歡迎來到裝配圖網(wǎng)! | 幫助中心 裝配圖網(wǎng)zhuangpeitu.com!
裝配圖網(wǎng)
ImageVerifierCode 換一換
首頁 裝配圖網(wǎng) > 資源分類 > DOC文檔下載  

【數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)】【畢業(yè)論文 文獻綜述 開題報告】不等式證明的教學研究

  • 資源ID:135656360       資源大小:57KB        全文頁數(shù):42頁
  • 資源格式: DOC        下載積分:15積分
快捷下載 游客一鍵下載
會員登錄下載
微信登錄下載
三方登錄下載: 微信開放平臺登錄 支付寶登錄   QQ登錄   微博登錄  
二維碼
微信掃一掃登錄
下載資源需要15積分
郵箱/手機:
溫馨提示:
用戶名和密碼都是您填寫的郵箱或者手機號,方便查詢和重復下載(系統(tǒng)自動生成)
支付方式: 支付寶    微信支付   
驗證碼:   換一換

 
賬號:
密碼:
驗證碼:   換一換
  忘記密碼?
    
友情提示
2、PDF文件下載后,可能會被瀏覽器默認打開,此種情況可以點擊瀏覽器菜單,保存網(wǎng)頁到桌面,就可以正常下載了。
3、本站不支持迅雷下載,請使用電腦自帶的IE瀏覽器,或者360瀏覽器、谷歌瀏覽器下載即可。
4、本站資源下載后的文檔和圖紙-無水印,預覽文檔經(jīng)過壓縮,下載后原文更清晰。
5、試題試卷類文檔,如果標題沒有明確說明有答案則都視為沒有答案,請知曉。

【數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)】【畢業(yè)論文 文獻綜述 開題報告】不等式證明的教學研究

【數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)】【畢業(yè)論文+文獻綜述+開題報告】不等式證明的教學研究 20_ _屆本科畢業(yè)論文不等式證明的教學研究摘要: 不管是在中學還是大學,不等式的學習都是一大難點。本文首先對不等式及其最根本的性質(zhì)進行了簡單的介紹,然后對不等式證明的教學對開展學生的數(shù)學思維、培養(yǎng)邏輯思維能力等方面進行了研究,并得出這樣的作用是非常重要的。證明不等式?jīng)]有固定的模式,方法因題而異,靈活多變,技巧性強。正因為如此,本文采用了幾種不同的方法,主要包括:利用函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)極值,中值定理,中學常用的數(shù)學歸納法,分析綜合法,放縮法等。而對于不等式的應用方面,本文主要涉及貝努利不等式證明極限問題。在最后以Cauchy不等式為例,講述了不等式的教育價值。關鍵詞: 不等式;中值定理;函數(shù)思想;教育價值;證明Inequality proof of teaching researchst this paper briefly introduced the most basic of inequality and the nature.After that fac the teaching of inequality proof to develop the students' mathematical thinking, cultivate logical thinking ability etc aspects studied ,and draw the effect is very important .Prove the inequality has no fixed mode , methods due to a problem and vision, agile and changeable, powerful skills.Just because of this paper using several different methods mainly includes:using monotonicity of functions ,function extreme , mean-value theorem, mathematical induction , analysis synthesis ,put shrinkage method etc.For application of inequality,this paper main involves under the Bernoulli inequation limit problem.In the last With Cauchy inequality for example Tells the education under the inequality value. Keywords: inequality;Mean-value theorem;Function thought;Education value; proof目錄1、序論71.1 不等式研究的背景、意義72 不等式82.1 不等式82.2 不等式的根本性質(zhì)82.3 不等式可遵循的一些同解原理83 不等式的證明93.1 利用函數(shù)思想證明不等式93.2 利用中值定理證明不等式123.3 利用高等數(shù)學解決初等數(shù)學不等式143.4 Cauchy-schwarz 不等式的證明163.5 Young 不等式及Young逆不等式的證明163.6 中學數(shù)學不等式證明的幾種方法173.6.1 構(gòu)造法證明不等式173.6.2 分析與綜合法183.6.3 數(shù)學歸納法183.6.4 放縮法增減法193.6.5 換元法證明不等式194、不等式的應用214.1 Jensen不等式214.2 貝努利不等式214.3 貝努利不等式的應用235、不等式的教育價值25總結(jié)局部27致謝28參考文獻291 序論 1.1 不等式研究的背景、意義不等式的理論很早就被Gauss、 Cauchy等人關注并研究過,但是不等式作為一門系統(tǒng)的學科出現(xiàn)始于1934年,Hardy、 Littlewood和G.Polya合作出版?不等式?Inequalities之后。在此之前不等式只是出現(xiàn)于數(shù)學家們研究領域中所使用的引理,證明及研究得到的副成果而已。直到Hardy等人對不等式做了系統(tǒng)的研究和總結(jié)之后,不等式才真正成為了一門系統(tǒng)學科。于此同時,更給后人提供了一個嶄新的數(shù)學領域。繼Hardy等人之后,Beckenhach,E.F, R.Bellman的名著?不等式?1961年反映了1934年至1960年不等式的研究成果。此后不等式的研究方法與方向進一步多樣化。