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(浙江專用)2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 計數(shù)原理與古典概率 第2講 古典概率與離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差專題強(qiáng)化訓(xùn)練

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(浙江專用)2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 計數(shù)原理與古典概率 第2講 古典概率與離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差專題強(qiáng)化訓(xùn)練

第2講 古典概率與離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差專題強(qiáng)化訓(xùn)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1某同學(xué)求得一離散型隨機(jī)變量的分布列為X012P0.20.33a1則a的值為()A0.3B0.4C0.5D0.6解析:選C.由分布列性質(zhì)得0.20.33a11,所以a0.5,故選C.2袋中裝有6個白球,5個黃球,4個紅球,從中任取一球,取出白球的概率為()A. B. C. D.解析:選A.從15個球中任取一球有15種取法,取出白球有6種,所以取出白球的概率P.3設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍,用隨機(jī)變量X去描述1次試驗的成功次數(shù),則P(X0)等于()A0 B. C. D.解析:選C.設(shè)X的分布列為X01Pp2p即“X0”表示試驗失敗,“X1”表示試驗成功,由p2p1,得p,故應(yīng)選C.4(2019·嘉興市一中高考適應(yīng)性考試)隨機(jī)變量X的分布列如下表,且E(X)2,則D(2X3)()X02aPpA.2 B3 C4 D5解析:選C.由題意可得:p1,解得p,因為E(X)2,所以0×2×a×2,解得a3.D(X)(02)2×(22)2×(32)2×1.D(2X3)4D(X)4.故選C.5若隨機(jī)變量X的分布列為,其中C為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是()AE(X)D(X)0 BE(X)C,D(X)0CE(X)0,D(X)C DE(X)D(X)C解析:選B.E(X)C×1C,D(X)(E(X)C)2×10,故選B.6設(shè)隨機(jī)變量Y的分布列如下表:Y123Pm則“Y”的概率為()A. B.C. D.解析:選C.依題意知,m1,則m.故PP(Y2)P(Y3).7已知M1,2,3,4,若aM,bM,則函數(shù)f(x)ax3bx2x3在R上為增函數(shù)的概率是()A. B. C. D.解析:選A.記事件A為“函數(shù)f(x)ax3bx2x3在R上為增函數(shù)”因為f(x)ax3bx2x3,所以f(x)3ax22bx1.當(dāng)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)時,f(x)0在R上恒成立又a>0,所以(2b)24×3a4b212a0在R上恒成立,即a.當(dāng)b1時,有a,故a可取1,2,3,4,共4個數(shù);當(dāng)b2時,有a,故a可取2,3,4,共3個數(shù);當(dāng)b3時,有a3,故a可取3,4,共2個數(shù);當(dāng)b4時,有a,故a無值可取綜上,事件A包含的基本事件有4329(個)又a, b1,2,3,4,所以所有的基本事件共有4×416(個)故所求事件A的概率為P(A).故選A.8一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c(a,b,c(0,1)已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2(不計其他得分情況),則ab的最大值為()A. B. C. D.解析:選A.由題意知該運動員投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為E0×c2×b3×a3a2b2.由均值不等式知3a2b2,所以22,即ab.9一個射箭運動員在練習(xí)時只記射中9環(huán)和10環(huán)的成績,未射中9環(huán)或10環(huán)就以0環(huán)記,該運動員在練習(xí)時射中10環(huán)的概率為a,射中9環(huán)的概率為b,即未射中9環(huán)也未射中10環(huán)的概率為c(a,b,c0,1),如果已知該運動員一次射箭射中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán),則當(dāng)取最小值時,c的值為()A. B. C. D0解析:選A.由該運動員一次射箭射中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)得10a9b9,所以10,當(dāng)且僅當(dāng),即a9b時,取得最小值,解得此時c1ab1.10體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是:每位學(xué)生最多可發(fā)球3次一旦發(fā)球成功,則停止發(fā)球,否則一直發(fā)到3次為止,設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p0),發(fā)球次數(shù)為X,若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>,則p的取值范圍是()A. B.C. D.解析:選C.由已知條件可得P(X1)p,P(X2)(1p)p,P(X3)(1p)2p(1p)3(1p)2,則E(X)P(X1)2P(X2)3P(X3)p2(1p)p3(1p)2p23p3>,解得p>或p<,又由p(0, 1)可得p(0,)11(2019·浙江新高考聯(lián)盟聯(lián)考)已知隨機(jī)變量X的分布列是:X012Pm則m_,E(X)_解析:因為m1,所以m.所以E(X)0×1×2×.