（廣西課標版）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題能力訓練14 空間中的平行與垂直 文

專題能力訓練14空間中的平行與垂直一、能力突破訓練1.如圖,在下列四個正方體中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,Q為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是()2.如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點,沿AE,AF,EF把正方形折成一個四面體,使B,C,D三點重合,重合后的點記為P,點P在AEF內(nèi)的射影為O.則下列說法正確的是()A.O是AEF的垂心B.O是AEF的內(nèi)心C.O是AEF的外心D.O是AEF的重心3.已知m,n是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,給出下列命題:若,m,則m;若m,n,且mn,則;若m,m,則;若m,n,且mn,則.其中正確命題的序號是()A.B.C.D.4.已知平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為()A.32B.22C.33D.135.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2,高為2,E是邊BC的中點,動點P在表面上運動,并且總保持PEAC,則動點P的軌跡的周長為. 6.(2019全國,文16)已知ACB=90°,P為平面ABC外一點,PC=2,點P到ACB兩邊AC,BC的距離均為3,則點P到平面ABC的距離為. 7.如圖,在多面體ABCDPE中,四邊形ABCD和CDPE都是直角梯形,ABDC,PEDC,ADDC,PD平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CE的中點.(1)求證:BF平面ADP;(2)已知O是BD的中點,求證:BD平面AOF.8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.(1)求證:DC平面PAC;(2)求證:平面PAB平面PAC;(3)設點E為AB的中點,在棱PB上是否存在點F,使得PA平面CEF?說明理由.9.(2019全國,文19)圖1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點. (1)求證:PEBC;(2)求證:平面PAB平面PCD;(3)求證:EF平面PCD.二、思維提升訓練11.如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中點,O是AC與BE的交點.將ABE沿BE折起到圖中A1BE的位置,得到四棱錐A1-BCDE.圖圖(1)證明:CD平面A1OC;(2)當平面A1BE平面BCDE時,四棱錐A1-BCDE的體積為362,求a的值.12.如圖,AB是圓O的直徑,點C是AB的中點,點V是圓O所在平面外一點,D是AC的中點,已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求證:OD平面VBC;(2)求證:AC平面VOD;(3)求棱錐C-ABV的體積.13.(2019廣東佛山一中模擬,18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD是菱形, ACBD=O,PAC是邊長為2的等邊三角形,PB=PD=6,AP=4AF.(1)求四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD;(2)在線段PB上是否存在一點M,使得CM平面BDF?如果存在,求BMBP的值;如果不存在,請說明理由.14.如圖,在ABC中,D,E分別為AB,AC的中點,O為DE的中點,AB=AC=25,BC=4.將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使得平面A1DE平面BCED,F為A1C的中點,如圖.圖圖(1)求證:EF平面A1BD;(2)求證:平面A1OB平面A1OC;(3)在線段OC上是否存在點G,使得OC平面EFG?說明理由.專題能力訓練14空間中的平行與垂直一、能力突破訓練1.A解析易知選項B中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,則AB平面MNQ;選項C中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,則AB平面MNQ;選項D中,ABNQ,且NQ平面MNQ,AB平面MNQ,則AB平面MNQ,故排除選項B,C,D.故選A.2.A解析如圖,易知PA,PE,PF兩兩垂直,PA平面PEF,從而PAEF,而PO平面AEF,則POEF,EF平面PAO,EFAO.同理可知AEFO,AFEO,O為AEF的垂心.3.B解析當,m時,有m,m,m等多種可能情況,所以不正確;當m,n,且mn時,由面面垂直的判定定理知,所以正確;因為m,m,所以,正確;若m,n,且mn,則或,相交,不正確.故選B.4.A解析(方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1.平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,nCD1.B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即B1D1C等于m,n所成的角.B1D1C為正三角形,B1D1C=60°,m,n所成角的正弦值為32.(方法二)由題意畫出圖形如圖,將正方體ABCD-A1B1C1D1平移,補形為兩個全等的正方體如圖,易證平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即為平面,m即為AE,n即為AF,所以AE與AF所成的角即為m與n所成的角.因為AEF是正三角形,所以EAF=60°,故m,n所成角的正弦值為32.5.2+6解析如圖,取CD的中點F,SC的中點G,連接EF,EG,FG.設EF交AC于點H,連接GH,易知ACEF.又GHSO,GH平面ABCD,ACGH.