備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學 考點一遍過 考點06 二次函數(shù)與冪函數(shù) 理（含解析）

考點06二次函數(shù)與冪函數(shù)（1）了解冪函數(shù)的概念.（2）結(jié)合函數(shù)的圖象，了解它們的變化情況.一、二次函數(shù)1二次函數(shù)的概念形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).2表示形式(1)一般式：f(x)=ax2bxc(a0).(2)頂點式：f(x)=a(xh)2k(a0)，其中(h，k)為拋物線的頂點坐標.(3)兩根式：f(x)=a(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是拋物線與x軸交點的橫坐標.3二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)解析式圖象(拋物線)定義域R值域?qū)ΨQ性函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱頂點坐標奇偶性當b=0時是偶函數(shù)，當b0時是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù).在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù).最值當時，當時，4常用結(jié)論(1)函數(shù)f(x)=ax2bxc(a0)的圖象與x軸交點的橫坐標是方程ax2bxc=0的實根.(2)若x1，x2為f(x)=0的實根，則f(x)在x軸上截得的線段長應為|x1x2|=.(3)當且()時，恒有f(x)>0()；當且()時，恒有f(x)<0().二、冪函數(shù)1冪函數(shù)的概念一般地，形如y=x(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)x為自變量，為常數(shù).2幾個常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減過定點過定點過定點3常用結(jié)論(1)冪函數(shù)在上都有定義.(2)冪函數(shù)的圖象均過定點.(3)當時，冪函數(shù)的圖象均過定點，且在上單調(diào)遞增.(4)當時，冪函數(shù)的圖象均過定點，且在上單調(diào)遞減.(5)冪函數(shù)在第四象限無圖象.考向一 求二次函數(shù)或冪函數(shù)的解析式1求二次函數(shù)解析式的方法求二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當選擇二次函數(shù)解析式的形式一般選擇規(guī)律如下：2求冪函數(shù)解析式的方法冪函數(shù)的解析式是一個冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.典例1若函數(shù)是冪函數(shù)，且滿足，則ABCD3【答案】A【解析】由題意可設為常數(shù)），因為滿足，所以，所以，所以，所以.故選A1已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點8,4，則不等式f6x+39的解集為_.考向二冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應用1冪函數(shù)y=x的圖象與性質(zhì)，由于值的不同而比較復雜，一般從兩個方面考查：的正負：當>0時，圖象過原點，在第一象限的圖象上升；當<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關(guān)系當0，1時，冪函數(shù)y=x在第一象限的圖象特征如下：>10<<1<0圖象特殊點過(0，0)，(1，1)過(0，0)，(1，1)過(1，1)凹凸性下凸上凸下凸單調(diào)性遞增遞增遞減舉例y=x2、2利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小的技巧：結(jié)合冪值的特點利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化成同指數(shù)冪，選擇適當?shù)膬绾瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較.典例2 如圖所示的曲線是冪函數(shù)在第一象限的圖象，已知，相應曲線對應的值依次為ABCD【答案】B 【解析】結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性及圖象，易知曲線對應的值依次為故選B2已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)xm2+2m-3是冪函數(shù)，且其圖象與兩坐標軸都沒有交點，則實數(shù)m=A-1B2C3D2或-1典例3 設，則的大小關(guān)系是Aa>c>bBa>b>cCc>a>bDb>c>a【答案】A【解析】因為在上是增函數(shù)，所以又因為在上是減函數(shù)，所以.綜上，a>c>b.故選A.