江蘇省2019高考數學二輪復習 微專題5 立體幾何中體積的求解策略課件.ppt

微專題5立體幾何中體積的求解策略,微專題5立體幾何中體積的求解策略題型一等積轉換法求體積,例1(2017江蘇楚州中學月考)如圖所示,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為DD1、DB的中點.求三棱錐的體積.,解析由題意得EF=BD1=,B1F=,B1E=3.EF2+B1F2=B1E2,EFB1=90.又易知CF平面EFB1,=CF=EFB1FCF=1.,【方法歸納】所謂等積法就是利用轉化思想,把要求的幾何體體積轉化為另一個同體積幾何體來求.變化觀察角度是計算體積常用的轉化策略之一.變換的基本依據是變化前后等體積,變換的標準是看相應的底面和高是否容易求解.,1-1(2018南京師大附中高三模擬)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為2,D為棱B1C1上任意一點,則三棱錐D-A1BC的體積是.,答案,解析三棱錐D-A1BC的體積=22=.,1-2如圖,已知多面體ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體,E,F分別是棱AA1和CC1的中點,求四棱錐A1-EBFD1的體積.,解析EB=BF=FD1=D1E=a,四棱錐A1-EBFD1的底面EBFD1是菱形.連接EF,則EFBEFD1,三棱錐A1-EFB與三棱錐A1-EFD1等底同高,它們的體積相等.CC1平面ABB1A1,三棱錐F-EBA1的高就是CC1到平面ABB1A1的距離,即,為棱長a.又EBA1的邊A1E上的高是BA=a,三棱錐A1-EFB的體積等于三棱錐F-EBA1的體積=aa=a3.四棱錐A1-EBFD1的體積=2a3=a3.,題型二割補法求體積,例2已知三棱錐P-ABC的三條側棱PA、PB、PC兩兩垂直,且長度分別為3、4、5,求該三棱錐外接球的表面積和體積.,解析將三條側棱PA、PB、PC兩兩垂直的三棱錐P-ABC補成一個長方體,兩兩垂直的三側棱就是長方體的長、寬、高,則該長方體的體對角線就是三棱錐P-ABC的外接球的直徑,設其長為2R,則2R=5,所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4R2=(2R)2=(5)2=50,體積為R3=.,【方法歸納】割補法是求體積、表面積、距離的基本方法,常常將一個不太容易求體積的幾何體轉化為易求的規(guī)則幾何體求解,是一種常用的技巧.在解題中遇到三側棱兩兩垂直的三棱錐,通常將它補成長方體,便于解決問題.特別地,若三棱錐的三側棱兩兩垂直且相等,則可將它補成正方體.,2-1在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且ADE,BCF均為正三角形,EFAB,EF=2,則該多面體的體積為.,答案,解析如圖,分別過點A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,容易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,且EG平面ADG,FH平面BHC,SADG=SBHC=1=,VABCDEF=VE-ADG+VF-BHC+VADG-BCH=2VE-ADG+VADG-BCH=2+1=.,2-2如圖,已知三棱錐P-ABC中,棱AC的長為6,其余各棱長均為5,求該三棱錐的體積.,解析取AC的中點D,連接PD,BD,易證得直線AC與平面PBD垂直,則VP-ABC=VA-PBD+VC-PBD=ADSPBD+CDSPBD=(AD+CD)SPBD=6SPBD=2SPBD.PB=5,且易知BD=PD=4,SPBD=5=,VP-ABC=.,題型三置入法求體積,例3已知一四面體各面都是邊長為13、14、15的全等三角形,求此四面體的體積.,解析如圖甲,不妨設BC=13,AB=14,AC=15,將圖甲中的四面體置入圖乙所示的長方體中.由此,該四面體的體積就轉化成長方體的體積與四個全等的四面體的體積之,差.設長方體的棱BE=x,CE=y,AE=z,則解之得V長方體=xyz=126,VC-ABE=21,VD-ABC=V長方體-4VC-ABE=42.,【方法歸納】所謂置入法就是依據各種幾何體形狀之間的聯系,把幾何體放入一個比較規(guī)則的幾何體中來求體積的方法.將不太容易求體積的幾何體置入熟悉的幾何體中,使圖形結構更完整、更充實,便于體積的計算.,3-1如圖,在多面體ABCDE中,AE平面ABC,BDAE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,求多面體ABCDE的體積.,解析將多面體ABCDE置入如圖所示的直三棱柱ABC-ADC中,由已知條件不難得出多面體的體積為直三棱柱體積的一半,則VABCDE=VABC-ADC=222=.,1.(2017江蘇泰州中學調研)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F分別為線段AA1,B1C上的點,則三棱錐D1-EDF的體積為.,答案,解析三棱錐D1-EDF的體積即為三棱錐F-DD1E的體積.因為E,F分別為AA1,B1C上的點,所以EDD1的面積為定值,F到平面AA1D1D的距離為定值1,所以=1=.,2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱AA1與側面BCC1B1的距離為2,側面BCC1B1的面積為4,此三棱柱ABC-A1B1C1的體積為.,答案4,解析如圖,將三棱柱ABC-A1B1C1補成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,記A1到平面BCC1B1的距離為d,則d=2,則=d=42=4.,3.(2018蘇州學業(yè)陽光指標調研)魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具,起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結構,它的外觀是如圖所示的十字立方體,其上下、左右、前后完全對稱,六根等長的正四棱柱體分成三組,經90榫卯起來.若正四棱柱的高為5,底面正方形的邊長為1,現將該魯班鎖放進一個球形容器內,則該球形容器的表面積至少為.(容器壁的厚度忽略不計,結果保留),答案30,解析該球即為長、寬、高分別是1、2、5的長方體的外接球,其直徑2R=,則該球的表面積為4R2=(2R)2=30.,