2019高考數學三輪沖刺 大題提分 大題精做7 立體幾何:建系困難問題 理
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2019高考數學三輪沖刺 大題提分 大題精做7 立體幾何:建系困難問題 理
大題精做7 立體幾何:建系困難問題2019·長沙統(tǒng)測已知三棱錐(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中,四邊形為邊長等于的正方形,和均為正三角形,在三棱錐中:(1)證明:平面平面;(2)若點在棱上運動,當直線與平面所成的角最大時,求二面角的余弦值圖一圖二【答案】(1)見解析;(2)【解析】(1)設的中點為,連接,由題意,得,在中,為的中點,在中,平面,平面,平面,平面平面(2)由(1)知,平面,是直線與平面所成的角,且,當最短時,即是的中點時,最大由平面,于是以,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖示空間直角坐標系,則,設平面的法向量為,則由得:令,得,即設平面的法向量為,由得:,令,得,即由圖可知,二面角的余弦值為12019·安慶期末矩形中,點為中點,沿將折起至,如圖所示,點在面的射影落在上(1)求證:面面;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值22019·南陽期末如圖1,在矩形中,點在線段上,且,現將沿折到的位置,連結,如圖2(1)若點在線段上,且,證明:;(2)記平面與平面的交線為若二面角為,求與平面所成角的正弦值32019·蘇州調研如圖,在四棱錐中,已知底面是邊長為1的正方形,側面平面,與平面所成角的正弦值為(1)求側棱的長;(2)設為中點,若,求二面角的余弦值1【答案】(1)詳見解析;(2)【解析】(1)在四棱錐中,從而有,又面,而面,而、面,且,由線面垂直定理可證面,又面,由面面垂直判斷定定理即證面面(2)由條件知面,過點做的平行線,又由(1)知面,以、分別為、軸建立空間直角坐標系,如圖所示:,面的一個法向量為,設面的法向量為,則有,從而可得面的一個法向量為,設平面與平面所成銳二面角為,與互補,則,故平面與平面所成二面角的余弦值為2【答案】(1)詳見解析;(2)【解析】證明:(1)先在圖1中連結,在中,由,得,在中,由,得,則,從而有,即在圖2中有,平面,則;解:(2)延長,交于點,連接,根據公理3得到直線即為,再根據二面角定義得到在平面內過點作底面垂線,以為原點,分別為,及所作垂線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系,則,設平面的一個法向量為,由,取,得與平面所成角的正弦值為3【答案】(1)或;(2)【解析】(1)取中點,中點,連結,又平面平面,平面,平面平面,平面,又是正方形,以為原點,為,軸建立空間直角坐標系(如圖),則,設,則,設平面的一個法向量為,則有,取,則,從而,設與平面所成角為,解得或,或(2)由(1)知,由(1)知,平面的一個法向量為,設平面的一個法向量為,而,取,則,即,設二面角的平面角為,根據圖形得為銳角,二面角的余弦值為8