【名師點睛】同底數(shù)的兩個數(shù)比較大小，考慮用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；同指數(shù)的兩個數(shù)比較大小，考慮用冪函數(shù)的單調(diào)性，有時需要取中間量.3已知，則下列結(jié)論成立的是ABCD考向三二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應用高考對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)進行單獨考查的頻率較低，常與一元二次方程、一元二次不等式等知識交匯命題，考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的應用，以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，有時也出現(xiàn)在解答題中，解題時要準確運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法.常見類型及解題策略：1圖象識別問題辨析二次函數(shù)的圖象應從開口方向、對稱軸、頂點坐標以及圖象與坐標軸的交點等方面著手討論或逐項排除2二次函數(shù)最值問題的類型及處理思路(1)類型：a.對稱軸、區(qū)間都是給定的；b.對稱軸動、區(qū)間固定；c.對稱軸定、區(qū)間變動(2)解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，三點是指區(qū)間的兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成3解決一元二次方程根的分布問題的方法常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解，一般從：a.開口方向；b.對稱軸位置；c.判別式；d.端點函數(shù)值符號四個方面分析4求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問題往往先對已知條件進行化簡，轉(zhuǎn)化為下面兩種情況：(1)ax2bxc>0，a0恒成立的充要條件是.(2)ax2bxc<0，a0恒成立的充要條件是.另外，也可以采取分離變量法，把問題轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立，此時就等價于在區(qū)間D上f(x)min>A，接下來求出函數(shù)f(x)的最小值；若不等式f(x)<B在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上f(x)max<B，求出函數(shù)f(x)的最大值即可.典例4 已知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是ABCD【答案】A【解析】函數(shù)的圖象開口向上，且以直線為對稱軸，若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則，解得，故實數(shù)a的取值范圍為故選A.【名師點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵4已知函數(shù)fx=4x2-kx-8在5,20上具有單調(diào)性，則實數(shù)k的取值范圍為A-，40B160，+C40，160D-，40160，+典例5 已知函數(shù)，若對于任意的都有，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】根據(jù)題意，得解得5若函數(shù)fx=x2-2x+1在區(qū)間a,a+2上的最小值為4，則a的取值集合為A-3,3B-1,3C-3,3D-1,-3,31若冪函數(shù)f(x)的圖象過點(2,2)，則函數(shù)y=f(x)+1-x的最大值為A1BC2D2已知，則的大小關(guān)系是ABCD3在區(qū)間內(nèi)任取一實數(shù)，的圖象與軸有公共點的概率為ABCD4已知，若為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的值是A1，3 B，3 C1，3 D，35已知函數(shù)f(x)=ax-2+7(a>0且a1)的圖象恒過定點P，若定點P在冪函數(shù)g(x)的圖象上，則冪函數(shù)g(x)的圖象是ABCD6已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的大小關(guān)系為ABCD7已知函數(shù)，則A，使得BC，使得D，使得8已知：冪函數(shù)在上單調(diào)遞增；，則是的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件9已知冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是AB0 CD10已知函數(shù)的定義域是R，則實數(shù)a的取值范圍是ABCD11已知點在冪函數(shù)的圖象上，設，則的大小關(guān)系為ABCD12已知函數(shù)（其中，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的定義域為ABCD13已知函數(shù)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，函數(shù)是上的奇函數(shù)，函數(shù)，則A0 B2018 C4036 