又GHEF=H,AC平面EFG.故點P的軌跡是EFG,其周長為2+6.6.2解析作PD,PE分別垂直于AC,BC,PO平面ABC.連接CO,OD,知CDPD,CDPO,PDPO=P,CD平面PDO,OD平面PDO,CDOD.PD=PE=3,PC=2,sinPCE=sinPCD=32,PCB=PCA=60°.POCO,CO為ACB平分線,OCD=45°,OD=CD=1,OC=2.又PC=2,PO=4-2=2.7.證明(1)如圖,取PD的中點G,連接FG,AG.F是CE的中點,FG是梯形CDPE的中位線.CD=3PE,FG=2PE,FGCD.CDAB,AB=2PE,ABFG,AB=FG,即四邊形ABFG是平行四邊形.BFAG.又BF平面ADP,AG平面ADP,BF平面ADP.(2)延長AO交CD于M,連接BM,FM,ABDC,ADDC,BAAD.又CDDA,AB=AD,O為BD的中點,四邊形ABMD是正方形,BDAM,MD=2PE,FMPD.PD平面ABCD,FM平面ABCD,FMBD.AMFM=M,BD平面AMF,BD平面AOF.8.(1)證明因為PC平面ABCD,所以PCDC.又因為DCAC,所以DC平面PAC.(2)證明因為ABDC,DCAC,所以ABAC.因為PC平面ABCD,所以PCAB.所以AB平面PAC.所以平面PAB平面PAC.(3)解在棱PB上存在點F,使得PA平面CEF.證明如下:取PB的中點F,連接EF,CE,CF.又因為E為AB的中點,所以EFPA.又因為PA平面CEF,所以PA平面CEF.9.(1)證明由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG確定一個平面,從而A,C,G,D四點共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因為AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)解取CG的中點M,連接EM,DM.因為ABDE,AB平面BCGE,所以DE平面BCGE,故DECG.由已知,四邊形BCGE是菱形,且EBC=60°得EMCG,故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四邊形ACGD的面積為4.10.證明(1)PA=PD,且E為AD的中點,PEAD.底面ABCD為矩形,BCAD,PEBC.(2)底面ABCD為矩形,ABAD.平面PAD平面ABCD,AB平面PAD.ABPD.又PAPD,PAAB=A,PD平面PAB.PD平面PCD,平面PAB平面PCD.(3)如圖,取PC的中點G,連接FG,GD.F,G分別為PB和PC的中點,FGBC,且FG=12BC.四邊形ABCD為矩形,且E為AD的中點,EDBC,ED=12BC,EDFG,且ED=FG,四邊形EFGD為平行四邊形,EFGD.又EF平面PCD,GD平面PCD,EF平面PCD.二、思維提升訓練11.(1)證明在題圖中,因為AB=BC=12AD=a,E是AD的中點,BAD=2,所以BEAC.即在題圖中,BEA1O,BEOC,從而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1),A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.由題圖知,A1O=22AB=22a,平行四邊形BCDE的面積S=BC·AB=a2.從而四棱錐A1-BCDE的體積為V=13×S×A1O=13×a2×22a=26a3,由26a3=362,得a=6.12.(1)證明O,D分別是AB和AC的中點,ODBC.又OD平面VBC,BC平面VBC,OD平面VBC.(2)證明VA=VB,O為AB中點,VOAB.在VOA和VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,VOAVOC,VOA=VOC=90°,VOOC.ABOC=O,AB平面ABC,OC平面ABC,VO平面ABC.又AC平面ABC,ACVO.VA=VC,D是AC的中點,ACVD.VO平面VOD,VD平面VOD,VOVD=V,AC平面VOD.(3)解由(2)知VO是棱錐V-ABC的高,且VO=VA2-AO2=3.點C是AB的中點,COAB,且CO=1,AB=2,ABC的面積SABC=12AB·CO=12×2×1=1,棱錐V-ABC的體積為VV-ABC=13SABC·VO=13×1×3=33,故棱錐C-ABV的體積為33.13.解(1)底面ABCD是菱形,O為AC,BD的中點.又PA=PC,PB=PD,POAC,POBD.ACBD=O,AC平面ABCD,BD平面ABCD,PO底面ABCD.在PAC中,AC=2,PO=3.在PBD中,PB=PD=6,BD=23.VP-ABCD=13·PO·S菱形ABCD=13×3×12×2×23=2.(2)過C作CEBD交AB延長線于E,過E作EHBF交PA于H,EH與PB的交點為M.CEBD,BD平面BDF,CE平面BDF,CE平面BDF.EHBF,BF平面BDF,EH平面BDF,EH平面BDF.又CEEH=E,CE平面CEM,EH平面CEM,平面BDF平面CEM.CM平面CEM,CM平面BDF.BDCE,DCBE,四邊形BECD為平行四邊形,DC=BE=AB,B為AE中點.AP=4AF,EHBF,H為PA的中點,M為中線PB與中線EH的交點,M是APE的重心,BMBP=13.14.(1)證明取線段A1B的中點H,連接HD,HF.D,E分別為AB,AC的中點,DEBC,DE=12BC.H,F分別為A1B,A1C的中點,HFBC,HF=12BC,HFDE,HF=DE,四邊形DEFH為平行四邊形,EFHD.EF平面A1BD,HD平面A1BD,EF平面A1BD.(2)證明在ABC中,D,E分別為AB,AC的中點,AB=AC,AD=AE,A1D=A1E.又O為DE的中點,A1ODE.平面A1DE平面BCED,且A1O平面A1DE,A1O平面BCED,COA1O.在OBC中,BC=4,易知OB=OC=22,COBO,CO平面A1OB.又CO平面A1OC,平面A1OB平面A1OC.(3)解假設線段OC上存在點G,使得OC平面EFG.連接GE,GF,則必有OCGF,且OCGE.在RtA1OC中,由F為A1C的中點,OCGF,得G為OC的中點.在EOC中,OCGE,EO=EC,這顯然與EO=1,EC=5矛盾.在線段OC上不存在點G,使得OC平面EFG.16