六年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義《“牛吃草”問題》

1六年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第 39 講“牛吃草”問題一、知識要點一、知識要點牛吃草問題是牛頓問題,因牛頓提出而得名的.“一堆草可供 10 頭牛吃 3 天,供 6 頭牛吃幾天?”這題很簡單,用 3106=5（天）,如果把“一堆草”換成“一片正在生長的草地”,問題就不那么簡單了.因為草每天走在生長,草的數(shù)量在不斷變化.這類工作總量不固定（均勻變化）的問題就是“牛吃草”問題.解答這類題的關(guān)鍵是要想辦法從變化中找到不變的量.牧場上原有的草是不變的,新長出的草雖然在變化,因為是勻速生長,所以每天新長出的草是不變的.正確計算草地上原有的草及每天長出的草,問題就容易解決了.二、精講精練二、精講精練【例題例題 1】1】一片青草地,每天都勻速長出青草,這片青草可供 27 頭牛吃 6 周或 23 頭牛吃9 周,那么這片草地可供 21 頭牛吃幾周?這片草地上的草的數(shù)量每天都在變化,解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量即原來的草的數(shù)量.因為總草量可以分成兩部分:原有的草與新長出的草.新長出的草雖然在變,但應(yīng)注意到是勻速生長,因而這片草地每天新長出的草的數(shù)量也是不變的.假設(shè) 1 頭牛一周吃的草的數(shù)量為 1 份,那么 27 頭牛 6 周需要吃 276=162（份）,此時新草與原有的草均被吃完;23 頭牛 9 周需吃 239=207（份）,此時新草與原有的草也均被吃完.而 162 份是原有的草的數(shù)量與 6 周新長出的草的數(shù)量的總和;207 份是原有的草的數(shù)量與9 周新長出的草的數(shù)量的總和,因此每周新長出的草的份數(shù)為:（207-162）（9-6）=15（份）,所以,原有草的數(shù)量為:162-156=72（份）.這片草地每周新長草 15 份相當(dāng)于可安排 15 頭牛專吃新長出來的草,于是這片草地可供 21 頭牛吃 72（21-15）12（周）練習(xí)練習(xí) 1 11、一片草地,每天都勻速長出青草,如果可供 24 頭牛吃 6 天,20 頭牛吃 10 天,那么可供19 頭牛吃幾天?22、牧場上一片草地,每天牧草都勻速生長,這片牧草可供 10 頭牛吃 20 天,或者可供 15頭牛吃 10 天,問可供 25 頭牛吃幾天?3、牧場上的青草每天都在勻速生長,這片青草可供 27 頭牛吃 6 周或 23 頭牛吃 9 周,那么這片草地可供 21 頭牛吃幾周?【例題例題 2】2】由于天氣逐漸冷起來,牧場上的草不僅不長大,反而以固定速度在減少.已知某塊草地上的草可供 20 頭牛吃 5 天或可供 15 頭牛吃 6 天.照此計算,可供多少頭牛吃 10 天?與例 1 不同的是,不僅沒有新長出的草,而且原有的草還在減少,但是,我們同樣可以利用與例 1 類似的方法求出每天減少的草和原來的草的總量.設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草為 1 份,20 頭牛 5 天吃 100 份,15 頭牛 6 天吃 90 份,100-90=10（份）,說明寒冷的天氣使牧場 1 天減少青草 10 份,也就是寒冷導(dǎo)致的每天減少的草量相當(dāng)于 10 頭牛在吃草.由“草地上的草可供 20 頭牛吃 5 天”,再加上寒冷導(dǎo)致的每天減少的草量相當(dāng)于 10 頭牛同時在吃草,所以原有草兩有（20+10）5=150（份）,由15010=15 知道,牧場原有的草可供 15 頭牛吃 10 天.由寒冷導(dǎo)致的原因占去 10 頭牛吃的草,所以可供 5 頭牛吃 10 天.練習(xí)練習(xí) 2:2:1、由于天氣逐漸冷起來,牧場上的草每天以均勻的速度在減少.經(jīng)計算,牧場上的草可供20 頭牛吃 5 天或可供 16 頭牛吃 6 天.那么,可供 11 頭牛吃幾天?32、由于天氣逐漸冷起來,牧場上的草以固定速度在減少.已知牧場上的草可供 33 頭牛吃5 天或可供 24 頭牛吃 6 天.照此計算,這個牧場可供多少頭牛吃 10 天?3、經(jīng)測算,地球上的資源可供 100 億人生活 100 年,或可供 80 億人生活 300 年.假設(shè)地球新生成的資源增長速度是一樣的,那么,為滿足人類不斷發(fā)展的需要,地球最多能養(yǎng)活多少億人?【例題例題 3】3】自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著,兩位性急的孩子要從扶梯上樓.已知男孩每分鐘走 20 級臺階,女孩每分鐘走 15 級臺階,結(jié)果男孩用 5 分鐘到達樓上,女孩用了 6 分鐘到達樓上.問:該扶梯共有多少級臺階?與前兩個題比較,“總的草量”變成了“扶梯的臺階總數(shù)”,“草”變成了“臺階”,“牛”變成了“速度”,也可以看成是牛吃草問題.上樓的速度可以分為兩部分:一部分是男、女孩自己的速度,另一部分是自動扶梯的速度.男孩 5 分鐘走了 205=100（級）,女孩 6 分鐘走了 156=90（級）,女孩比男孩少走了 10090=10（級）,多用了 65=1（分鐘）,說明電梯 1 分鐘走 10 級.因男孩 5 分鐘到達樓上,他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和.所以,扶梯共有（20+10）5=150（級）練習(xí)練習(xí) 3:3:1、自動扶梯以均勻速度行駛著,渺小明和小紅從扶梯上樓.