高中數(shù)學(xué) 4_4 參數(shù)方程 13 平擺線與圓的漸開線學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng) 蘇教版選修4-4

【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.4 參數(shù)方程 13 平擺線與圓的漸開線學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng) 蘇教版選修4-4 (建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)1求平擺線(0t2)與直線y1的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)【解】由題意知，y1cos t1，cos t0，sin t1，t2k(kZ)，又0t2，t.x1.交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1)2已知圓的漸開線(為參數(shù)，02)上有一點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)，求漸開線對(duì)應(yīng)的基圓的面積【解】把已知點(diǎn)(3,0)代入?yún)?shù)方程得解得所以基圓的面積Sr2329.3已知擺線的生成圓的直徑為80 mm，寫出擺線的參數(shù)方程，并求其一拱的拱寬和拱高【解】因?yàn)閿[線的生成圓的半徑r40 mm，所以此擺線的參數(shù)方程為它一拱的拱寬為2r24080(mm)，拱高為2r24080(mm)4拋物線y22x6ysin 9cos28cos 90，求頂點(diǎn)的軌跡的普通方程【解】拋物線方程可化為(y3sin )22(x4cos )，所以其頂點(diǎn)的參數(shù)方程為普通方程為1.5已知橢圓(為參數(shù))，F(xiàn)1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上不在x軸上的一點(diǎn)，求PF1F2的重心G的軌跡方程【解】F1(3,0)、F2(3,0)，設(shè)P(5cos ，4sin )、G(x，y)，所以G的軌跡方程為(為參數(shù)，sin 0)6如圖449，已知半圓x2y21(y0)，定點(diǎn)A(2,0)，設(shè)B為圓上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為一邊在上半平面內(nèi)作正方形ABCD，設(shè)P為正方形ABCD的中心，求點(diǎn)P的軌跡方程，并指出它是什么曲線【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990040】圖449【解】設(shè)軌跡上任意一點(diǎn)為P(x，y)，又設(shè)D(x0，y0)，xOB(0)，則B(cos ，sin )，(cos 2，sin )，(x02，y0)由且|，得解得因?yàn)镻是BD的中點(diǎn)，所以(0)消去，得點(diǎn)P的軌跡方程是(x1)2(y1)2(x，y)，它表示以(1,1)為圓心，為半徑的半圓的一部分7如圖4410所示，開始時(shí)定點(diǎn)M在原點(diǎn)O處，取圓滾動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度(以弧度為單位)為參數(shù)求半徑為2的圓的擺線的參數(shù)方程圖4410【解】當(dāng)圓滾過(guò)角時(shí)，圓心為點(diǎn)B，圓與x軸的切點(diǎn)為A，定點(diǎn)M的位置如題圖所示，ABM.由于圓在滾動(dòng)時(shí)不滑動(dòng)，因此線段OA的長(zhǎng)和圓弧的長(zhǎng)相等，它們的長(zhǎng)都等于2，從而B點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)，向量(2，2)，向量(2sin ，2cos )，(2sin ，2cos )，因此(22sin ，22cos )(2(sin )，2(1cos )動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，向量(x，y)，所以這就是所求擺線的參數(shù)方程能力提升8求半徑為4的圓的漸開線的參數(shù)方程【解】以圓心為原點(diǎn)O，繩端點(diǎn)的初始位置為M0，向量的方向?yàn)閤軸正方向，建立坐標(biāo)系，設(shè)漸開線上的任意點(diǎn)M(x，y)，繩拉直時(shí)和圓的切點(diǎn)為A，故OAAM，按漸開線定義，弧的長(zhǎng)和線段AM的長(zhǎng)相等，記和x軸正向所夾的角為(以弧度為單位)，則AM4.作AB垂直于x軸，過(guò)M點(diǎn)作AB的垂線，由三角函數(shù)和向量知識(shí)，得(4cos ，4sin )由幾何知識(shí)知MAB，(4sin ，4cos )，得(4cos 4sin ，4sin 4cos )(4(cos sin )，4(sin cos )又(x，y)，因此有這就是所求圓的漸開線的參數(shù)方程