高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 第四篇 回歸教材 糾錯(cuò)分析7 概率與統(tǒng)計(jì)練習(xí) 理
7概率與統(tǒng)計(jì)1隨機(jī)抽樣方法簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同點(diǎn)是抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會相等,且是不放回抽樣問題1某社區(qū)現(xiàn)有480個(gè)住戶,其中中等收入家庭200戶、低收入家庭160戶,其他為高收入家庭在建設(shè)幸福社區(qū)的某次分層抽樣調(diào)查中,高收入家庭被抽取了6戶,則該社區(qū)本次抽取的總戶數(shù)為_答案24解析由抽樣比例可知,則x24.2對于統(tǒng)計(jì)圖表問題,求解時(shí),最重要的就是認(rèn)真觀察圖表,從中提取有用信息和數(shù)據(jù)對于頻率分布直方圖,應(yīng)注意的是圖中的每一個(gè)小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率莖葉圖沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失,但數(shù)據(jù)很大或有多組數(shù)據(jù)時(shí),莖葉圖就不那么直觀、清晰了問題2(2015湖南)在一次馬拉松比賽中,35名運(yùn)動員的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示:若將運(yùn)動員按成績由好到差編為135號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人,則其中成績在區(qū)間139,151上的運(yùn)動員人數(shù)是_答案4解析由題意知,將135號分成7組,每組5名運(yùn)動員,落在區(qū)間139,151的運(yùn)動員共有4組,故由系統(tǒng)抽樣法知,共抽取4名3在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等,由此可以估計(jì)中位數(shù)的值平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和,眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)問題3某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶,根據(jù)用戶滿意度的評分制成頻率分布直方圖(如下),則該地區(qū)滿意度評分的平均值為_答案77.5解析由直方圖估計(jì)評分的平均值為550.05650.2750.35850.25950.1577.5.4變量間的相關(guān)關(guān)系假設(shè)我們有如下一組數(shù)據(jù):(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)線性回歸方程x,其中問題4回歸直線x必經(jīng)過點(diǎn)_答案(,)5互斥事件的概率公式P(AB)P(A)P(B)(1)公式適合范圍:事件A與B互斥(2)P()1P(A)問題5拋擲一枚骰子,觀察擲出的點(diǎn)數(shù),設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn),事件B為出現(xiàn)2點(diǎn),已知P(A),P(B),則出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率之和為_答案6古典概型P(A)(其中,n為一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù),m為事件A在試驗(yàn)中包含的基本事件個(gè)數(shù))問題6(2015廣東)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為()A0.4 B0.6 C0.8 D1答案B解析5件產(chǎn)品中有2件次品,記為a,b,有3件合格品,記為c,d,e,從這5件產(chǎn)品中任取2件,結(jié)果有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10種恰有一件次品的結(jié)果有6種,則其概率為p0.6.7幾何概型一般地,在幾何區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),記事件“該點(diǎn)在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A,則事件A發(fā)生的概率為P(A).此處D的度量不為0,其中“度量”的意義依D確定,當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時(shí),相應(yīng)的度量分別為長度、面積和體積等即P(A).