答案:12(2019·浙江新高考沖刺卷)某中學(xué)的十佳校園歌手有6名男同學(xué),4名女同學(xué),其中3名來自1班,其余7名來自其他互不相同的7個班,現(xiàn)從10名同學(xué)中隨機(jī)選擇3名參加文藝晚會,則選出的3名同學(xué)來自不同班級的概率為_,設(shè)X為選出3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),則該變量X的數(shù)學(xué)期望為_解析:設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同班級”為事件A,則P(A).隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,P(Xk)(k0,1,2,3)所以隨機(jī)變量X的分布列是:X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)01×2×3×.答案:13從4雙不同鞋子中任取4只,則其中恰好有一雙的不同取法有_種,記取出的4只鞋子中成雙的鞋子對數(shù)為X,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)_解析:從4雙不同鞋子中任取4只,則其中恰好有一雙的不同取法有CCCC48.X0,1,2,P(X0),P(X1),P(X2).X的分布列為:X012PE(X)01×2×.答案:4814隨機(jī)變量的分布列如下表:101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列若E(),則D()的值是_解析:由題意可得解得所以D()×××.答案:15已知集合M1,2,3,4,N(a,b)|aM,bM,A是集合N中任意一點,O為坐標(biāo)原點,則直線OA與拋物線yx21有交點的概率是_解析:易知過點(0,0)與拋物線yx21相切的直線為y2x(斜率小于0的無需考慮),集合N中共有16個元素,其中使OA斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4個,由古典概型的概率計算公式知概率為P.答案:16將兩封信隨機(jī)投入A,B,C三個空郵箱,則A郵箱的信件數(shù)的數(shù)學(xué)期望E()_解析:將兩封信投入A,B,C三個空郵箱,投法種數(shù)是329,A中沒有信的投法種數(shù)是2×24,概率為;A中僅有一封信的投法種數(shù)是C×24,概率為;A中有兩封信的投法種數(shù)是1,概率為.故A郵箱的信件數(shù)的數(shù)學(xué)期望E()×0×1×2.答案:17(2019·溫州市高考模擬)袋中有6個編號不同的黑球和3個編號不同的白球,這9個球的大小及質(zhì)地都相同,現(xiàn)從該袋中隨機(jī)摸取3個球,則這三個球中恰有兩個黑球和一個白球的方法總數(shù)是_,設(shè)摸取的這三個球中所含的黑球數(shù)為X,則P(Xk)取最大值時,k的值為_解析:袋中有6個編號不同的黑球和3個編號不同的白球,這9個球的大小及質(zhì)地都相同,現(xiàn)從該袋中隨機(jī)摸取3個球,則這三個球中恰有兩個黑球和一個白球的方法總數(shù)是:nCC45.設(shè)摸取的這三個球中所含的黑球數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,3,P(X0),P(X1),P(X2),P(X3),所以P(Xk)取最大值時,k的值為2.答案:45218(2019·湖州市高三期末考試)袋中裝有9個形狀大小相同但顏色不同的小球,其中紅色、藍(lán)色、黃色球各3個,現(xiàn)從中隨機(jī)地連取3次球,每次取1個,記事件A為“3個球都是紅球”,事件B為“3個球顏色不全相同”(1)若每次取球后不放回,分別求出事件A和事件B的概率(用數(shù)字作答);(2)若每次取球后放回,分別求出事件A和事件B的概率(用數(shù)字作答)解:(1)袋中裝有9個形狀大小相同但顏色不同的小球,其中紅色、藍(lán)色、黃色球各3個,現(xiàn)從中隨機(jī)地連取3次球,每次取1個,記事件A為“3個球都是紅球”,事件B為“3個球顏色不全相同”,每次取后不放回,基本事件總數(shù)n9×8×7504,事件A包含的基本事件個數(shù)mA3×2×16,事件B的對立事件是“3個球顏色全相同”,所以事件A的概率P(A)事件B的概率P(B)1.(2)每次取后放回,基本事件總數(shù)n9×9×9729,事件A包含的基本事件個數(shù)mA3×3×327,事件B的對立事件是“3個球顏色全相同”,所以事件A的概率P(A).事件B的概率P(B)1.19(2019·浙江金華十校期末調(diào)研)甲、乙同學(xué)參加學(xué)?!耙徽镜降住标J關(guān)活動,活動規(guī)則:依次闖關(guān)過程中,若闖關(guān)成功則繼續(xù)答題;若沒通關(guān)則被淘汰;每人最多闖3關(guān);闖第一關(guān)得10分,闖第二關(guān)得20分,闖第三關(guān)得30分,一關(guān)都沒過則沒有得分已知甲每次闖關(guān)成功的概率為,乙每次闖關(guān)成功的概率為.(1)設(shè)乙的得分總數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)求甲恰好比乙多30分的概率解:(1)的取值為0,10,30,60.P(0)1,P(10)×(1),P(30)××(1),P(60)()3.則的分布列如下表:0103060PE()0×10×30×60×.(2)設(shè)甲恰好比乙多30分為事件A,甲恰好得30分且乙恰好得0分為事件B1,甲恰好得60分且乙恰好得30分為事件B2,則AB1B2,B1、B2為互斥事件P(A)P(B1B2)P(B1)P(B2)()2××()3×.所以,甲恰好比乙多30分的概率為.能力提升1某射擊運動員在一次射擊比賽中所得環(huán)數(shù)的分布列如下:3456Px0.10.3y已知的均值E()4.3,則y的值為()A0.6 B0.4 C0.2 D0.1解析:選C.由題意知,x0.10.3y1,又E()3x4×0.15×0.36y4.3,兩式聯(lián)立解得y0.2.2若p為非負(fù)實數(shù),隨機(jī)變量的分布列為012Ppp則E()的最大值為()A1 B.C. D2解析:選B.由,得0p,E()p1.3設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk)(k2,4,6,8,10),則D(X)等于()A5 B8C10 D16解析:選B.