2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項突破19 概率、隨機變量及其分布列 理

必考問題19概率、隨機變量及其分布列(2012·湖南)某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若某顧客到達(dá)收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率(注：將頻率視為概率)答案：解(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，將頻率視為概率得P(X1)，P(X1.5)，P(X2)，P(X2.5)，P(X3).X的分布列為X11.522.53PX的數(shù)學(xué)期望為E(X)1×1.5×2×2.5×3×1.9.(2)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘”，Xi(i1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時間，則P(A)P(X11且X21)P(X11且X21.5)P(X11.5且X21)由于各顧客的結(jié)算相互獨立，且X1，X2的分布列都與X的分布列相同，所以P(A)P(X11)×P(X21)P(X11)×P(X21.5)P(X11.5)×P(X21)×××.故該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為.結(jié)合事件的互斥性、對立性、獨立性以及古典概型，主要以解答題的方式考查離散型隨機變量分布列、期望和方差的求解及其實際應(yīng)用本部分復(fù)習(xí)要從整體上，知識的相關(guān)關(guān)系上進行離散型隨機變量問題的核心是概率計算，而概率計算又以事件的獨立性、互斥性、對立性為核心，在解題中要充分分析事件之間的關(guān)系.必備知識互斥事件有一個發(fā)生的概率若A、B是互斥事件，則P(AB)P(A)P(B)，P(A)P(A)1.相互獨立事件與n次獨立重復(fù)試驗(1)若 A1，A2，An是相互獨立事件，則P(A1·A2··An)P(A1)·P(A2)··P(An)(2)如果在一次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，事件A不發(fā)生的概率為1p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生k次的概率為：Pn(k)Cpk(1p)nk.離散型隨機變量的分布列、期望與方差(1)主干知識：隨機變量的可能取值，分布列，期望，方差，二項分布，超幾何分布，正態(tài)分布(2)基本公式：E()x1p1x2p2xnpn；D()(x1E()2p1(x2E()2p2(xnE()2pn；E(ab)aE()b，D(ab)a2D()；二項分布：B(n，p)，則P(k)Cpk(1p)nk，E()np，D()np(1p)正態(tài)分布(1)若X服從參數(shù)為和2的正態(tài)分布，則可表示為XN(，2)(2)N(，2)的分布密度曲線關(guān)于直線x對稱，該曲線與x軸所圍成的圖形的面積為1.(3)當(dāng)XN(，2)時，0.683P(X)，0.954P(2X2)，0.997P(3X3)以上三個概率值具有重要的應(yīng)用，要熟記，不可混用必備方法1在解含有相互獨立事件的概率題時，首先把所求的隨機事件分拆成若干個互斥事件的和，其次將分拆后的每個事件分拆為若干個相互獨立事件的乘積，這兩個事情做好了，問題的思路就清晰了，接下來就是按照相關(guān)的概率值進行計算的問題了，如果某些相互獨立事件符合獨立重復(fù)試驗概型，就把這部分歸結(jié)為用獨立重復(fù)試驗概型，用獨立重復(fù)試驗概型的概率計算公式解答2相當(dāng)一類概率應(yīng)用題都是由擲硬幣、擲骰子、摸球等概率模型賦予實際背景后得出來的，我們在解題時就要把實際問題再還原為我們常見的一些概率模型，這就要根據(jù)問題的具體情況去分析，對照常見的概率模型，把不影響問題本質(zhì)的因素去除，抓住問題的本質(zhì)3求解一般的隨機變量的期望和方差的基本方法是：先根據(jù)隨機變量的意義，確定隨機變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的公式計算互斥事件、相互獨立事件的概率在求隨機變量的分布列、期望、方差往往起工具性作用，試題多來源于生活，考查閱讀理解能力及對概率知識的應(yīng)用能力【例1】 (2012·陜西)某銀行柜臺設(shè)有一個服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下：辦理業(yè)務(wù)所需的時間/分12345頻率0.10.40.30.10.1從第一個顧客開始辦理業(yè)務(wù)時計時(1)估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；(2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望審題視點 聽課記錄審題視點 (1)第三個顧客恰好等待4分鐘的情況有三種可能：第一個顧客需1分鐘，第二個顧客需3分鐘；第一個顧客需3分鐘，第二個顧客需1分鐘；兩個顧客都需要2分鐘(2)找出第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)X的所有可能取值，其取值分別為0,1,2；求出分布列，得出期望，本問最難的是分布列的求解解設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則事件A對應(yīng)三種情形：第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘；第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘；第一個和第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為2分鐘所以P(A)P(Y1)P(Y3)P(Y3)P(Y1)P(Y2)P(Y2)0.1×0.30.3×0.10.4×0.40.22.(2)法一X所有可能的取值為0,1,2.X0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘，所以P(X0)P(Y2)0.5；X1對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為2分鐘，所以P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.1×0.90.40.49；X2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.1×0.10.01；所以X的分布列為X012P0.50.490.01E(X)0×0.51×0.492×0.010.51.