問題7在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A. B1C. D1答案B解析記“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為A,P(A)1.8解排列組合問題的常用策略相鄰問題捆綁法;相間隔問題插空法;定位問題優(yōu)先法;多元問題分類法;至多至少問題間接法;相同元素分組可采用隔板法,數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果問題84個(gè)不同的小球放入編號為1、2、3、4的4個(gè)盒中,則恰有1個(gè)空盒的放法共有_種答案144解析把4個(gè)球分成3組,每組至少1個(gè),即分的小球個(gè)數(shù)分別為2,1,1的3組,有種最后將三組球放入4個(gè)盒中的3個(gè),有分配方法數(shù)A種,因此,放法共有A144(種)9二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性:CC(k0,1,2,n)(2)系數(shù)和:CCC2n,CCCCCC2n1.(3)最值:n為偶數(shù)時(shí),n1為奇數(shù),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第(1)項(xiàng),二項(xiàng)式系數(shù)為;n為奇數(shù)時(shí),(n1)為偶數(shù),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大為第項(xiàng)及第1項(xiàng),其二項(xiàng)式系數(shù)為問題9已知()n展開式中,前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列(1)求n;(2)求第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及該項(xiàng)的系數(shù)解(1)前三項(xiàng)系數(shù)為1,C,C,成等差數(shù)列,所以2C1C,即n29n80,得n1(舍)或n8.(2)由n8可知其通項(xiàng)公式為Tk1C()8k()k所以第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C28,第三項(xiàng)系數(shù)為()2C7.10條件概率P(A|B).問題10設(shè)A、B為兩個(gè)事件,若事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率為,在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率為,則事件A發(fā)生的概率為_答案11離散型隨機(jī)變量的均值、方差(1)離散型隨機(jī)變量的均值、方差:E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值,D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pn叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的方差(2)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)p,D(X)p(1p)若XB(n,p),則E(X)np,D(X)np(1p)問題11若隨機(jī)變量的分布列如下表,則E()的值為_.012345P2x3x7x2x3xx答案解析根據(jù)概率之和為1,求出x,則E()02x13x5x40x.12一般地,如果對于任意實(shí)數(shù)a<b,隨機(jī)變量X滿足P(a<Xb),(x)dx,則稱X的分布為正態(tài)分布正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定,因此正態(tài)分布常記作N(,2)如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則記為XN(,2)滿足正態(tài)分布的三個(gè)基本概率的值是P(<X)0.682 6;P(2<X2)0.954 4;P(3<X3)0.997 4.問題12已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2,2),且P(<4)0.8,則P(0<<2)等于()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2答案C解析P(<4)0.8,P(>4)0.2,由題意知圖象的對稱軸為直線x2,P(<0)P(>4)0.2,P(0<<4)1P(<0)P(>4)0.6.P(0<<2)P(0<<4)0.3.易錯(cuò)點(diǎn)1抽樣方法理解不準(zhǔn)例1一個(gè)總體中100個(gè)個(gè)體的編號為0,1,2,3,99,并依次按其分為10個(gè)小組,組號為0,1,2,9.要用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為10的樣本,規(guī)定如果第0組(號碼09)隨機(jī)抽取的號碼為l,那么依次錯(cuò)位地抽取后面各組的號碼,即第k組中抽取的號碼的個(gè)位數(shù)為lk或lk10(如果lk10)若l6,則所抽取的第5組的號碼是_易錯(cuò)分析本題易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè):一是忽視題中對組號的描述,誤以為第一個(gè)號碼6為第一組的號碼導(dǎo)致錯(cuò)誤;二是忽視系統(tǒng)抽樣號碼抽樣法則的制定,誤以為組距為10,所以每組抽取號碼的個(gè)位數(shù)都為6.所以解決此類問題,一定要根據(jù)題中的條件準(zhǔn)確進(jìn)行編號與抽樣解析由題意,第0組抽取的號碼為6,則第一組抽取的號碼的個(gè)位數(shù)為617,所以選17.因?yàn)?18,第二組抽取號碼的個(gè)位數(shù)為8,故選28.