J.Diendonne在他的?無窮小分析?中賦予不等式以特別的重要性,它采用了以“較大的,較小的,接近的等術(shù)語為特色的表達方法。之后Mitrinovic于1970年出版了?解析不等式?Analytic Inequalities對于不等式的總結(jié)和開展到達了一個新的高度。此后,關于不等式的研究就從未停頓過。20世紀80年代以來,在中國也出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮。我國匡繼昌于1989年出版的?常用不等式?是首次由中國人撰寫的不等式著作,并首次大量收入了中國數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)的新不等式。此外,楊路,楊學枝,張景中,常庚哲等對幾何不等式研究的一系列開創(chuàng)性工作,將我國幾何不等式的研究推向高潮,并取得了豐碩的成果。同時,王挽瀾,祁鋒,王伯英等著名數(shù)學家在代數(shù)不等式方面,同樣取得了舉世矚目的成果。另外,胡克教授于1981年發(fā)表在?中國科學?上的論文?一個不等式及其假設干應用?針對Holder不等式的缺陷提出一個全新的不等式,被美國數(shù)學評論稱之為“一個杰出的非凡的新的不等式,現(xiàn)在稱之為胡克HK不等式。在過去數(shù)年里,數(shù)學不等式的有用性在諸多領域內(nèi)表達的很明顯。例如,在研究凸函數(shù)的一些性質(zhì)時,離不開不等式的幫助。20世紀數(shù)學已經(jīng)確認數(shù)學不等式的力量已經(jīng)上升到一個全新的高度。對不等式研究所得到的一些成果被廣泛運用到其他領域中去,比方經(jīng)濟學,游戲理論,數(shù)學規(guī)劃,控制理論,變分理論,運籌學,概率統(tǒng)計等。由此可以看出不等式的有用性,研究不等式的重要性。 2 不等式我們先對不等式進行一下簡要的介紹:2.1 不等式用不等號將兩個解析式連接起來所成的式子就稱為不等式。在一個式子中的數(shù)的關系,不全是等號,含不等號的式子就是不等式。例如,等。不等式分為嚴格不等式與非嚴格不等式。一般地,用純粹的大于號、小于號,連接的不等式稱為嚴格不等式,用不小于號大于或等于號、不大于號小于或等于號,連接的不等式稱為非嚴格不等式,或稱廣義不等式。 2.2 不等式的根本性質(zhì)性質(zhì)1 如果,那么;如果,那么;對稱性性質(zhì)2 如果,;那么;傳遞性性質(zhì)3 如果,而為任意實數(shù)或整式,那么;加法法那么性質(zhì)4 如果,那么;如果,那么;乘法法那么性質(zhì)5 如果,那么;如果,那么;性質(zhì)6 如果,那么;充分不必要條件性質(zhì)7 如果,那么;性質(zhì)8 如果,那么的次冪的次冪,即表示為n為正數(shù)。2.3 不等式可遵循的一些同解原理一、不等式與不等式同解。二、如果不等式的定義域被解析式的定義域所包含,那么不等式與不等式同解。三、如果不等式的定義域被解析式的定義域所包含,并且,那么不等式與不等式同解;如果,那么不等式與不等式同解。以上三條是不等式同解原理中的主要表現(xiàn)形式。3 不等式的證明3.1 利用函數(shù)思想證明不等式函數(shù)思想是利用函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和求解問題,它是一種很重要的數(shù)學思想方法,函數(shù)是研究變量的變化規(guī)律,所以只要有變量的問題就可以利用函數(shù)思想。在求解某些數(shù)學問題中,根據(jù)問題的條件,設想、組合一種新的函數(shù)關系,使問題在新的觀點下實行轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的相關性質(zhì)解決原問題是一種行之有效的解題手段。即通過構(gòu)造輔助函數(shù),把原來的問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì),并利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性來解決。例3.1.1 對任意實數(shù)和,成立不等式。分析 不等式中三個式子形狀相似,相當于函數(shù)在相應三個點的函數(shù)值,為此我們根據(jù)不等式的特點構(gòu)造輔助函數(shù),將不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)增減性與極值來研究。證 設。在內(nèi)嚴格遞增。于是由,就有。即。解決含有絕對值不等式問題的根本思想是設法去掉絕對值符號,化為不含絕對值符號的不等式去解,但有些分式不等式中出現(xiàn)了絕對值,也不便于去掉時,我們所采取的方法是通過分析不等號左右兩邊各式的相似之處,將相似的量當做是所構(gòu)造的函數(shù)的兩個取值點,然后利用函數(shù)的單調(diào)性來證明。例3.1.2 設,證明:1; 2 證 1令,那么令,那么, 所以當時,。所以所以,所以 即2令,那么。由1可知,從而,即 ,即。說明1 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式時,如果一階導數(shù)的符號不能確定,可以利用二階或三階導數(shù)符號來確定。說明2 在利用單調(diào)性證明不等式時,如能對欲證的不等式作適當?shù)暮愕茸冃?,往往可以使問題得以簡單。例3.1.3 證明:假設,那么對于中的任意有: 證 設函數(shù)。有令,得唯一駐點。從而所以,是極小值點也是最小值點。最小值為。兩邊界為。所以 。說明3 當題設滿足以下條件時可以用該方法: 1所設函數(shù)在某閉區(qū)間上連續(xù),開區(qū)間內(nèi)可導,但在所討論的區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)時; 2只能證不嚴格的不等式而不能證明嚴格的不等式。定義1設為定義在區(qū)間上的函數(shù),假設對上任意兩點和實數(shù),總有那么稱為上的凸函數(shù)。反之,那么稱為凹函數(shù)。例3.1.4 對任意實數(shù)有。證 設,那么, 故為上的凸函數(shù),由凸函數(shù)的定義:對,有即 。定義2 所謂多變量不等式,就是一個不等式中有多個變量,而且一般情況下是齊次變量,如果是二次的,那么可以構(gòu)造一個關于其中一個變量的二次函數(shù),然后利用二次函數(shù)的單調(diào)性或者求最值或者利用二次函數(shù)的圖像分析問題,從而得到想要證明的結(jié)果。例3.1.5 設,為任意三角形的三個內(nèi)角,對于任意實數(shù)。求證:。