法二X的所有可能取值為0,1,2.X0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘，所以P(X0)P(Y2)0.5；X2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.1×0.10.01；P(X1)1P(X0)P(X2)0.49；所以X的分布列為X012P0.50.490.01E(X)0×0.51×0.492×0.010.51. 在概率的計算中，一般是根據(jù)隨機事件的含義，把隨機事件分成幾個互斥事件的和，每個小的事件再分為幾個相互獨立事件的乘積，然后根據(jù)相應(yīng)的概率公式進行計算【突破訓(xùn)練1】 甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立已知前2局中，甲、乙各勝1局(1)求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率；(2)求甲獲得這次比賽勝利的概率解記Ai表示事件：第i局甲獲勝，i3,4,5，Bj表示事件：第j局乙獲勝，j3,4.(1)記A表示事件：再賽2局結(jié)束比賽AA3·A4B3·B4.由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(A)P(A3·A4B3·B4)P(A3·A4)P(B3·B4)P(A3)P(A4)P(B3)P(B4)0.6×0.60.4×0.40.52.(2)記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利因前2局中，甲、乙各勝1局，故甲獲得這次比賽的勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲先勝2局，從而BA3·A4B3·A4·A5A3·B4·A5，由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(B)P(A3·A4)P(B3·A4·A5)P(A3·B4·A5)P(A3)P(A4)P(B3)P(A4)P(A5)P(A3)P(B4)P(A5)0.6×0.60.4×0.6×0.60.6×0.4×0.60.648.以實際生活或生產(chǎn)為背景來考查二項分布是高考的“永久”熱點，難點是透過問題的實際背景發(fā)現(xiàn)n次獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ图岸椃植迹瑴?zhǔn)確把握獨立重復(fù)試驗的特點是解答二項分布問題的關(guān)鍵【例2】 (2012·天津)現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記|XY|.求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望E()審題視點 聽課記錄審題視點 (1)利用二項分布的概率公式求解；(2)利用二項分布和互斥事件的概率公式求解；(3)建立概率分布表，利用期望的定義式求解數(shù)學(xué)期望解依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i0,1,2,3,4)，則P(Ai)Ci4i.(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A2)C2·2.(2)設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則BA3A4.由于A3與A4互斥，故P(B)P(A3)P(A4)C3C4.所以，這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為.(3)的所有可能取值為0,2,4.由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)，P(4)P(A0)P(A4).所以的分布列是024P的期望E()0×2×4×. (1)判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：是否為n次獨立重復(fù)試驗；隨機變量是否為在這n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)(2)在n次獨立重復(fù)試驗中，恰好發(fā)生k次的概率P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.【突破訓(xùn)練2】 某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請兩位專家，獨立地對每位大學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進行評審假設(shè)評審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是.若某人獲得兩個“支持”，則給予10萬元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個“支持”給予5萬元的資助；若未能獲得“支持”，則不予資助，求：(1)該公司的資助總額為零的概率；(2)該公司的資助總額超過15萬元的概率解(1)設(shè)A表示“資助總額為零”這個事件，則P(A)6.(2)設(shè)B表示“資助總額超過15萬元”這個事件，則P(B)15×66×66. 與方差以考生比較熟悉的實際應(yīng)用問題為背景，綜合排列組合、概率公式、互斥事件、獨立事件及獨立重復(fù)事件等基礎(chǔ)知識，考查對隨機變量的識別及概率計算的能力【例3】 (2012·新課標(biāo)全國)某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理(1)若花店一天購進16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，nN)的函數(shù)解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率()若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；()若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進16枝還是17枝？