因?yàn)?19,第三組抽取號碼的個(gè)位數(shù)為9,故選39.因?yàn)?11010,91100,第四組抽取號碼的個(gè)位數(shù)為0,故選40.因?yàn)?11,第五組抽取號碼的個(gè)位數(shù)為1,故選51.答案51易錯(cuò)點(diǎn)2誤解基本事件的等可能性例2若將一枚質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為_易錯(cuò)分析解本題時(shí)易出現(xiàn)的錯(cuò)誤在于對等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻,錯(cuò)誤地認(rèn)為基本事件總數(shù)為11(點(diǎn)數(shù)和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12),或者將點(diǎn)數(shù)和為4的事件錯(cuò)誤地計(jì)算為(1,3)(2,2)兩種,從而導(dǎo)致出錯(cuò)解析將先后擲2次出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)記作點(diǎn)坐標(biāo)(x,y),則共可得點(diǎn)坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為6636,而向上點(diǎn)數(shù)之和為4的點(diǎn)坐標(biāo)有(1,3),(2,2),(3,1),共3個(gè),故先后擲2次,出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率P.故填.答案易錯(cuò)點(diǎn)3幾何概型中“測度”確定不準(zhǔn)例3在等腰直角三角形ABC中,直角頂點(diǎn)為C.(1)在斜邊AB上任取一點(diǎn)M,求AMAC的概率;(2)在ACB的內(nèi)部,以C為端點(diǎn)任作一條射線CM,與線段AB交于點(diǎn)M,求AMAC的概率易錯(cuò)分析本題易出現(xiàn)的問題是混淆幾何概型中對事件的度量方式,不注意題中兩問中點(diǎn)M生成方式的差異,誤以為該題兩問中的幾何概型都是用線段的長度來度量造成錯(cuò)解解(1)如圖所示,ABAC.由于點(diǎn)M是在斜邊AB上任取的,所以點(diǎn)M等可能分布在線段AB上,因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是線段AB.所以P(AMAC).(2)由于在ABC內(nèi)作射線CM,等可能分布的是CM在ACB內(nèi)的任一位置(如圖所示),因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是ACB,所以P(AMAC).易錯(cuò)點(diǎn)4互斥事件概念不清例4對飛機(jī)連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈設(shè)A兩次都擊中飛機(jī),B兩次都沒擊中飛機(jī),C恰有一次擊中飛機(jī),D至少有一次擊中飛機(jī),其中彼此互為互斥事件的是_;互為對立事件的是_易錯(cuò)分析對事件互斥意義不明確,對事件的互斥與對立之間的關(guān)系不清楚,就會出現(xiàn)錯(cuò)誤的判斷對立事件和互斥事件都不可能同時(shí)發(fā)生,但對立事件必有一個(gè)要發(fā)生,而互斥事件可能都不發(fā)生所以兩個(gè)事件對立,則兩個(gè)事件必是互斥事件;反之,兩事件是互斥事件,但未必是對立事件解析因?yàn)锳B,AC,BC,BD,故A與B,A與C,B與C,B與D為彼此互斥事件,而BD,BD,故B與D互為對立事件答案A與B,A與C,B與C,B與DB與D易錯(cuò)點(diǎn)5排列、組合問題混淆例5如圖所示,A,B,C,D是海上的四個(gè)小島,要建三座橋,將這四個(gè)島連接起來,不同的建橋方案共有多少種?易錯(cuò)分析搞不清幾個(gè)元素之間有無順序,混淆排列與組合的區(qū)別解由題意可能有兩種結(jié)構(gòu),如圖:第一種:,第二種:對于第一種結(jié)構(gòu),連接方式只需考慮中心位置的情況,共有C種方法對于第二種結(jié)構(gòu),有CA種方法總共有CCA16(種)易錯(cuò)點(diǎn)6概率計(jì)算時(shí)是否有序理解不清例6袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球,從A中摸出一個(gè)紅球的概率是,從B中摸出一個(gè)白球的概率為p.從A中有放回地摸球,每次摸出一個(gè),有3次摸到紅球即停止(1)求恰好摸5次停止的概率;(2)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列易錯(cuò)分析注意題中的摸球是“有放回地”,另外條件“有3次摸到紅球即停止”在解題中要充分考慮解(1)C()2()2.(2)隨機(jī)變量的取值為0,1,2,3.由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式Pn(k)Cpk(1p)nk,得P(0)C(1)5,P(1)C(1)4,P(2)C()2(1)3,P(3)1.