證 根據(jù)題意,先將特征式整理為關于的二次函數(shù)模型,再利用函數(shù)及方程的有關性進行推理論證。將看做是常數(shù),構(gòu)造關于的函數(shù)因為。又因為函數(shù)圖像開口向上,所以。故例3.1.6 ,求證。證 原不等式化為:。將看作自變量,于是問題轉(zhuǎn)化為只須證:當時,恒為正數(shù)。因而可構(gòu)造函數(shù),假設,原不等式顯然成立。假設,那么是的一次函數(shù)。在上為單調(diào)函數(shù)。而,。所以,即。對于像例3.1.5,例3.1.6這樣的不等式的形式,我們可以看出兩者是齊次形式,那么根據(jù)問題的條件和結(jié)論,對不等式適當?shù)暮愕茸冃魏?,通常我們?gòu)造的函數(shù)有一次函數(shù),二次函數(shù),分式函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)等。然后巧妙的利用各類函數(shù)的根本性質(zhì),最常用的性質(zhì)就是函數(shù)特有的單調(diào)性,最值性。當碰到的不等式的變量時二次的時候,我們常常構(gòu)造二次函數(shù),然后利用二次函數(shù)特有的判別式來獲得不等式。3.2 利用中值定理證明不等式拉格朗日中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導,那么在內(nèi)至少有一點,使這個定理的特殊情形稱羅爾定理。 推論 1、 2、 3、??挛髦兄刀ɡ?設都在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導且,那么存在,使得成立。例3.2.1 ,求證:。證 設,由拉格朗日中值定理及得,因而。又,于是,所以。例3.2.2 設,證明證 設,那么,對于在應用拉格朗日中值定理有。即,因為,所以。又因為,因為所以。注 拉格朗日中值定理將函數(shù)值與導數(shù)值連接在一起。這里沒有給出確實切位置,而對于不等式而言,也不需,不必精確。因此可利用中值定理證明,關鍵是選擇及區(qū)間。 例3.2.3 設,證明。證 設那么。對于在上應用柯西中值定理有設,考察,。顯然當時,即,。所以在時單調(diào)遞減。從而。即,故。 注 柯西中值定理是研究兩個函數(shù)變量關系的中值定理,當一個函數(shù)取作自變量自身時,它就是拉格朗日中值定理,所以能用拉格朗日中值定理證明不等式一定能用柯西中值定理來證,反之那么不然。3.3 利用高等數(shù)學解決初等數(shù)學不等式 1 伯努利不等式 對,i假設或,那么。 ii假設,那么。例3.3.1 ,求證。證 此題用常規(guī)的做法不容易證明,事實上,我們稍作變形。由于且,有伯努利不等式可知,所以成立。2 柯西不等式 設有兩組實數(shù)和,那么有或?qū)懗?。當且僅當時等號成立。 推論當且僅當時,等號成立。例3.3.2 設,且,求證:。證 由柯西不等式的推論可知,又因為,所以,即。3泰勒定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上存在直到階連續(xù)導數(shù),且在開區(qū)間內(nèi)存在的階導數(shù),那么對任意,至少存在一點,使得。 例3.3.3 設,且,求證:。證 由知。根據(jù)導數(shù)定義 由及,知。說明 泰勒公式應用的關鍵在于根據(jù)題設的條件如何選擇要展開的函數(shù)、在哪一點的領域?qū)⒑瘮?shù)展開、展開的階數(shù)以及余項形式。由以上的幾個例子可以看出,運用高等數(shù)學去解決初等數(shù)學,不僅方法新穎,而且簡單明了。除了上述這些證明不等式的方法外,中學數(shù)學中還用到了一些并不常見的方法,通過這些方法以啟迪學生思維和開拓學生視野。形如式子式子中任意兩個量交換位置后結(jié)果仍不變,這就是“式的對稱,可以用對稱關系來解決一些不等式的證明。例3.3.4 設是正數(shù),且滿足,求證:證 由。注意到對稱性有即。命題得證。 例3.3.5 證明:當時,有。證 在的情況下討論。令那么有 于是。按極限的定義,對于,取。當有,即有。從而。3.4 Cauchy-schwarz 不等式的證明Cauchy-schwarz 不等式 設均在上可積,那么有以下不等式,并且當存在一組不全為零的數(shù)使得時等號成立。 證利用變上限的積分函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù),令那么顯然有,所要求證明的Cauchy-schwarz 不等式也即要證明,從而可以轉(zhuǎn)化為證明在上為單調(diào)不增的函數(shù)即可。 由于在區(qū)間上均連續(xù),所以由變上限的積分函數(shù)的性質(zhì)可以知道在區(qū)間上可導,并且可以由求導法那么計算得到所以當時,。故在上單調(diào)非增,從而。3.5 Young 不等式及Young逆不等式的證明Young 不等式 設,那么對任意,成立,其中等號成立的充要條件是。證 當,不等式顯然成立;設,注意到當時,有,等號成立當且僅當。設,令,代入上式,且同乘以;得,即得;在上式中取,于是得到。 Young逆不等式 設,此時,那么對,成立,等號成立當且僅當。證 注意到當時,有,等號成立當且僅當。設,令,代入上式,且同乘以;得,即得;在上式中取,于是得到。注:帶的Young 不等式:設且滿足,那么 。3.6 中學數(shù)學不等式證明的幾種方法3.6.1 構(gòu)造法證明不等式所謂構(gòu)造法,就是依據(jù)題目自身的特點,通過構(gòu)造輔助函數(shù)、根本不等式、數(shù)列、幾何圖形等輔助工具鋪路架橋,促進轉(zhuǎn)化,從而到達證明不等式的目的的一種方法。在證明不等式的過程中應用構(gòu)造思想,能夠開闊思路,并運用更多的知識為證明不等式效勞。例3.6.1 假設,求證:。證 構(gòu)造數(shù)列,使得,那么易得。下面證明:,即。因為,所以可化為:。即證:等價于,顯然對此式成立。故:。3.6.2 分析與綜合法綜合法是由的條件和的不等式出發(fā),推導出所要證明的不等式;分析法那么要逐步找出使結(jié)論成立的充分條件,最后歸結(jié)為的不等式或條件。對于條件簡單而結(jié)論復雜的不等式,往往要通過分析法或分析法與綜合法交替使用來尋找證明的途徑學習中還要注意:第一,要熟練掌握各種根本的不等式和一些特殊的不等式:第二,要善于利用題中的各種隱含條件;第三,應用不等式的各種變換技巧。例3.6.2 設是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,是其前項和,求證:。證 設的公比為,由題意1當時,所以。2當時,所以。由1,2得,即。3.6.3 數(shù)學歸納法與自然數(shù)N 有關的許多不等式,可考慮用數(shù)學歸納法證明。