Diracδ函數(shù)及其性質(zhì)【教學(xué)類別】

一、Dirac 函數(shù)函數(shù) v1Dirac函數(shù)的定義函數(shù)的定義 v2Dirac函數(shù)可以用一些連續(xù)函數(shù)的函數(shù)可以用一些連續(xù)函數(shù)的序列極限來表示序列極限來表示 v3Dirac 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) v4復(fù)合函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)形式的Dirac函數(shù)函數(shù)h(x)v5二維二維Dirac函數(shù)函數(shù) 1應(yīng)用2MMQQI激光脈沖及其它小光源2應(yīng)用2 早在一個多世紀前，物理學(xué)家就感到有必要引入一個數(shù)學(xué)符號來描述一類物理量，當(dāng)時用于描述這種物理量的數(shù)學(xué)符號被稱之為沖擊脈沖符號。1947年，英國物理學(xué)家P.A.M.Dirac在他的著作Principle of Quantum Mechanics中正式引入(x)，并稱它為奇異函數(shù)或廣義函數(shù)。(x)函數(shù)之所以被稱為奇異函數(shù)奇異函數(shù)或廣義函數(shù)廣義函數(shù)，原因在于：一、它不象普通函數(shù)那樣存在確定的函數(shù)值，而是一種極限狀態(tài)，而且它的極限也和普通函數(shù)不同，不是收斂到定值，而是收斂到無窮大；二、函數(shù)不象普通函數(shù)那樣進行四則運算和乘冪運算，它對別的函數(shù)的作用只能通過積分來確定。3應(yīng)用21Dirac 函數(shù)的定義函數(shù)的定義 對于自變量為一維的函數(shù)函數(shù)(x)來說，它滿足下列條件：1)(000)(dxxxxx，(1)這表明，(x)函數(shù)在x0點處處為零，在x=0點出現(xiàn)無窮大極值，x=0點又稱為奇異點。但是，盡管(0)趨近于無窮大，對它的積分卻等于1，即對應(yīng)著函數(shù)的面積或強度等于1，所以(x)又叫做單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)。很顯然，等式：)0()()(fdxxxf(2)成立。f(x)是定義在區(qū)間(-，)上的連續(xù)函數(shù)。4應(yīng)用2 在光學(xué)里，(x)函數(shù)常常用來表示位于坐標(biāo)原點的具有單位光功率的點光源點光源，由于點光源所占面積趨近于零，所以在x=0點功率密度趨近于無窮大。在(1)和(2)中變換原點，得到：)()()(000)(afdxaxxfaxaxax，(3)其中a為任意常數(shù)。因此用(x-a)乘x的函數(shù)，并對所有x積分的過程，等效于用a代替x的過程。*定義的另外形式：5應(yīng)用22(x)可以用一些連續(xù)函數(shù)的序列極限來表示可以用一些連續(xù)函數(shù)的序列極限來表示 1)、歸一化的Gauss分布函數(shù)G(x)：)2exp(21)(22xxG(4)該函數(shù)具有如下的性質(zhì)：22)(1)(dxxGxdxxG(5)當(dāng)0時，G(x)就趨向于(x)，即：)2exp(21lim)(lim)(2200 xxGx(6)6應(yīng)用21)(000)(dxxxxx，(1)()()(000)(afdxaxxfaxaxax，(3)7應(yīng)用2證明：由(4)式可以看出，當(dāng)x=0，0時，)2exp(21lim)(lim2200 xxG而當(dāng)x0，0時，0)2exp(21lim)(lim2200 xxG由公式(5)得：1)(lim)(lim00dxxGdxxG所以由公式(6)所定義的函數(shù)滿足(x)函數(shù)的條件(1)式?？梢姎w一化的Gauss函數(shù)的序列極限可以表示(x)函數(shù)。8應(yīng)用22)、函數(shù) xxsinxxsinlim的極限 也滿足(x)函數(shù)的條件：xxxsinlim)(7)其中0。證明：當(dāng)x=0時，limsinlimsinlimxxxx 當(dāng)x0時，sin(x)/(x)以周期2/振蕩，振幅隨著|x|的增加而減小。所以，當(dāng)時，sin0 xx0sinlimsinlimxxxx于是有：9應(yīng)用2當(dāng)0時，查找定積分表可得到：dxxxsin所以有：1sinlimsinlimdxxxdxxxxxsinxxsinlim的極限 根據(jù)上述討論可知，函數(shù) 滿足(x)函數(shù)的條件，可以表示Dirac(x)函數(shù)，即(7)式成立。10應(yīng)用23)、函數(shù) 22sinxx的極限 22sinlimxx也滿足(x)函數(shù)的條件，即：22sinlim)(xxx(8)其中0。證明：當(dāng)x=0時，limsinlimsinlim222xxxx當(dāng)x0時，sin(x)/(x)以周期2/振蕩，振幅隨著|x|的增加而減小。所以：當(dāng)時，sin(x)/(x)00sinlimlimsinlimsinlim2222xxxxxx于是有：11應(yīng)用2查找定積分表可得到：dxxx22sin于是有：1)()()(sinlim1sinlimsinlim222222xdxxdxxxdxxx根據(jù)上述討論可知，函數(shù) 22sinxx的極限 22sinlimxx可以表示Dirac(x)函數(shù)，即式(8)成立。