因為E(X)(246810)6,所以D(X)(4)2(2)20222428.4已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表,若E(X)0,D(X)1,則a,b的值分別為()X1012PabcA., B.,C., D.,解析:選A.由題意知abc,ac0,(1)2a12c22×1,解得a,b.5設(shè)擲1枚骰子的點數(shù)為,則()AE()3.5,D()3.52BE()3.5,D()CE()3.5,D()3.5DE()3.5,D()解析:選B.隨機(jī)變量的分布列為123456P從而E()1×2×3×4×5×6×3.5,D()(13.5)2×(23.5)2×(33.5)2×(43.5)2×(53.5)2×(63.5)2×.6如圖,將一個各面都凃了油漆的正方體,切割為125個同樣大小的小正方體,經(jīng)過攪拌后,從中隨機(jī)取一個小正方體,記它的涂漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)()A. B.C. D.解析:選B.依題意得X的取值可能為0,1,2,3,且P(X0),P(X1),P(X2),P(X3).故E(X)0×1×2×3×.7(2019·杭州高考二模)已知隨機(jī)變量的概率分布列為:012P則E()_,D()_解析:由隨機(jī)變量的概率分布列,知E()0×1×2×1,D()(01)2×(11)2×(21)2×.答案:18在一個口袋中裝有黑、白兩個球,從中隨機(jī)取一球,記下它的顏色,然后放回,再取一球,又記下它的顏色,則這兩次取出白球數(shù)X的分布列為_解析:X的所有可能值為0,1,2.P(X0),P(X1),P(X2).所以X的分布列為X012P答案:X012P9.在集合A2,3中隨機(jī)取一個元素m,在集合B1,2,3中隨機(jī)取一個元素n,得到點P(m,n),則點P在圓x2y29內(nèi)部的概率為_解析:點P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6種情況,只有(2,1),(2,2)這2種情況滿足在圓x2y29內(nèi)部,所以所求概率為.答案:10一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c,a,b,c(0,1),已知他投籃得分的數(shù)學(xué)期望是2,則的最小值為_解析:由數(shù)學(xué)期望的定義可知3a2b2,所以(3a2b)·,當(dāng)且僅當(dāng)即a,b時取得等號答案:11在某項大型活動中,甲、乙等五名志愿者被隨機(jī)地分到A,B,C,D四個不同的崗位服務(wù),每個崗位至少有一名志愿者(1)求甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率;(2)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率;(3)求五名志愿者中僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率解:(1)記“甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)”為事件EA,那么P(EA),即甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率是.(2)記“甲、乙兩人同時參加同一崗位服務(wù)”為事件E,那么P(E),所以甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是P()1P(E).(3)有兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率P2,所以僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率P11P2.12小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊游戲規(guī)則為:以O(shè)為起點,再從A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如圖),這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量,記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X0就參加學(xué)校合唱團(tuán),否則就參加學(xué)校排球隊(1)求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率;(2)求X的分布列解:(1)從8個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有C28(種),當(dāng)X0時,兩向量夾角為直角,共有8種情形,所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率為P(X0).(2)兩向量數(shù)量積X的所有可能取值為2,1,0,1,X2時,有2種情形;X1時,有8種情形;X1時,有10種情形所以X的分布列為X2101P13.某小組共10人,利用假期參加義工活動已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差解:(1)由已知,有P(A).所以,事件A發(fā)生的概率為.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2.P(X0),P(X1),P(X2).所以,隨機(jī)變量X的分布列為X012P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×1.方差D(X)(01)2(11)2(21)2.14袋中有20個大小相同的球,其中記上0號的有10個,記上n號的有n個(n1,2,3,4),現(xiàn)從袋中任取一球,X表示所取球的標(biāo)號(1)求X的分布列、期望和方差;(2)若YaXb,E(Y)1,D(Y)11,試求a,b的值解:(1)X的取值為0,1,2,3,4,其分布列為X01234P所以E(X)0×1×2×3×4×1.5,D(X)(01.5)2×(11.5)2×(21.5)2×(31.5)2×(41.5)2×2.75.(2)由D(Y)a2D(X)得2.75a211,得a±2,又E(Y)aE(X)b,所以當(dāng)a2時,由12×1.5b,得b2;當(dāng)a2時,由12×1.5b,得b4,所以或- 13 -

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