但要注意:第一,數(shù)學歸納法有多種形式。第二,數(shù)學歸納法常與其他方法綜合運用;第三,數(shù)學歸納法不是萬能的,即并不是所有的含有n 的不等式都可以用數(shù)學歸納法證明的。例3.6.3 ,求證:。證 1當時,顯然成立。2假設時,成立。那么:即成立。根據(jù)1,2得,對于大于1的自然數(shù)n都成立。3.6.4 放縮法增減法在證題過程中,根據(jù)不等式的傳遞性,常采用舍去有些正項或負項而使不等式的項之和變大或變小,或把和或積里的各項換以較大或較小的數(shù),或在分式中擴大或縮小分式中的分子或分母,從而到達證明的目的值得注意的是“放,“縮得當,不要過頭常用的方法為:改變分子分母放縮法,拆補放縮法,尋找“中介量放縮法等。例3.6.4 設,求證:。證 由可得,又因為,所以,結(jié)論成立。3.6.5 換元法證明不等式在證題過程中,以變量代換的方法,選擇適當?shù)妮o助未知數(shù),使問題的證明到達簡化。此方法在立體幾何學習中應用更加廣泛。例3.6.5 設,為常數(shù),不等式恒成立,求證: 。分析 原不等式恒成立,等價于恒成立,而觀察可考慮實行三角換元,化歸為三角問題。證 因為,令,因為恒成立,故恒成立,而當時,取最大值,從而得證。不等式的證明方法及其相關的應用,在日常學習,研究,生活中都可以遇到。我們要養(yǎng)成聯(lián)系,總結(jié)的好習慣。以至發(fā)現(xiàn)各種規(guī)律,最終到達系統(tǒng)的掌握知識,有效的解決問題的目的。4 不等式的應用4.1 Jensen不等式 Jensen不等式 如果為連續(xù)實值凸函數(shù),且,那么有 。 注 經(jīng)典的Jensen 不等式:設是凸函數(shù),是上的可積函數(shù),那么例4.1.1 設為的一個充分統(tǒng)計量,假設損失函數(shù)為凸的,那么基于的無偏估計即為的無偏一致最小風險估計。 證 設為的任意無偏估計,考慮條件期望 由的充分性,知此條件期望與無關,因而可作為的一個估計。由于 那么為的一個無偏估計。由得凸性,用Jensen不等式,易得,故基于的無偏估計即為的無偏一致最小風險估計。4.2 貝努利不等式貝努利 不等式 設,實數(shù)都大于-1,并且它們都有著相同的符號,那么成立; 特別地,當,且,成立。 定理1 設都是正實數(shù),且,那么成立1;2 證 由條件,得;利用貝努利不等式,得由,得出;從而,得,故1、2成立。 定理2 1設,對任一正整數(shù),成立;2對任意,對任一正整數(shù),成立。 證 1不妨設。由,得,取得,從而得。2在1式中取,即得到成立。定理3 幾何平均值-算術(shù)平均值不等式對任意個非負實數(shù),成立,等號當且僅當時成立。證 利用貝努利不等式,屢次套用定理2中的不等式2,得,等號當且僅當時成立。對任意,有理數(shù),利用幾何平均算術(shù)平均不等式,有,即。對任何實數(shù),存在有理點列,使得,在中取極限,由連續(xù)性,即成立,由此不等式,可得Young不等式和Young逆不等式。Young不等式與Young逆不等式在空間、空間、泛函分析、調(diào)和分析、索伯列夫空間等理論中發(fā)揮著重要作用。4.3 貝努利不等式的應用一 貝努利不等式在證明重要極限時的應用例4.3.1 1為遞增數(shù)列;2為遞減數(shù)列。證 1在中取,由于故有,即為遞增數(shù)列。 2在中取, ,由于故有,即為遞減數(shù)列。二 貝努利不等式在證明數(shù)列極限存在時的應用例 4.3.2 設,那么有存在。證 顯然,從而是單調(diào)增加的,下證是有界的。方法1 利用貝努利不等式,得到,于是,既得是有界的;方法2 利用幾何-算術(shù)平均不等式,得于是是單調(diào)增加且是有界的,故存在。例4.3.3 設,那么存在,且。證 顯然,從而是單調(diào)增加的,下證是有界的。利用幾何-算術(shù)平均不等式,得,于是是單調(diào)增加且是有界的,因此存在,又,故。例4.3.4 設,那么存在,且。證 顯然是單調(diào)減少且有界的,于是存在,又,故。5 不等式的教育價值在這里,我主要以Cauchy不等式為例,講述下不等式的教育價值所在。認識柯西不等式的幾種形式,理解它們的幾何意義,用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況。柯西不等式的教學,實質(zhì)是完成一個包含“證明不等式的根本理論的總結(jié)、拓展,對不等式學習的感受、體會的再深入,這樣,到達“特別強調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景,以加強學生對這些不等式的數(shù)學本質(zhì)的理解,提高學生的邏輯思維能力和分析問題能力。也從客觀上和實質(zhì)上表達了柯西不等式是一個數(shù)學探究性課題探討的典型案例,表達以數(shù)學知識為載體包含著數(shù)學思想和方法,即從觀察分析數(shù)學事實的背景材料中,發(fā)現(xiàn)和建立意義的數(shù)學問題,猜想、探究適當?shù)臄?shù)學結(jié)論或規(guī)律,給出解釋或證明,進一步做類比推廣探究和實際應用研究,促使學生在學習數(shù)學根底知識和根本技能、數(shù)學思想和數(shù)學方法的過程中,發(fā)現(xiàn)和提出自己的數(shù)學問題,并加以自主探究,開展自己的創(chuàng)新意識和實踐能力1柯西不等式的學習,能夠增強學生自主探究數(shù)學問題的能力,掌握研究數(shù)學問題的立足點和根本思想方法。如掌握研究數(shù)學問題或?qū)嶋H問題的方法是:發(fā)現(xiàn)問題猜想結(jié)論分析論證推廣結(jié)論應用結(jié)果。又如利用類比歸納的方法掌握對數(shù)學問題進行多層次全方位的推廣研究,向高維的推廣、向縱深的推廣、類比橫向的推廣、反向的推廣以及這幾種推廣方法的聯(lián)合使用的再推廣。2對任何數(shù)學問題的探究,從幾何直觀的角度進行思考是最為順理成章的和自然的,感受到數(shù)學家是如何看問題、想問題和解決問題的,進而使學生的數(shù)學學習活動成為數(shù)學再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,并體悟到數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論的過程之艱辛,但又能醒悟到做出來的數(shù)學竟是如此美妙,從而源自于本能的深深地愛上數(shù)學學習,使數(shù)學學習活動過程特別是數(shù)學思維習慣成為他們終生學習和生活的實踐者。