江蘇南京九中高三下學(xué)期二模模擬數(shù)學(xué)試題
南京九中2013屆高三第二學(xué)期二模模擬數(shù)學(xué)試卷一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.1、若,且為純虛數(shù),則實(shí)數(shù) 解析:為純虛數(shù),故得2、設(shè)集合,則 (2,3)分?jǐn)?shù)3、某市高三數(shù)學(xué)抽樣考試中,對(duì)分及其以上的成績(jī)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其頻率分布直方圖如右下圖所示,若分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為人,則分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為 解析:根據(jù)直方圖,組距為,在內(nèi)的,所以頻率為,因?yàn)榇藚^(qū)間上的頻數(shù)為,所以這次抽考的總?cè)藬?shù)為因?yàn)閮?nèi)的,所以頻率為,設(shè)該區(qū)間的人數(shù)為,則由,得,即分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為 4、已知在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組表示的平面區(qū)域面積是9,則常數(shù)的值為_(kāi)15、已知一顆骰子的兩面刻有數(shù)字1,兩面刻有數(shù)字2,另兩面刻有數(shù)字3,現(xiàn)將骰子連續(xù)拋擲3次,則三次的點(diǎn)數(shù)和為3的倍數(shù)的概率為_(kāi) 6、已知某算法的流程圖如右圖所示,則輸出的最后一個(gè)數(shù)組為_(kāi) 7、圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑是cm,有一個(gè)實(shí)心鐵球浸沒(méi)于容器的水中,若取出這個(gè)鐵球,測(cè)得容器的水面下降了cm,則這個(gè)鐵球的表面積為 .8、若方程僅有一個(gè)實(shí)根,那么的取值范圍是 .或9、若實(shí)數(shù)、滿足,則的最大值是 410、若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,線段被拋物線的焦點(diǎn)分成兩段,則此橢圓的離心率為 解析:根據(jù)題意,可得,解得11.已知變量,則的最小值為 .912、當(dāng)時(shí),恒成立,則實(shí)數(shù)的取值為 13如圖,兩射線互相垂直,在射線上取一點(diǎn)使的長(zhǎng)為定值,在射線的左側(cè)以為斜邊作一等腰直角三角形在射線上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足與的面積之比為,則的取值范圍為_(kāi)14已知定義在上的函數(shù)和滿足,令,則使數(shù)列的前項(xiàng)和超過(guò)15/16的最小自然數(shù)的值為5解題探究:本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)以及等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力以及靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力求解本題,關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)條件求出的值,從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式解析:,且,從而有,又,知為減函數(shù),于是得,由于,故得使數(shù)列的前項(xiàng)和超過(guò)的最小自然數(shù)二、解答題:本大題共6小題,共90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15(本小題滿分14分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小值和最小正周期;(2)設(shè)的內(nèi)角、的對(duì)邊分別為,且,若,求,的值15. 解:(1),3分則的最小值是2, 5分最小正周期是; 7分(2),則, , 10分,由正弦定理,得, 11分由余弦定理,得,即, 由解得 14分16(本小題滿分14分)在直三棱柱中,AC=4,CB=2,AA1=2,E、F分別是ABCEFP的中點(diǎn)(1)證明:平面平面;(2)證明:平面ABE;(3)設(shè)P是BE的中點(diǎn),求三棱錐的體積16.(1)證明:在,AC=2BC=4, , 由已知, 又 5分(2)證明:取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)在,而,直線FM/平面ABE在矩形中,E、M都是中點(diǎn), 而,直線又 故 10分(或解:取AB的中點(diǎn)G,連結(jié)FG,EG,證明 EG,從而得證)(3)取的中點(diǎn),連結(jié),則且,由(1), P是BE的中點(diǎn), 14分17、(本小題滿分14分)某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制,會(huì)產(chǎn)生一些次品,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,其次品率與日產(chǎn)量(萬(wàn)件)之間大體滿足關(guān)系:(其中為小于6的正常數(shù))(注:次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量,如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品,有1件為次品,其余為合格品)已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的儀器可以盈利2萬(wàn)元,但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元,故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量.(1)試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額(萬(wàn)元)表示為日產(chǎn)量(萬(wàn)件)的函數(shù);(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí),可獲得最大利潤(rùn)?解:(1)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),綜上,日盈利額(萬(wàn)元)與日產(chǎn)量(萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系為: - 6(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),每天的盈利額為0 當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以當(dāng)時(shí),此時(shí) 當(dāng)時(shí),由知函數(shù)在上遞增,此時(shí)綜上,若,則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí),可獲得最大利潤(rùn) 若,則當(dāng)日產(chǎn)量為萬(wàn)件時(shí),可獲得最大利潤(rùn) -1418(本小題滿分16分)已知橢圓的離心率為,一條準(zhǔn)線(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),是上的點(diǎn),為橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于兩點(diǎn) 若,求圓的方程;若是l上的動(dòng)點(diǎn),求證點(diǎn)在定圓上,并求該定圓的方程18. 解:(1)由題設(shè):,橢圓的方程為: 4分(2)由(1)知:,設(shè),則圓的方程:, 6分直線的方程:, 8分, 10分,圓的方程:或 12分解法(一):設(shè), 由知:,即:, 14分 消去得:=2 點(diǎn)在定圓=2上 16分 解法(二):設(shè), 則直線FP的斜率為,F(xiàn)POM,直線OM的斜率為, 直線OM的方程為:,點(diǎn)M的坐標(biāo)為 14 分 MPOP,, =2,點(diǎn)在定圓=2上 16 分19(本小題滿分16分)已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為的等差數(shù)列,公差為,為其前 項(xiàng)和,且滿足,數(shù)列滿足,為數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和;(2)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)是否存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列?若存在,求出所有的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由 19.解:(1)(法一)在中,令,得 即 2分解得,又時(shí),滿足, 3分, 5分(法二)是等差數(shù)列, 2分由,得 , 又,則 3分(求法同法一)(2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立 6分 ,等號(hào)在時(shí)取得 此時(shí) 需滿足 7分當(dāng)為奇數(shù)時(shí),要使不等式恒成立,即需不等式恒成立 8分 是隨的增大而增大, 時(shí)取得最小值 此時(shí) 需滿足 9分綜合、可得的取值范圍是 10分(3), 若成等比數(shù)列,則,即 12分由,可得,即, 14分又,且,所以,此時(shí)因此,當(dāng)且僅當(dāng), 時(shí),數(shù)列中的成等比數(shù)列16分另解:因?yàn)?,故,即,(以下同上?14分20(本小題滿分16分) 已知函數(shù).( I )若, 求+在2,3上的最小值;( II)若時(shí), , 求的取值范圍;(III)求函數(shù)在1,6上的最小值. 解:(1)因?yàn)?且2,3,所以,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào),所以在2,3上的最小值為(2)由題意知,當(dāng)時(shí),即恒成立所以,即對(duì)恒成立,則由,得所求a的取值范圍是(3) 記,則的圖象分別是以(2a-1,0)和(a,1)為頂點(diǎn)開(kāi)口向上的V型線,且射線的斜率均為.當(dāng),即時(shí),易知在1,6上的最小值為當(dāng)a<1時(shí),可知2a1<a,所以()當(dāng),得,即時(shí),在1,6上的最小值為()當(dāng),得,即時(shí),在1,6上的最小值為當(dāng)時(shí),因?yàn)?a1>a,可知,()當(dāng),得,即時(shí),在1,6上的最小值為()當(dāng)且時(shí),即,在1,6上的最小值為 ()當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以在1,6上的最小值為綜上所述, 函數(shù)在1,6上的最小值為·9·