高中數(shù)學(xué) 4_2 曲線的極坐標(biāo)方程 6 圓錐曲線的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng) 蘇教版選修4-4

【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.2 曲線的極坐標(biāo)方程 6 圓錐曲線的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng) 蘇教版選修4-4 (建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)1過橢圓1的左焦點(diǎn)引一條直線與橢圓自上而下交于A、B兩點(diǎn)，若FA2FB，求直線l的斜率【解】橢圓1中，a5，b3，c4，所以e，p.取橢圓的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正方向?yàn)闃O軸正方向，建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為.設(shè)A(1，)、B(2，)由題設(shè)得122.于是2，解得cos ，所以tan ，即直線l的斜率為.2已知橢圓方程為，過左焦點(diǎn)引弦AB，已知AB8，求AOB的面積【解】如圖，設(shè)A(1，)、B(2，)所以12.因?yàn)锳B8，所以8，所以cos2，sin .由橢圓方程知e，則c3.SAOBSAOFSBOFOF1sin OF2sin 8.3如圖424，過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的弦AB與x軸斜交，M為AB的中點(diǎn)，MNAB，并交對(duì)稱軸于N.圖424求證：MN2AFBF.【證明】取F為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)A(1，)、B(2，)，則AFBF.不妨設(shè)0，則MF(12)().所以MNMFtan tan .所以MN2AFBF.4如圖425，已知圓F：x2y24x0，拋物線G的頂點(diǎn)是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)是已知圓的圓心F，過圓心且傾斜角為的直線l與拋物線G、圓F從上至下順次交于A、B、C、D四點(diǎn)圖425(1)當(dāng)直線的斜率為2時(shí)，求ABCD；(2)當(dāng)為何值時(shí)，ABCD有最小值？并求這個(gè)最小值【解】圓F：x2y24x0的圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.以圓心F為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系則圓F的坐標(biāo)方程為2，拋物線G的極坐標(biāo)方程為.設(shè)A(1，)、D(2，)，所以ABAF2，CDFD2，即ABCDAFFD41244444.(1)由題意，得tan 2，所以sin2.所以ABCD46.(2)ABCD4，當(dāng)sin21，即時(shí)ABF2的面積取到最小值4.5已知拋物線，過焦點(diǎn)作互相垂直的極徑FA、FB，求FAB的面積的最小值【解】設(shè)A(1，)、B，則1，2.FAB的面積為S12.設(shè)tsin cos ，則sin cos .所以1cos sin sin cos 1t(t1)2.又tsin cos sin，所以當(dāng)t，即時(shí)，F(xiàn)AB的面積S有最小值.6已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，且F1PF290.(1)求橢圓C的離心率；(2)若直線l過左焦點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且ABF2的面積的最大值為12，求橢圓C的方程【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990017】【解】(1)因?yàn)镕1PF290，所以PFPFF1F，即a2a24c2.所以e.(2)以橢圓的左焦點(diǎn)F1為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為.設(shè)A(1，)、B(2，)，則ABAFFB12.因?yàn)镕1F22c，所以ABF2的邊AB上的高h(yuǎn)為2c|sin |，ABF2的面積SABh.因?yàn)閨sin |2，所以當(dāng)|sin |1，即或時(shí)S取到最大值所以當(dāng)l過左焦點(diǎn)且垂直于極軸時(shí)，ABF2的面積取到最大值pc，所以pc12，即b26.故a2c26.又，所以a212，c26.所求橢圓的方程為1.7已知橢圓1，直線l：1，P是l上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于R，又點(diǎn)Q在OP上，且滿足|OQ|OP|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線【解】如圖，以O(shè)為極點(diǎn)，Ox為極軸，建立極坐標(biāo)系，則：橢圓的極坐標(biāo)方程為2，直線l的極坐標(biāo)方程.由于點(diǎn)Q、R、P在同一射線上，可設(shè)點(diǎn)Q、R、P的極坐標(biāo)分別為(，)、(1，)、(2，)，依題意，得，2.由|OQ|OP|OR|2得2(0)將代入，得，則(0)這就是點(diǎn)Q的軌跡的極坐標(biāo)方程，化為直角坐標(biāo)方程，得2x23y24x6y，即1(x、y不同時(shí)為0)點(diǎn)Q的軌跡為以(1,1)為中心，長軸平行于x軸，長、短半軸長分別為，的橢圓(去掉坐標(biāo)原點(diǎn))能力提升8建立極坐標(biāo)系證明：已知半圓直徑|AB|2r(r0)，半圓外一條直線l與AB所在直線垂直相交于點(diǎn)T，并且|AT|2a(2a)若半圓上相異兩點(diǎn)M，N到l的距離|MP|、|NQ|滿足|MP|：|MA|NQ|：|NA|1，則|MA|NA|AB|.【證明】法一以A為極點(diǎn)，射線AB為極軸建立直角坐標(biāo)系，則半圓的極坐標(biāo)方程為2rcos ，設(shè)M(1，1)，N(2，2)，則12rcos 1，22rcos 2，又|MP|2a1cos 12a2rcos21，|NQ|2a2cos 22a2rcos22，|MP|2a2rcos212rcos1，|NQ|2a2rcos222rcos 2，cos 1，cos 2是方程rcos2rcos a0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理：cos 1cos 21，|MA|NA|2rcos 12rcos 22r|AB|.法二以A為極點(diǎn)，射線AB為極軸建立直角坐標(biāo)系，則半圓的極坐標(biāo)方程為2rcos ，設(shè)M(1，1)，N(2，2)，又由題意知，M(1，1)，N(2，2)在拋物線上，2rcos ，rcos2rcos a0，cos 1，cos 2是方程rcos2rcos a0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理：cos 1cos 21，得|MA|NA|2rcos 12rcos 22r|AB|.