3數(shù)學教學過程理應注重分析數(shù)學問題的來龍去脈,明晰各知識點間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律,以其內(nèi)在的自然審美觀給出既簡潔又相對繁瑣、既常規(guī)的通性通法又帶有相對自我創(chuàng)造性的構(gòu)造性方法,全面開展和培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識,從而到達培養(yǎng)學生思維的靈活性、深刻性、敏捷性、批判性和廣闊性。4數(shù)學問題的探究,理應強化應用意識和掌握如何應用結(jié)論的根本方法。如柯西不等式的應用,關鍵在于如何比照性的構(gòu)造出兩組數(shù):積和數(shù)組、平方和數(shù)組以及題設條件的定值等方面,也就是說,使學生在應用方面抓住問題解決的本質(zhì)構(gòu)造應用結(jié)論的形式或轉(zhuǎn)化變形形式。5 通過柯西不等式的學習,促使學生在提出問題、分析問題、解決問題以及交流和反思等方面獲得開展。本質(zhì)上是:使學生在數(shù)學學習過程中,有一個充滿親身經(jīng)歷觀察、實驗分析、歸納、類比、猜想、論證、概括、推廣、應用、反思等數(shù)學學習的認知過程,形成質(zhì)疑問題、勤于探究思考,真正讓學生感受和體驗數(shù)學知識的產(chǎn)生過程、發(fā)現(xiàn)過程和應用過程,養(yǎng)成敢于發(fā)表自己的獨到見解,使發(fā)現(xiàn)問題和提出問題成為數(shù)學探究活動的主旋律。6數(shù)學教育理應成為崇尚自然、返樸歸真、倡導學習純潔真樸的自然之道。面對這種精神的向往,表達在數(shù)學教育教學過程的自然性,把數(shù)學課堂教學演繹成每集故事情節(jié)相對獨立而具有完整性的一部優(yōu)秀電視連續(xù)劇,使學生學起來既輕松、愉悅、自然,又充滿興趣、渴望、好奇心。7數(shù)學教育理應表達在時代性,應喚起人們以出世心態(tài)做入世之事業(yè),找回本態(tài)自我,把淡泊寧靜、老實質(zhì)樸、超然物外作為數(shù)學教師職業(yè)的追求;也能從“苦其心志,勞其筋骨 進入到“智者樂水,仁者樂山的崇高境界,定會成為數(shù)學教育工作們的最心愛的精神憩園和最愜意的棲身之地。中國數(shù)學教育之路定會成為創(chuàng)新型人才的搖籃。總結(jié)局部證明不等式的方法很多,在證明過程中需要我們善于分析題目,運用我們已學的知識去解決它。對于不易直接證明的不等式,我們需要通過借助參數(shù),構(gòu)造函數(shù)的形式將其變形為我們熟知的類型加以解決。在教學方面,通過對不等式的證明,有助于開展學生的數(shù)學思維,培養(yǎng)邏輯思維能力,提高學生數(shù)學地提出、分析和解決問題的能力和創(chuàng)新意識。不等式的運用在許多領域內(nèi)廣受關注,許多問題例如:研究凸函數(shù)的一些性質(zhì),研究概率論等都是非常重要的。在教學中熟練運用不等式去解決問題,不僅可以使問題簡單化,還可以提高學生對不等式的運用,發(fā)散學生思維,拓展學生視野。由此可見,不等式的證明及運用的重要性。而對于不等式的證明還有待我們?nèi)ミM一步的發(fā)現(xiàn)與探究。由于自己水平有限,文中所講述到的內(nèi)容也只是參照已有的成果,再結(jié)合自己所學的數(shù)學知識進行了適當?shù)谋硎?,希望在今后的學習以及實踐中能夠加深對不等式相關問題的學習即研究,懇請老師能夠教導,指正。參考文獻1崔小兵:概率論中不同條件下的Jensen不等式及應用,南陽師范學院學報,2021,092江南:關于Young不等式的證明及其應用,連云港師范高等??茖W校學報,2006,123刑家?。贺惻Σ坏仁降膽?,河南科報,2021,024陳思源:關于Cauchy-schwarz不等式的推廣與應用,宜春學院學報自然科學,2006,085柴云:高等數(shù)學中微積分證明不等式的探討,現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè),20216楊曲:淺談常見不等式的證明,科教文匯理工教研,2021,127馬德炎:常見的代數(shù)不等式的證明,高等數(shù)學研究,20068黃冬梅:關于不等式證明的假設干方法的探究,內(nèi)江師范學院學報,20219毛巨根:證明不等式的一種巧妙方法構(gòu)造輔助函數(shù)法,紹興文理學院學報,2021,0910任文龍:高觀點下的初等數(shù)學不等式,甘肅聯(lián)合大學學報自然科學版2021,0511龔誼承:基于變限積分函數(shù)的Cauchy-schwards不等式的證明,河池學院學報,2021,0412李軍莊:Cauchy不等式的教育價值,商洛學院學報,2021,0813張繼宏:淺談柯西不等式在中學數(shù)學教學中的應用,內(nèi)蒙古教育學院學報,1998,1214楊紅梅:試論柯西不等式的應用,山西播送電視大學學報,20210315郝建華.凸函數(shù)的性質(zhì)及其在不等式證明中的應用J,山西經(jīng)濟管理干部學院學報,2003, 04 16張?zhí)N:中學數(shù)學不等式證明方法簡述,許昌市教研室,中國科技信息2021年第13期17 Mathematical Inequalities文獻綜述不等式證明的教學研究一、前言局部 不等式是一件非常有用的工具,除在數(shù)學領域外,還包括物理學、工程學、教育學等諸多領域中被廣泛使用。要想運用不等式,首先要解決的是如何獲得這些不等式。因此不等式的證明成為了一個難題,其中包括數(shù)學教育方面。在閱讀了一些有關中學數(shù)學、大學數(shù)學的不等式證明這方面的文獻資料和教育理論資料,本文整理出了一些平時學習中比擬常見、常用的不等式的表述,同時也列舉了一些不等式的證明,不等式的應用的例題以及不等式在教學中的教育價值。1、一些常見不等式Cauchy柯西不等式 設有兩組實數(shù)和,那么有或?qū)懗?。當且僅當時等號成立。 推論當且僅當時,等號成立。 Jensen不等式 如果為連續(xù)實值凸函數(shù),且,那么有 。 注1:經(jīng)典的Jensen 不等式:設是凸函數(shù),是上的可積函數(shù),那么 幾何與算術(shù)平均 不等式: 貝努利 不等式:設,實數(shù)都大于-1,并且它們都有著相同的符號,那么成立; 特別地,當,且,成立。 Young 不等式 :設,那么對任意,成立,其中等號成立的充要條件是。證 當,不等式顯然成立;設,注意到當時,有,等號成立當且僅當。設,令,代入上式,且同乘以;得,即得;在上式中取,于是得到。 Young 逆不等式:設,此時,那么對,成立,等號成立當且僅當。證 注意到當時,有,等號成立當且僅當。設,令,代入上式,且同乘以;得,即得;在上式中取,于是得到。 