隨機(jī)變量的分布列是0123P1某學(xué)校利用系統(tǒng)抽樣的方法,從學(xué)校高三年級全體1 000名學(xué)生中抽50名學(xué)生做學(xué)習(xí)狀況問卷調(diào)查現(xiàn)將1000名學(xué)生從1到1000進(jìn)行編號,共分50組在第一組中隨機(jī)抽取一個(gè)號,如果抽到的是17號,則第8組中應(yīng)取的號碼是()A177 B157C417 D367答案B解析根據(jù)系統(tǒng)抽樣法的特點(diǎn),可知抽取出的編號成首項(xiàng)為17,公差為20的等差數(shù)列,所以第8組的編號是17(81)20157.2如圖是2016年某大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中,七位評委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)依次為()A85,84 B84,85C86,84 D84,86答案A解析由圖可知,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)為84,84,84,86,87.平均數(shù)為85,眾數(shù)為84.3從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn),則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于()A. B. C. D.答案D解析如圖所示,從正六邊形ABCDEF的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選4個(gè)頂點(diǎn),可以看作隨機(jī)選2個(gè)頂點(diǎn),剩下的4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形,有A、B,A、C,A、D,A、E,A、F,B、C,B、D,B、E,B、F,C、D,C、E,C、F,D、E,D、F,E、F,共15種若要構(gòu)成矩形,只要選相對頂點(diǎn)即可,有A、D,B、E,C、F,共3種,故其概率為.4(2015福建)如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)的圖象上若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()A. B. C. D.答案B解析由圖形知C(1,2),D(2,2),S四邊形ABCD6,S陰31.P.5某路段檢查站監(jiān)控錄像顯示,在某時(shí)段內(nèi),有1 000輛汽車通過該站,現(xiàn)在隨機(jī)抽取其中的200輛汽車進(jìn)行車速分析,分析的結(jié)果表示為如圖所示的頻率分布直方圖,則估計(jì)在這一時(shí)段內(nèi)通過該站的汽車中車速不小于90 km/h的約有_輛(注:分析時(shí)車速均取整數(shù))答案300解析由圖可知,車速大于等于90 km/h的車輛未標(biāo)出頻率,而小于90 km/h的都標(biāo)出了,故考慮對立事件由題圖知車速小于90 km/h的汽車總數(shù)的頻率之和為(0.010.020.04)100.7,所以車速不小于90 km/h的汽車總數(shù)的頻率之和為10.70.3.因此在這一時(shí)段內(nèi)通過該站的車速不小于90 km/h的汽車有1 0000.3300(輛)6春節(jié)期間,某銷售公司每天銷售某種取暖產(chǎn)品的銷售額y(單位:萬元)與當(dāng)天的平均氣溫x(單位:)有關(guān)現(xiàn)收集了春節(jié)期間這個(gè)銷售公司4天的x與y的數(shù)據(jù)列于下表:平均氣溫()2356銷售額(萬元)20232730根據(jù)以上數(shù)據(jù),用線性回歸的方法,求得y與x之間的線性回歸方程x的系數(shù),則_.答案解析由表中數(shù)據(jù)可得4,25,所以線性回歸方程x過點(diǎn)(4,25),代入方程得25(4),解得.7如圖所示的莖葉圖是甲、乙兩位同學(xué)在期末考試中的六科成績,已知甲同學(xué)的平均成績?yōu)?5,乙同學(xué)的六科成績的眾數(shù)為84,則x,y的值分別為_,_.答案64解析甲85,解得x6,由題圖可知y4.8從2男3女共5名同學(xué)中任選2名(每名同學(xué)被選中的機(jī)會均等),這2名都是男生或都是女生的概率為_答案解析設(shè)2名男生為A,B,3名女生為a,b,c,則從5名同學(xué)中任取2名的方法有(A,B),(A,a),(A,b),(b,c),共10種,而這2名同學(xué)剛好是一男一女的有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),共6種,故所求概率為1.9已知某人投籃的命中率為,則此人投籃4次,至少命中3次的概率是_答案解析該人投籃4次,命中3次的概率為P1C3;該人投籃4次,命中4次的概率為P2C4,故至少命中3次的概率是P.10某校校慶,各屆校友紛至沓來,某班共來了n位校友(n>8,且nN*),其中女校友6位,組委會對這n位校友登記制作了一份校友名單,現(xiàn)隨機(jī)從中選出2位校友代表,若選出的2位校友是一男一女,則稱為“最佳組合”(1)若隨機(jī)選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于,求n的最大值;(2)當(dāng)n12時(shí),設(shè)選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和均值E(X)解(1)由題意可知,所選2人為“最佳組合”的概率為,則.化簡得n225n1440,解得9n16,故n的最大值為16.(2)由題意可得,X的可能取值為0,1,2.則P(X0),P(X1),P(X2),X的分布列為X012PE(X)0121.