D403714已知冪函數(shù)（是實數(shù)）的圖象經(jīng)過點，則f（4）的值為_15已知x+x-=25，x>1，<0，則x-x-=_16若冪函數(shù)f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+)上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值為_17已知函數(shù)y=x2-2x+a的定義域為R，值域為0,+)，則實數(shù)a的取值集合為_.18已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值是_19已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是_20已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1,且f(x)=f(2-x),f(0)=3（1）求f(x)的解析式；（2）在區(qū)間-1,1上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，試確定實數(shù)m的取值范圍21已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)2xm2-4m+3(mR)在(0,+)上單調(diào)遞增（1）求m的值及f(x)的解析式；（2）若函數(shù)g(x)=-3f(x)2+2ax+1-a在0,2上的最大值為3，求實數(shù)a的值22已知fx=-4x2+4ax-4a-a2（1）當a=1，x1,3時，求函數(shù)fx的值域；（2）若函數(shù)fx在區(qū)間0,1內(nèi)有最大值-5，求a的值23已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，都有，求實數(shù)的取值范圍.1（2017年高考浙江卷）若函數(shù)f(x)=x2+ ax+b在區(qū)間0，1上的最大值是M，最小值是m，則M mA與a有關(guān)，且與b有關(guān)B與a有關(guān)，但與b無關(guān)C與a無關(guān)，且與b無關(guān)D與a無關(guān)，但與b有關(guān)2（2017年高考山東卷理科）已知當時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)的取值范圍是ABCD3（2016年高考新課標III卷理科）已知，則ABCD4（2019年高考浙江卷）已知，函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的最大值是_.變式拓展1【答案】-5,4【解析】由題意知，故，由于fx=x23=3x2為R上的偶函數(shù)且在0,+上單調(diào)遞增，f6x+39即為f6x+3f27，所以6x+327，解得-5x4.2【答案】A【解析】函數(shù)f(x)=(m2-m-1)xm2+2m-3是冪函數(shù)，m2-m-1=1，解得：m=2或m=-1，當m=2時，其圖象與兩坐標軸有交點，不符合題意；當m=-1時，其圖象與兩坐標軸都沒有交點，符合題意，故m=-1.故選A3【答案】A【解析】，即，故.選A【名師點睛】本題主要考查了比較大小問題，其中解答中熟練運用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.求解時，根據(jù)冪函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，得出，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，即可得到結(jié)論.4【答案】D【解析】因為函數(shù)fx=4x2-kx-8在5,20上具有單調(diào)性，所以或，解得k160或k40.故實數(shù)k的取值范圍為-，40160，+.選D5【答案】C【解析】函數(shù)f（x）x22x+1（x1）2，函數(shù)f（x）圖象的對稱軸為x1，在區(qū)間a，a+2上的最小值為4，當1a時，函數(shù)的最小值為f（a）（a1）24，則a1（舍去）或a3；當a+21，即a1時，函數(shù)的最小值為f（a+2）（a+1）24，則a1（舍去）或a3；當a1a+2，即-1<a<1時，函數(shù)的最小值為f（1）04，故滿足條件的a的取值集合為3，3故選C考點沖關(guān)1【答案】B【解析】設（是常數(shù)），f（x）的圖象過點（2，2），=2，則，則f（x）=x，y=x+1-x=-x-122+54，故其最大值為.故選B.2【答案】C【解析】易知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，即.故選C.3【答案】D【解析】函數(shù)的圖象與軸有公共點，解得或由幾何概型概率公式可得所求概率為故選D【名師點睛】解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍，當考察對象為點，且點的活動范圍在線段上時，可用線段長度比計算，然后根據(jù)公式計算即可求解本題時，先由二次函數(shù)的判別式大于等于零求出實數(shù)的取值范圍，再根據(jù)幾何概型概率公式求解4【答案】B【解析】因為在上單調(diào)遞增，所以，排除選項A，C；當時，為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件，排除D，故選B【名師點睛】分別研究五個冪函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，從而可得結(jié)果.