注2: 帶的Young 不等式:設且滿足,那么 伯努利不等式 對,i假設或,那么。 ii假設,那么。 Cauchy-schwarz 不等式:設均在上可積,那么有以下不等式,并且當存在一組不全為零的數(shù)使得時等號成立。證利用變上限的積分函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù),令那么顯然有,所要求證明的Cauchy-schwarz 不等式也即要證明 ,從而可以轉(zhuǎn)化為證明在上為單調(diào)不增的函數(shù)即可。 由于在區(qū)間上均連續(xù),所以由變上限的積分函數(shù)的性質(zhì)可以知道在區(qū)間上可導,并且可以由求導法那么計算得到所以當時,。故在上單調(diào)非增,從而。2、幾個定理的表述拉格朗日中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導,那么在內(nèi)至少有一點,使這個定理的特殊情形稱羅爾定理。 推論:1、 2、 3、。 柯西中值定理 設都在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導且,那么存在,使得成立。 泰勒定理 1函數(shù)在閉區(qū)間上存在直到階連續(xù)導數(shù)。 2在開區(qū)間內(nèi)存在的階導數(shù),那么對任何,至少存在一點,使得二、主題局部 1、不等式的證明 一利用函數(shù)思想證明不等式函數(shù)思想是利用函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和求解問題,它是一種很重要的數(shù)學思想方法,函數(shù)是研究變量的變化規(guī)律,所以只要有變量的問題就可以利用函數(shù)思想。 例1 設,證明:1;2 證 1令,那么令,那么 所以當時,。所以所以,所以 即 2令,那么。由1可知,從而,即 ,即。說明1:利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式時,如果一階導數(shù)的符號不能確定,可以利用二階或三階導數(shù)符號來確定。說明2:在利用單調(diào)性證明不等式時,如能對欲證的不等式作適當?shù)暮愕茸冃危梢允箚栴}得以簡單。 例2 證明:假設,那么對于中的任意有: 證 設函數(shù)。有令,得唯一駐點。從而所以,是極小值點也是最小值點。最小值為。兩邊界為。所以。說明3:當題設滿足以下條件時可以用該方法: 1所設函數(shù)在某閉區(qū)間上連續(xù),開區(qū)間內(nèi)可導,但在所討論的區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)時; 2只能證不嚴格的不等式而不能證明嚴格的不等式。定義1 設為定義在區(qū)間上的函數(shù),假設對上任意兩點和實數(shù),總有,那么稱為上的凸函數(shù)。反之,那么稱為凹函數(shù)。例3 對任意實數(shù)有證 設,那么, 故為上的凸函數(shù),由凸函數(shù)的定義:對,有即 定義2 所謂多變量不等式,就是一個不等式中有多個變量,而且一般情況下是齊次變量,如果是二次的,那么可以構(gòu)造一個關于其中一個變量的二次函數(shù),然后利用二次函數(shù)的單調(diào)性或者求最值或者利用二次函數(shù)的圖像分析問題,從而得到想要證明的結(jié)果.。 例4 設,為任意三角形的三個內(nèi)角,對于任意實數(shù)。求證:證 根據(jù)題意,先將特征式整理為關于的二次函數(shù)模型,再利用函數(shù)及方程的有關性進行推理論證。將看做是常數(shù),構(gòu)造關于的函數(shù)因為。又因為函數(shù)圖像開口向上,所以。故二利用中值定理證明不等式例4 ,求證:。證 設,由拉格朗日中值定理及得,因而。又,于是,所以。 例5 設,證明。證 設那么。對于在上應用柯西中值定理有設,考察,。顯然當時,即,。所以在時單調(diào)遞減。從而。即,故。說明4: 柯西中值定理是研究兩個函數(shù)變量關系的中值定理,當一個函數(shù)取作自變量自身時,它就是拉格朗日中值定理,所以能用拉格朗日中值定理證明不等式一定能用柯西中值定理來證,反之那么不然。三利用高等數(shù)學解決初等數(shù)學不等式運用所學的高等數(shù)學知識、觀點和方法去聯(lián)系和研究初等數(shù)學,使“高初有機的結(jié)合起來,無疑是非常重要的。例6 ,求證證 此題用常規(guī)的做法不容易證明,事實上,我們稍作變形。由于且,有伯努利不等式可知,所以成立。例7 設,且,求證:。證 由柯西不等式的推論可知,又因為,所以,即。例8 設,且,求證:。證 由知。根據(jù)導數(shù)定義 由及,知。說明5:泰勒公式應用的關鍵在于根據(jù)題設的條件如何選擇要展開的函數(shù)、在哪一點的領域?qū)⒑瘮?shù)展開、展開的階數(shù)以及余項形式。由以上的幾個例子可以看出,運用高等數(shù)學去解決初等數(shù)學,不僅方法新穎,而且簡單明了。除了上述這些證明不等式的方法外,中學數(shù)學中還用到了一些并不常見的方法,通過這些方法以啟迪學生思維和開拓學生視野。形如式子式子中任意兩個量交換位置后結(jié)果仍不變,這就是“式的對稱. 可以用對稱關系來解決一些不等式的證明。例9 設是正數(shù),且滿足,求證:證 由。注意到對稱性有即。命題得證。 例10 證明:當時,有。證 在的情況下討論。令那么有 于是。按極限的定義,對于,取。當有,即有。從而。2、不等式的應用 一運用Jensen不等式解決概率論問題例11 設為的一個充分統(tǒng)計量,假設損失函數(shù)為凸的,那么基于的無偏估計即為的無偏一致最小風險估計。 證 設為的任意無偏估計,考慮條件期望 由的充分性,知此條件期望與無關,因而可作為的一個估計。由于 那么為的一個無偏估計。由得凸性,用Jensen不等式,易得,故基于的無偏估計即為的無偏一致最小風險估計。二運用貝努利不等式證明極限問題例12 1為遞增數(shù)列;2為遞減數(shù)列。證 1在中取,由于故有,即為遞增數(shù)列。 2在中取, 由于故有,即為遞減數(shù)列。3、不等式的教育價值在這里,我主要以Cauchy不等式為例,講述下不等式的教育價值所在。1柯西不等式的學習,能夠增強學生自主探究數(shù)學問題的能力,掌握研究數(shù)學問題的立足點和根本思想方法。如掌握研究數(shù)學問題或?qū)嶋H問題的方法是:發(fā)現(xiàn)問題猜想結(jié)論分析論證推廣結(jié)論應用結(jié)果。又如利用類比歸納的方法掌握對數(shù)學問題進行多層次全方位的推廣研究,向高維的推廣、向縱深的推廣、類比橫向的推廣、反向的推廣以及這幾種推廣方法的聯(lián)合使用的再推廣。