22sinlim)(xxx(8)12應(yīng)用24)、階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可以表示Dirac(x)函數(shù)。根據(jù)第一次課所講的內(nèi)容可知，階躍函數(shù)step(x)也稱為Heaviside函數(shù)，也可以用H(x)表示，其定義如下：axaxaxaxH，2101)(9)函數(shù)H(x-a)對x的導(dǎo)數(shù)也滿足(x)的條件，即：)()(axHdxdx(10)13應(yīng)用2很容易看出，當(dāng)xa時，0lim0dxdHxHx而當(dāng)x=a時，dxdHxHx0lim利用分步法計算積分，有：aaafxffdxxffdxxfaxHxfaxHdxaxHdxdxf)(|)()()()()()(|)()()()(根據(jù)以上討論，再結(jié)合式(3)可知，Heaviside函數(shù)H(x-a)對x的導(dǎo)數(shù)可以表示Dirac(x)函數(shù)，即式(10)成立。證明：14應(yīng)用23Dirac函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1)、積分性質(zhì)、積分性質(zhì)：函數(shù)的定義式：1)(dxx1)(0dxxx即表明了函數(shù)的積分性質(zhì)，這個積分也可稱之為函數(shù)的強度。性質(zhì)性質(zhì)2)、篩選性質(zhì)、篩選性質(zhì)：式(2)表明了函數(shù)的篩選性質(zhì)。)()()(afdxaxxf則是其推論。)0()()(fdxxxf(2)而式(3)中的由此得出推論：15應(yīng)用2性質(zhì)性質(zhì)3)、坐標(biāo)縮放性質(zhì)、坐標(biāo)縮放性質(zhì)，設(shè)a為常數(shù)，且不為零，則有：)0(|)()(aaxax推論1：(-x)=(x)說明函數(shù)具有偶對稱性。推論2：)0)(|)(axaax16應(yīng)用2性質(zhì)性質(zhì)4)、函數(shù)的乘法性質(zhì)函數(shù)的乘法性質(zhì)：如果f(x)在x0點連續(xù)，則有：)()()()(000 xfxxxxxf由此得出推論：x(x)=0和)()(xxdxdx)()()(badxbxxa17應(yīng)用24復(fù)合函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)形式的函數(shù)函數(shù)h(x)設(shè)方程h(x)=0有n個實數(shù)根x1，x2，xn，則在任意實根xi附近足夠小的鄰域內(nèi)有：h(x)=h(xi)(x-xi)其中h(xi)是h(x)在x=xi處的一階導(dǎo)數(shù)。如果h(xi)0，則在xi附近可以寫出：|)(|)(iixhxxh(x)=h(xi)(x-xi)=18應(yīng)用2上式表明，h(x)是由n個脈沖構(gòu)成的脈沖系列，各個脈沖位置由方程h(x)=0的n個實根確定，各脈沖的強度則由系數(shù)|h(xi)|-1來確定。若h(xi)在n個實根處皆不為零，則有：niiixhxxxh1|)(|)()(h(xi)0)0)()(21)(22aaxaxaax)()(|1)(babxaxbabxax)()(|2xxxnnxx)(1)sin(推論：19應(yīng)用25二維函數(shù)二維函數(shù)函數(shù)函數(shù)*1、直角坐標(biāo)系的情況二維函數(shù)表示為(x,y)，它是位于xy平面坐標(biāo)原點處的一個單位脈沖。二維函數(shù)是可分離變量函數(shù)，即有：(x,y)=(x)(y)二維函數(shù)的性質(zhì)以及其證明過程與一維函數(shù)的情形相同。*2、極坐標(biāo)系的情況(x，y)(r，)，必須要保證：1)、脈沖位置相同；2)、二者強度(即曲面下體積)相同。只有這樣，坐標(biāo)變換才是等價的。20應(yīng)用2直角坐標(biāo)系(x，y)極坐標(biāo)系(r，)(x，y)(r)(x-x0，y)(r-x0，)(x，y-y0)(x+x0，y)(r-x0，-)(x，y+y0)(x-x0，y-y0)2,(0 yr)23,(0 yr),(00rr幾個二維函數(shù)在兩種坐標(biāo)系中的位置關(guān)系 20200yxr)arctan(000 xy表121應(yīng)用2考慮到脈沖強度的對應(yīng)關(guān)系，下面給出兩個二維函數(shù)坐標(biāo)變換的例子：顯然，(x，y)和(r)的位置相同。)(1),(rryx1),(dxdyyx1)(21)(120020 ddrrrdrdrr例1)、可見，脈沖位置和強度都相同，所以坐標(biāo)變換成立。rr)(曲面下的體積為：而證明：(x，y)曲面下的體積為：22應(yīng)用2例2)、),(1),(0000rrryyxx其中，20200yxr)arctan(000 xy顯然，(x-x0，y-y0)與(r-r0，-0)的位置是相同的。1),(00dxdyyyxx而(r-r0，-0)曲面下的體積為：1)()()()(12000020000ddrrrdrdrrrr可見強度也相同，所以坐標(biāo)變換成立。證明：(x-x0，y-y0)曲面下的體積為：23應(yīng)用2