?yàn)锳B=1,AC=2,BAC=60°,所以BC=3,所以ABC=90°.所以ABC截球O所得的圓O'的半徑r=1.設(shè)OO'=x,球O的半徑為R,則R2=x2+12,R2=(SA-x)2+12,所以x2+1=(215-x)2+1,解得x=15,R2=(15)2+12,R=4.所以球O的表面積為4R2=64.16.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿對(duì)角線AC把矩形折成二面角D-AC-B(如圖),并且點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影落在AB上.(1)證明:AD平面DBC;(2)若在四面體D-ABC內(nèi)有一球,問(wèn):當(dāng)球的體積最大時(shí),球的半徑是多少?(1)證明設(shè)D在平面ABC內(nèi)的射影為H,則H在AB上,連接DH,如圖,則DH平面ABC,得DHBC.又ABBC,ABDH=H,所以BC平面ADB,故ADBC.又ADDC,DCBC=C,所以AD平面DBC.(2)解當(dāng)球的體積最大時(shí),易知球與三棱錐D-ABC的各面相切,設(shè)球的半徑為R,球心為O,則VD-ABC=13R(SABC+SDBC+SDAC+SDAB).由已知可得SABC=SADC=6.過(guò)點(diǎn)D作DGAC于點(diǎn)G,連接GH,如圖,可知HGAC.易得DG=125,HG=2720,DH=DG2-HG2=374,SDAB=12×4×374=372.在DAB和BCD中,因?yàn)锳D=BC,AB=DC,DB=DB,所以DABBCD,故SDBC=372,VD-ABC=13×6×374=372.則R36+372+6+372=372,于是(4+7)R=372,所以R=372×(4+7)=47-76.- 9 -