2對任何數(shù)學問題的探究,從幾何直觀的角度進行思考是最為順理成章的和自然的,感受到數(shù)學家是如何看問題、想問題和解決問題的,進而使學生的數(shù)學學習活動成為數(shù)學再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,并體悟到數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論的過程之艱辛,但又能醒悟到做出來的數(shù)學竟是如此美妙,從而源自于本能的深深地愛上數(shù)學學習,使數(shù)學學習活動過程特別是數(shù)學思維習慣成為他們終生學習和生活的實踐者。3數(shù)學教學過程理應注重分析數(shù)學問題的來龍去脈,明晰各知識點間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律,以其內(nèi)在的自然審美觀給出既簡潔又相對繁瑣、既常規(guī)的通性通法又帶有相對自我創(chuàng)造性的構(gòu)造性方法,全面開展和培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識,從而到達培養(yǎng)學生思維的靈活性、深刻性、敏捷性、批判性和廣闊性。4數(shù)學問題的探究,理應強化應用意識和掌握如何應用結(jié)論的根本方法。如柯西不等式的應用,關鍵在于如何比照性的構(gòu)造出兩組數(shù):積和數(shù)組、平方和數(shù)組以及題設條件的定值等方面,也就是說,使學生在應用方面抓住問題解決的本質(zhì)構(gòu)造應用結(jié)論的形式或轉(zhuǎn)化變形形式。5 通過柯西不等式的學習,促使學生在提出問題、分析問題、解決問題以及交流和反思等方面獲得開展。本質(zhì)上是:使學生在數(shù)學學習過程中,有一個充滿親身經(jīng)歷觀察、實驗分析、歸納、類比、猜想、論證、概括、推廣、應用、反思等數(shù)學學習的認知過程,形成質(zhì)疑問題、勤于探究思考,真正讓學生感受和體驗數(shù)學知識的產(chǎn)生過程、發(fā)現(xiàn)過程和應用過程,養(yǎng)成敢于發(fā)表自己的獨到見解,使發(fā)現(xiàn)問題和提出問題成為數(shù)學探究活動的主旋律。6數(shù)學教育理應成為崇尚自然、返樸歸真、倡導學習純潔真樸的自然之道。面對這種精神的向往,表達在數(shù)學教育教學過程的自然性,把數(shù)學課堂教學演繹成每集故事情節(jié)相對獨立而具有完整性的一部優(yōu)秀電視連續(xù)劇,使學生學起來既輕松、愉悅、自然,又充滿興趣、渴望、好奇心。7數(shù)學教育理應表達在時代性,應喚起人們以出世心態(tài)做入世之事業(yè),找回本態(tài)自我,把淡泊寧靜、老實質(zhì)樸、超然物外作為數(shù)學教師職業(yè)的追求;也能從“苦其心志,勞其筋骨 進入到“智者樂水,仁者樂山的崇高境界,定會成為數(shù)學教育工作們的最心愛的精神憩園和最愜意的棲身之地。中國數(shù)學教育之路定會成為創(chuàng)新型人才的搖籃。三、總結(jié)局部不等式證明的方法很多,在證明過程中需要我們善于分析題目,運用我們已學的知識去解決它。對于不易直接證明的不等式,我們需要通過借助參數(shù),構(gòu)造函數(shù)的形式將其變形為我們熟知的類型加以解決。在教學方面,通過對不等式的證明,有助于開展學生的數(shù)學思維,培養(yǎng)邏輯思維能力,提高學生數(shù)學地提出、分析和解決問題的能力和創(chuàng)新意識。不等式的運用在許多領域內(nèi)廣受關注,許多問題例如:研究凸函數(shù)的一些性質(zhì),研究概率論等都是非常重要的。在教學中熟練運用不等式去解決問題,不僅可以使問題簡單化,還可以提高學生對不等式的運用,發(fā)散學生思維,拓展學生視野。由此可見,不等式的證明及運用的重要性。而對于不等式的證明還有待我們?nèi)ミM一步的發(fā)現(xiàn)與探究。四、參考文獻1崔小兵:概率論中不同條件下的Jensen不等式及應用,南陽師范學院學報,2021,092江南:關于Young不等式的證明及其應用,連云港師范高等??茖W校學報,2006,123刑家省:貝努力不等式的應用,河南科報,2021,024陳思源:關于Cauchy-schwarz不等式的推廣與應用,宜春學院學報自然科學,2006,085柴云:高等數(shù)學中微積分證明不等式的探討,現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè),20216楊曲:淺談常見不等式的證明,科教文匯理工教研,2021,127馬德炎:常見的代數(shù)不等式的證明,高等數(shù)學研究,20068黃冬梅:關于不等式證明的假設干方法的探究,內(nèi)江師范學院學報,20219毛巨根:證明不等式的一種巧妙方法構(gòu)造輔助函數(shù)法,紹興文理學院學報,2021,0910任文龍:高觀點下的初等數(shù)學不等式,甘肅聯(lián)合大學學報自然科學版2021,0511龔誼承:基于變限積分函數(shù)的Cauchy-schwards不等式的證明,河池學院學報,2021,0412李軍莊:Cauchy不等式的教育價值,商洛學院學報,2021,0813張繼宏:淺談柯西不等式在中學數(shù)學教學中的應用,內(nèi)蒙古教育學院學報,1998,1214楊紅梅:試論柯西不等式的應用,山西播送電視大學學報,20210315郝建華.凸函數(shù)的性質(zhì)及其在不等式證明中的應用J,山西經(jīng)濟管理干部學院學報,2003, 04 16 Mathematical Inequalities. . 開題報告不等式證明的教學研究一、選題的背景、意義 不等式的理論很早就被Gauss, Cauchy等人關注并研究過,但是不等式作為一門系統(tǒng)的學科出現(xiàn)始于1934年,Hardy, Littlewood和G.Polya合作出版?不等式?Inequalities之后。在此之前不等式只是出現(xiàn)于數(shù)學家們研究領域中所使用的引理,證明及研究得到的副成果而已。直到Hardy等人對不等式做了系統(tǒng)的研究和總結(jié)之后,不等式才真正成為了一門系統(tǒng)學科。20世紀數(shù)學已經(jīng)確認數(shù)學不等式的力量上升到巨大的新結(jié)果和問題以及產(chǎn)生的新領域的數(shù)學。對不等式研究所得到的一些成果被廣泛運用到其他領域中去,比方經(jīng)濟學,游戲理論,數(shù)學規(guī)劃,控制理論,變分理論,運籌學,概率統(tǒng)計等。