湘潭大學(xué)劉任任版離散數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案習(xí)題21

習(xí)題二十一1.某年級(jí)有100個(gè)學(xué)生,其中40個(gè)學(xué)生學(xué)英語(yǔ),40個(gè)學(xué)生學(xué)俄語(yǔ),40個(gè)學(xué)生學(xué)日語(yǔ).若分別有21個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)上述三種語(yǔ)言中的任何兩種語(yǔ)言,有10個(gè)學(xué)生所有3種語(yǔ)言.問(wèn)不學(xué)任何語(yǔ)言的學(xué)生有多少個(gè)?解：用A1、A2、A3分別表示學(xué)英語(yǔ)、學(xué)俄語(yǔ)、學(xué)日語(yǔ)的學(xué)生集合，S表示總學(xué)生集合，則問(wèn)題變成求，利用逐步淘汰公式，分別求，所以由逐步淘汰公式2.有多少個(gè)小于70且與70互質(zhì)的正整數(shù)?解：由于70=2××，所以該題也就變成了，求所有小于的并且不能被，整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。設(shè)、分別表示1到之間能被、7整除的整數(shù)之集合.于是,問(wèn)題變成求.利用逐步淘汰公式,先分別求:其中表示對(duì)取整,下同:其中表示與的最小公倍數(shù).代入公式(21.1)得:3.在由10個(gè)數(shù)字位組成的三進(jìn)制序列中,有多少個(gè)至少出現(xiàn)一個(gè)0,一個(gè)1和一個(gè)2的序列?解：設(shè)只出現(xiàn)0、1、2中任意i位數(shù)的三進(jìn)制數(shù)的個(gè)數(shù)為N(i)個(gè)，i=1,2。顯然，10位三進(jìn)制數(shù)共有個(gè)，而。故0、1和2都出現(xiàn)的數(shù)字共有個(gè)。4.某班級(jí)有學(xué)生25人,其中有14個(gè)會(huì)西班牙語(yǔ),12人會(huì)法語(yǔ),6人會(huì)法語(yǔ)和西班牙語(yǔ),5人會(huì)德語(yǔ)和西班牙語(yǔ),還有2人這三種語(yǔ)言都會(huì)說(shuō),而6個(gè)會(huì)德語(yǔ)的人都會(huì)說(shuō)另一種語(yǔ)言(指西政牙語(yǔ)).求不會(huì)以上三種語(yǔ)言的人數(shù).解 設(shè)會(huì)法語(yǔ)，德語(yǔ)，西班牙語(yǔ)的學(xué)生的集合分別為那么顯然現(xiàn)在考慮，因6個(gè)會(huì)德語(yǔ)的人都會(huì)另一種語(yǔ)言，其中5人會(huì)西班牙語(yǔ)，那么另一人肯定會(huì)法語(yǔ)。又5個(gè)會(huì)西班牙語(yǔ)的人中也有兩個(gè)會(huì)法語(yǔ)。所以。有公式（4-1）即不會(huì)外語(yǔ)的有5人。5.求的沒(méi)有偶整數(shù)在它的自然位置上,即不在第位置上的排列個(gè)數(shù).解 S的所有排列個(gè)數(shù)是，有個(gè)偶數(shù)出現(xiàn)在其自然位置上而其余個(gè)數(shù)不加限制的排列數(shù)為。此外，個(gè)偶數(shù)有種不同選法。代入對(duì)稱(chēng)篩選式得6.求的恰有4個(gè)整數(shù)在其自然3位置上的排列個(gè)數(shù). 解 在其自然數(shù)位置上的4個(gè)數(shù)有種選法。余下的不在其自然位置上的4個(gè)數(shù)有種排法。于是答案為7.試用組合推理解釋恒等式解的排列可分別成下列情況：沒(méi)有一個(gè)數(shù)載其自然位置上的排列數(shù)位。恰有個(gè)數(shù)載其自然數(shù)為。有的所有排列的個(gè)數(shù)為，根據(jù)加法原理得8.試證: 是一個(gè)偶數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)是一個(gè)奇數(shù).證 命題等價(jià)于是奇數(shù)時(shí)是偶數(shù)，是偶數(shù)時(shí)是奇數(shù)。用歸納法證明。因?yàn)闅w納基礎(chǔ)成立。假定對(duì)任一是奇數(shù)，是偶數(shù)時(shí)命題成立。那么是奇數(shù) 是奇數(shù) 是偶數(shù)命題得證9.個(gè)人參加一晚會(huì),每人寄存一頂帽子和一把雨傘,會(huì)后各人任取一頂帽子和一把雨傘,有多少種可能使得沒(méi)有人能拿回他原來(lái)的任何一件物品?解 因?yàn)槿撕兔弊佣际怯袇^(qū)別的，每人隨便地戴一頂帽子相當(dāng)于頂帽子的一個(gè)重排。這些重排的個(gè)數(shù)為。而沒(méi)有一個(gè)人戴上自己原來(lái)的帽子恰是錯(cuò)置，錯(cuò)置數(shù)為沒(méi)有人拿回自己原來(lái)的帽子有種可能。沒(méi)有人拿回自己原來(lái)的傘也有種可能。這兩件事情是互相無(wú)關(guān)的。因此答案為。