常微分方程線性方程與常數(shù)變易法.ppt

2020/5/19,常微分方程,2.2線性方程與常數(shù)變易法,2020/5/19,常微分方程,一階線性微分方程,2020/5/19,常微分方程,一一階線性微分方程的解法-常數(shù)變易法,2020/5/19,常微分方程,代入(1)得,積分得,注求(1)的通解可直接用公式(3),2020/5/19,常微分方程,解:,將方程改寫為,首先,求齊次方程,的通解,從,分離變量得,兩邊積分得,2020/5/19,常微分方程,故對應(yīng)齊次方程通解為,其次應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解,即,積分得,故通解為,2020/5/19,常微分方程,解:,但將它改寫為,即,故其通解為,2020/5/19,常微分方程,解:,先求原方程的通解,2020/5/19,常微分方程,故所給初值問題的通解為,2020/5/19,常微分方程,形如,的方程,稱為伯努利方程.,解法:,2020/5/19,常微分方程,解:,解以上線性方程得,2020/5/19,常微分方程,例5R-L串聯(lián)電路.,由電感L,電阻R和電源所組成的串聯(lián)電路,如圖所示,其中電感L,電阻R和電源的電動勢E均為常數(shù),試求當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度I與時間t之間的關(guān)系.,二線性微分方程的應(yīng)用舉例,電路的Kirchhoff第二定律:,在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零.,2020/5/19,常微分方程,則電流經(jīng)過電感L,電阻R的電壓降分別為,解線性方程:,解:,于是由Kirchhoff第二定律,得到,設(shè)當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中在時刻t的電流強(qiáng)度為I(t),取開關(guān)閉合時的時刻為0,得通解為:,2020/5/19,常微分方程,故當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度為,2020/5/19,常微分方程,作業(yè),P377,8,11,12,15,16,20,