由此可以看出不等式的有用性,研究不等式的重要性。二、研究的根本內(nèi)容與擬解決的主要問題不等式是數(shù)學中被廣泛運用的工具,在很多數(shù)學問題的分析與解答中,我們都需要用到不等式,然而要想能夠在問題中運用一些不等式的定理或推論,我們首先要證明所用不等式的可行性,尤其是在數(shù)學教學中。因此對一些不等式的證明深入的討論就顯得很重要,也具有一定的教育意義。首先在這給出一些常見的不等式,以及比擬常用到的幾個定理,同時給出其中一局部不等式的證明。Cauchy柯西不等式 設有兩組實數(shù)和,那么有或?qū)懗?。當且僅當時等號成立。 推論當且僅當時,等號成立。 Jensen不等式 如果為連續(xù)實值凸函數(shù),且,那么有 。 注1:經(jīng)典的Jensen 不等式:設是凸函數(shù),是上的可積函數(shù),那么 幾何與算術(shù)平均 不等式: 貝努利 不等式:設,實數(shù)都大于-1,并且它們都有著相同的符號,那么成立; 特別地,當,且,成立。 Young 不等式 :設,那么對任意,成立,其中等號成立的充要條件是。證 當,不等式顯然成立;設,注意到當時,有,等號成立當且僅當。設,令,代入上式,且同乘以;得,即得;在上式中取,于是得到。 Young 逆不等式:設,此時,那么對,成立,等號成立當且僅當。證 注意到當時,有,等號成立當且僅當。設,令,代入上式,且同乘以;得,即得;在上式中取,于是得到。 注2: 帶的Young 不等式:設且滿足,那么 伯努利不等式 對,i假設或,那么。 ii假設,那么。 Cauchy-schwarz 不等式:設均在上可積,那么有以下不等式,并且當存在一組不全為零的數(shù)使得時等號成立。證利用變上限的積分函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù),令那么顯然有,所要求證明的Cauchy-schwarz 不等式也即要證明 ,從而可以轉(zhuǎn)化為證明在上為單調(diào)不增的函數(shù)即可。 由于在區(qū)間上均連續(xù),所以由變上限的積分函數(shù)的性質(zhì)可以知道在區(qū)間上可導,并且可以由求導法那么計算得到所以當時,。故在上單調(diào)非增,從而。2、幾個定理的表述拉格朗日中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導,那么在內(nèi)至少有一點,使這個定理的特殊情形稱羅爾定理。 推論:1、 2、 3、。 柯西中值定理 設都在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導且,那么存在,使得成立。 泰勒定理 1函數(shù)在閉區(qū)間上存在直到階連續(xù)導數(shù)。 2在開區(qū)間內(nèi)存在的階導數(shù),那么對任何,至少存在一點,使得三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點,預期到達的目標研究方法:閱讀了一些有關中學數(shù)學、大學數(shù)學的不等式證明這方面的文獻資料和教育理論資料,本文整理出了一些平時學習中比擬常見、常用的不等式的表述,同時也列舉了一些不等式的證明,不等式的應用的例題以及不等式在教學中的教育價值。技術(shù)路線:通過查閱資料,分析、總結(jié)有關不等式證明以及不等式應用,不等式的教育價值等方面的文獻,并在此根底上進行總結(jié)及其歸納。然后就不等式的幾點應用進行實踐證明其可行性。研究難點:要想證明不等式,可以通過構(gòu)造出輔助函數(shù),運用函數(shù)的一些性質(zhì),到達簡化證明的過程,還可以運用的不等式去證明需求的不等式。而怎樣去找到適宜的輔助函數(shù)與不等式是一個難點。在教學方面,運用不等式解題可以使問題簡單化處理,而難點在于如何能在教學過程中培養(yǎng)學生的邏輯思維能力,提高學生分析問題的能力。預期到達的目標:不等式證明以及應用是數(shù)學教學中的一個非常最重要的一局部。許多數(shù)學問題都需要借助不等式來解決。通過對一些不等式進行證明來了解其某些性質(zhì),從而可以運用來解決新的一些問題,還可以從中歸納出一些可行的方法來完善學生對不等式的理解,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和能力。四、論文詳細工作進度和安排1.論文選題,查閱文獻,收集信息,對材料進行加工整理,形成系統(tǒng)材料。大四上半學期結(jié)束寒假期間2.收集、整理、分析材料,寫出論文開題報告及文獻綜述。開學第一周第二周3.對外文資料進行整理、分析,翻譯外文二篇,寫出論文大綱。開學第三周第六周4.再仔細研讀、分析文獻、資料,寫出初稿。開學第七周第八周5.根據(jù)導師意見,對論文進行反復修改。開學第九周第十一周6.對論文進行深入研究,彌補缺乏之處,最后定稿,并寫出一篇8001000字的論文摘要,準備好辯論。開學第十二周第十三周凸函數(shù)的性質(zhì)及其在不等式證明中的應用J,山西經(jīng)濟管理干部學院學報,2003, 04 16 Mathematical Inequalities29

注意事項

本文(【數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)】【畢業(yè)論文 文獻綜述 開題報告】不等式證明的教學研究)為本站會員(r****d)主動上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請立即通知裝配圖網(wǎng)(點擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

溫馨提示:如果因為網(wǎng)速或其他原因下載失敗請重新下載,重復下載不扣分。




關于我們 - 網(wǎng)站聲明 - 網(wǎng)站地圖 - 資源地圖 - 友情鏈接 - 網(wǎng)站客服 - 聯(lián)系我們

copyright@ 2023-2025  zhuangpeitu.com 裝配圖網(wǎng)版權(quán)所有   聯(lián)系電話:18123376007

備案號:ICP2024067431-1 川公網(wǎng)安備51140202000466號


本站為文檔C2C交易模式,即用戶上傳的文檔直接被用戶下載,本站只是中間服務平臺,本站所有文檔下載所得的收益歸上傳人(含作者)所有。裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。若文檔所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請立即通知裝配圖網(wǎng),我們立即給予刪除!