請說明理由審題視點 聽課記錄審題視點 (1)根據(jù)日需求量分類求出函數(shù)解析式；(2)()根據(jù)當(dāng)天的需求量，寫出相應(yīng)的利潤，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望和方差()比較兩種情況的方差或數(shù)學(xué)期望即可解(1)當(dāng)日需求量n16時，利潤y80.當(dāng)日需求量n16時，利潤y10n80.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y(nN)(2)()X可能的取值為60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列為X607080P0.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望為E(X)60×0.170×0.280×0.776.X的方差為D(X)(6076)2×0.1(7076)2×0.2(8076)2×0.744.()答案一：花店一天應(yīng)購進16枝玫瑰花理由如下：若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)55×0.165×0.275×0.1685×0.5476.4.Y的方差為D(Y)(5576.4)2×0.1(6576.4)2×0.2(7576.4)2×0.16(8576.4)2×0.54112.04.由以上的計算結(jié)果可以看出，D(X)D(Y)，即購進16枝玫瑰花時利潤波動相對較小另外，雖然E(X)E(Y)，但兩者相差不大故花店一天應(yīng)購進16枝玫瑰花答案二：花店一天應(yīng)購進17枝玫瑰花理由如下：若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)55×0.165×0.275×0.1685×0.5476.4.由以上的計算結(jié)果可以看出，E(X)E(Y)，即購進17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進16枝時的平均利潤故花店一天應(yīng)購進17枝玫瑰花 (1)求離散型隨機變量分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類求概率公式求概率(2)求隨機變量期望與方差的關(guān)鍵是正確求出隨機變量的分布列若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式法求解【突破訓(xùn)練3】 根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.設(shè)各車主購買保險相互獨立(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；(2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)求X的期望解記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險；B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險；C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種；D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買(1)P(A)0.5，P(B)0.3，CAB，P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8.(2)D，P(D)1P(C)10.80.2，XB(100,0.2)，即X服從二項分布，所以期望E(X)100×0.220.二項展開式的通項與二項分布的概率公式的“巧合”一般地，由n次試驗構(gòu)成，且每次試驗相互獨立完成，每次試驗的結(jié)果僅有兩種對立的狀態(tài)，即A與，每次試驗中P(A)p0.我們將這樣的試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗，也稱為伯努利試驗在n次獨立重復(fù)試驗中，每次試驗事件A發(fā)生的概率均為p(0p1)，即P(A)p，P()1pq.由于試驗的獨立性，n次試驗中，事件A在某指定的k次發(fā)生，而在其余nk次不發(fā)生的概率為pkqnk.而在n次試驗中，事件A恰好發(fā)生k(0kn)次的概率為Pn(k)Cpkqnk，k0,1,2，n.它恰好是(qp)n的二項展開式中的第k1項【示例】 (2012·四川)某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E()滿分解答(1)設(shè)“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1P()1·p，解得p.(4分)(2)由題意，P(0)C3，P(1)C2·，P(2)C·2，P(3)C3.(8分)所以，隨機變量的概率分布列為0123P故隨機變量的數(shù)學(xué)期望：E()0×1×2×3×.(12分)老師叮嚀：對于(1)，依據(jù)題意及相互對立的兩個事件的概率間的關(guān)系列出相關(guān)的方程，通過解方程得出結(jié)論；對于(2)，根據(jù)獨立重復(fù)試驗的相關(guān)概率公式列出相應(yīng)的分布列，進而利用期望的定義公式通過計算得出期望值.【試一試】 某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得100分假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響(1)求這名同學(xué)回答這三個問題的總得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望(2)求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分(即0)的概率解(1)的可能取值為300，100,100,300.P(300)0.230.008，P(100)3×0.22×0.80.096，P(100)3×0.2×0.820.384，P(300)0.830.512.所以的概率分布為300100100300P0.0080.0960.3840.512根據(jù)的概率分布，可得的期望E(300)×0.008(100)×0.096100×0.384300×0.512180.(2)這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P(0)0.3840.5120.896.