已知小明每分鐘走 25 級臺階,小紅每分鐘走 20 級臺階,結(jié)果小明用 5 分鐘,小紅用了 6 分鐘分別到達樓上.該扶梯共有多少級臺階?42、兩個頑皮的孩子逆著自動扶梯的方向行走.在 20 秒鐘里,男孩可走 27 級臺階,女孩可走 24 級臺階,男孩走了 2 分鐘到達另一端,女孩走了 3 分鐘到達另一端,該扶梯共有多少級臺階?3、兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射,從井頂逃向井底.白天往下爬,兩只蝸牛白天爬行的速度是不同的.一只每天白天爬 20 分米,另一只爬 15 分米.黑夜里往下滑,兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的.結(jié)果一只蝸牛恰好用了 5 個晝夜到達井底,另一只蝸牛恰好用了 6 個晝夜到達井底.那么,井深多少米?【例題例題 4】4】一只船有一個漏洞,水以均勻的速度進入船內(nèi),發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水.如果用 12 人舀水,3 小時舀完.如果只有 5 個人舀水,要 10 小時才能舀完.現(xiàn)在要想 2 小時舀完,需要多少人?已漏進的水,加上 3 小時漏進的水,每小時需要（123）人舀完,也就是 36 人用 1 小時才能舀完.已漏進的水,加上 10 小時漏進的水,每小時需要（510）人舀完,也就是 50 人用1 小時才能舀完.通過比較,我們可以得出 1 小時內(nèi)漏進的水及船中已漏進的水.1 小時漏進的水,2 個人用 1 小時能舀完:（510123）（103）=2已漏進的水:（122）3=30已漏進的水加上 2 小時漏進的水,需 34 人 1 小時完成:30+22=34用 2 小時來舀完這些水需要 17 人:342=17（人）5練習(xí)練習(xí) 4:4:1、有一水池,池底有泉水不斷涌出.用 10 部抽水機 20 小時可以把水抽干,用 15 部相同的抽水機 10 小時可以把水抽干.那么用 25 部這樣的抽水機多少小時可以把水抽干?2、有一個長方形的水箱,上面有一個注水孔,底面有一個出水孔,兩孔同時打開后,如果每小時注水 30 立方分米,7 小時可以注滿水箱;如果每小時注水 45 立方分米,注滿水箱可少用 2.5 小時.那么每小時由底面小孔排出多少立方分米的水（設(shè)每小時排水量相同）?3、有一水井,連續(xù)不段涌出泉水,每分鐘涌出的水量相等.如果用 3 臺抽水機來抽水,36分鐘可以抽完;如果使用 5 臺抽水機,20 分鐘抽完.現(xiàn)在 12 分鐘內(nèi)要抽完井水,需要抽水機多少臺?【例題例題 5】5】有三塊草地,面積分別為 5,6,和 8 公頃.草地上的草一樣厚,而且長得一樣快.六年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第一塊草薦地可供 11 頭牛吃 10 天,六年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第二塊草地可供 12 頭牛吃 14 天.問六年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第三塊草地可供 19 頭牛吃多少天?前幾天我們接觸的是在同一塊草地上,同一個水池中,現(xiàn)在是三塊面積不同的草地.為了解決這個問題,只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來.即5,6,8=120這樣,六年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第一塊 5 公頃可供 11 頭牛吃 10 天,1205=24,變?yōu)?120公頃草地可供 1124=264（頭）牛吃 10 天六年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第二塊 6 公頃可供 12 頭牛吃 14 天,1206=20,變?yōu)?120 公6頃草地可供 1220=240（頭）牛吃 14 天.1208=15.問題變成:120 公頃草地可供 1915=285（頭）牛吃幾天?因為草地面積相同,可忽略具體公頃數(shù),原題可變?yōu)?一塊草地勻速生長,可供 264 頭牛吃 10 天或供 240 頭牛吃 14 天,那么可供 285 頭牛齒及天?即每天新長出的草:（2401426410）（1410）=180（份）草地原有草:（264180）10=840（份）可供 285 頭牛吃的時間:840（285180）=8（天）答:六年級數(shù)學(xué)奧數(shù)習(xí)題講義-第三塊草地可供 19 頭牛吃 8 天.練習(xí)練習(xí) 5:5:1、某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊,每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多.從開始檢票到等候檢票的隊伍消失,同時開 4 個檢票口需 30 分鐘,同時開 5 個檢票口需 20 分鐘.如果同時打開 7 個檢票口,那么需多少分鐘?2、快、中、慢三車同時從 A 地出發(fā),追趕一輛正在行駛的自行車,三車的速度分別是嵋小時 24 千米、20 千米、19 千米.快車追上自行車用了 6 小時,中車追上自行車用了 10 小時,慢車追上自行車用多少小時?3、一個牧場上的青草每天都勻速生長.這片青草可供 17 頭牛吃 30 天,或供 19 頭牛吃24 天.現(xiàn)有一群牛吃了 6 天后賣掉 4 頭,余下的牛又吃了 2 天將草吃完.這群牛原來有多少頭?