特殊法是“小題小做”的重要策略，排除法解答選擇題是高中數(shù)學一種常見的解題思路和方法，這種方法既可以提高做題速度和效率，又能提高準確性，這種方法主要適合下列題型:（1）求值問題（可將選項逐個驗證）；（2）求范圍問題（可在選項中取特殊值，逐一排除）；（3）圖象問題（可以用函數(shù)性質(zhì)及特殊點排除）；（4）解方程、求解析式、求通項、求前項和公式問題等等.5【答案】D【解析】由題意知，f2=a2-2+7=8，則定點P2,8，設冪函數(shù)為gx=x（是常數(shù)），將P2,8代入得2=8，故=3，即gx=x3，圖象為D中的圖象.故選D6【答案】A【解析】由圖象可知，得.故選A【名師點睛】本題主要結(jié)合函數(shù)圖象，考查指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的比較大小問題，解決本題的關(guān)鍵是尋找中間值.7【答案】B【解析】，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的值域為，并且函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，這樣A不成立，C根據(jù)單調(diào)性可知也不成立，D應改為，故選B8【答案】A【解析】由題意，命題冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，又，所以是的充分不必要條件.故選A9【答案】B【解析】由題設得，故在上單調(diào)遞增，則當時取最小值，最小值為.應選B.10【答案】B【解析】由題意，要使函數(shù)的定義域是，則對任意實數(shù)都成立，當時顯然成立；當時，需，解得綜上，的取值范圍為故選B11【答案】D【解析】由題可得：，解得：，所以，因為，又，所以，由在上單調(diào)遞增，可得，所以.故選D.12【答案】B【解析】函數(shù)（其中，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，令故選B13【答案】D【解析】因為函數(shù)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，所以，因此，因此故選D14【答案】2【解析】因為冪函數(shù)的圖象過點，所以，解得，所以，則故答案為215【答案】【解析】由x+x-=25，得(x+x-)2=x2+x-2+2=20，解得x2+x-2=18，則(x-x-)2=x2+x-2-2=18-2=16，因為x>1,<0，所以根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，可得x<x-，即x-x-<0，所以x-x-=-4，故答案為-416【答案】2【解析】由函數(shù)f(x)=(m2-2m+1)x2m-1是冪函數(shù)，得m2-2m+1=1，解得m=0或m=2.當m=0時，f(x)=x-1，在(0,+)上為減函數(shù)，不符合題意；當m=2時，f(x)=x3，在(0,+)上為增函數(shù)，符合題意故答案為217【答案】1【解析】因為x2-2x+a=(x-1)2+a-1，y=(x-1)2+a-1的定義域為R，值域為0,+)，所以a-1=0，即a=1，所以a的取值集合為1.故答案為1.18【答案】【解析】設，則可化為當時，有最小值，即時，函數(shù)的最小值是.故答案為.【名師點睛】求函數(shù)最值的常見方法有：配方法：若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采用配方法求函數(shù)值域，其關(guān)鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域；換元法：常用代數(shù)或三角代換法，用換元法求值域時需認真分析換元參數(shù)的范圍變化；不等式法：借助于基本不等式求函數(shù)的值域，用不等式法求值域時，要注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”；單調(diào)性法：首先確定函數(shù)的定義域，然后準確地找出其單調(diào)區(qū)間，最后再根據(jù)其單調(diào)性求出函數(shù)的最值；圖象法：畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象的最高和最低點求最值.19【答案】【解析】由，可得.又，所以，解得.所以.結(jié)合，可得.故答案為.【名師點睛】本題主要考查求二次函數(shù)值域，需要注意定義域，屬于中檔題.求解時，先由得，再由，利用二次函數(shù)性質(zhì)求值域即可.20【答案】（1）f(x)=2x2-4x+3；（2）(-,-1).【解析】（1）根據(jù)題意，f(x)是二次函數(shù)，且f(x)=f(2-x)，可得函數(shù)f(x)的對稱軸為x=1，又其最小值為1，可設f(x)=a(x-1)2+1，又因為f(0)=3,則a+1=3,解可得a=2,則f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.（2）根據(jù)題意，2x2-4x+3>2x+2m+1在-1,1上恒成立，化簡得m<x2-3x+1,設g(x)=x2-3x+1,則g(x)在區(qū)間-1,1上單調(diào)遞減，則g(x)在區(qū)間-1,1上的最小值為g(1)=-1,則有m<-1,故m的取值范圍為(-,-1)21【答案】（1）f(x)=x3；（2）a=±2.【解析】（1）冪函數(shù)fx=(m-1)2xm2-4m+3mR在0,+上單調(diào)遞增，故，解得：m=0，故fx=x3.（2）由于fx=x3，所以函數(shù)gx=-3f(x)2+2ax+1-a=-x2+2ax+1-a，則函數(shù)圖象為開口方向向下的拋物線，對稱軸為x=a，由于在0,2上的最大值為3，當a2時，gx在0,2上單調(diào)遞增，故：g(x)max=g2=3a-3=3，解得a=2當a0時，gx在0,2上單調(diào)遞減，故：g(x)max=g0=1-a=3，解得：a=-2當0<a<2時，gx在0,a上單調(diào)遞增，在a,2上單調(diào)遞減，故：g(x)max=ga=a2+1-a=3，解得：a=-1(舍去)，或a=2（舍去)，綜上所述：a=±222【答案】（1）-29,-5；（2）a=-54或a=-5.【解析】（1）當a=1時，fx=-4x2+4x-5，其圖象的對稱軸為x=12，開口向下，x1,3時，函數(shù)fx單調(diào)遞減，當x=1時，函數(shù)有最大值f1=-5，當x=3時，函數(shù)有最小值f3=-29，故函數(shù)fx的值域為-29,-5；（2）fx=-4x2+4ax-4a-a2的圖象開口向下，對稱軸為x=12a，當12a1，即a2時，fx在0,1上單調(diào)遞增，函數(shù)的最大值為f1=-4-a2令-4-a2=-5，得a2=1，a=±1<2（舍去）當0<12a<1，即0<a<2時，x=12a時，fx的最大值為-4a，令-4a=-5，得a=-540,2當12a0，即a0時，fx在0,1上單調(diào)遞減，x=0時，fx的最大值為-4a-a2，令-4a-a2=-5，得a2+4a-5=0，解得，或a=1（舍去）綜上所述，a=-54或.23【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為開口向上，所以該函數(shù)圖象的對稱軸是，因此，即，所以的取值范圍是.（2）因為恒成立，所以，整理得，解得，因此，的取值范圍是.【名師點睛】（1）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得對稱軸不在區(qū)間內(nèi)，解不等式可得實數(shù)的取值范圍.（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象可得在x軸上方，即，解得實數(shù)的取值范圍.研究二次函數(shù)單調(diào)性的思路：二次函數(shù)的單調(diào)性在其圖象對稱軸的兩側(cè)不同，因此研究二次函數(shù)的單調(diào)性時要依據(jù)其圖象的對稱軸進行分類討論若已知f(x)ax2bxc(a>0)在區(qū)間A上單調(diào)遞減(單調(diào)遞增)，則A（A），即區(qū)間A一定在函數(shù)對稱軸的左側(cè)(右側(cè))直通高考1【答案】B【解析】因為最值在中取，所以最值之差一定與無關(guān).故選B【名師點睛】對于二次函數(shù)的最值或值域問題，通常先判斷函數(shù)圖象對稱軸與所給自變量閉區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合圖象，當函數(shù)圖象開口向上時，若對稱軸在區(qū)間的左邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若對稱軸在區(qū)間的右邊，則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；若對稱軸在區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)圖象頂點的縱坐標為最小值，區(qū)間端點距離對稱軸較遠的一端取得函數(shù)的最大值2【答案】B【解析】當時，在時單調(diào)遞減，且，在時單調(diào)遞增，且，此時有且僅有一個交點；當時，在上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個交點，需.故選B.【名師點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)的取值范圍常用的方法和思路：（1）直接法：直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；（2）分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解3【答案】A 【解析】因為，所以.故選A【技巧點撥】比較指數(shù)的大小常常根據(jù)三個數(shù)的結(jié)構(gòu)聯(lián)系相關(guān)的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性來判斷，如果兩個數(shù)指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)的單調(diào)性；如果指數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；如果涉及對數(shù)，則聯(lián)系對數(shù)的單調(diào)性來解決4【答案】【解析】存在，使得，即有，化為，可得，即，由，可得.則實數(shù)的最大值是.【名師點睛】本題考查函數(shù)的解析式及二次函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的解析式可得，去絕對值化簡，結(jié)合二次函數(shù)的最值及不等式的性質(zhì)可求解.25