內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第1講集合與常用邏輯用語2

內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第1講 集合與常用邏輯用語2【主干知識整合】1集合(1)元素的特征：確定性、互異性、無序性，元素與集合之間的關(guān)系是屬于和不屬于；(2)集合與集合之間的關(guān)系：集合與集合之間是包含關(guān)系和非包含關(guān)系，其中關(guān)于包含有包含和真包含，用符號，表示其中一個集合本身是其子集的子集，空集是任何非空集合的真子集；(3)集合的運算：ABx|xA，且xB，ABx|xA，或xB，UAx|xU，且xA2四種命題及其關(guān)系(1)四種命題；(2)四種命題之間的關(guān)系：四種命題是指對“若p，則q”形式的命題而言的，把這個命題作為原命題，則其逆命題是“若q，則p”，否命題是“若綈p，則綈q”，逆否命題是“若綈q，則綈p”，其中原命題和逆否命題、逆命題和否命題是等價的，而且命題之間的關(guān)系是相互的3充要條件(1)充要條件：若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，則p，q互為充要條件；(2)充要條件與集合：設(shè)命題p對應(yīng)集合A，命題q對應(yīng)集合B，則pq等價于AB，pq等價于AB.4邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義；(2)帶有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假：命題pq，只要p，q有一為真，即為真命題，換言之，只有p，q均為假命題時才為假；命題pq，只有p，q均為真命題時才為真，換言之，只要p，q有一為假，即為假命題；p和p為一真一假兩個互為對立的命題；(3)“或”命題和“且”命題的否定：命題pq的否定是pq；命題pq的否定是pq.5量詞(1)全稱量詞與存在量詞；(2)全稱命題和特稱命題；(3)含有一個量詞的命題的否定：“xM，p(x)”的否定為“x0M，p(x0)”；“x0M，p(x0)”的否定為“xM，p(x)”【要點熱點探究】例1 2011·陜西卷 設(shè)集合My|y|cos2xsin2x|，xR，Nx，i為虛數(shù)單位，xR，則MN為()A(0,1) B(0,1 C0,1) D0,1【解析】 對于M，由二倍角公式得y|cos2xsin2x|cos2x|，故0y1.對于N，因為xxi，由<，得<，所以1<x<1，故MN0,1)，故答案為C.【點評】 本題需要注意兩個問題，一是兩個集合的含義，二是要注意集合N中的不等式是一個復(fù)數(shù)模的實數(shù)不等式，不要根據(jù)實數(shù)的絕對值求解高考考查集合一般是以集合的形式與表示等式的解、函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域等，在解題時要特別注意集合的含義【變式題】：若集合M0,1,2，N(x，y)|xy0，x2y24，x，yM，則N中元素的個數(shù)為()A9 B6 C4 D2【解析】 由題意知（0,0），（1,0），（1,1），（2,0）符合，選C.【探究點二四種命題和充要條件的判斷】例2 (1)已知a，b，cR，命題“若abc3，則a2b2c23”的否命題是()A若abc3，則a2b2c2<3 B若abc3，則a2b2c2<3C若abc3，則a2b2c23 D若a2b2c23，則abc3(2)對于函數(shù)yf(x)，xR，“y|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“yf(x)是奇函數(shù)”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【解析】 (1)命題的否命題是原命題的條件與結(jié)論分別否定后組成的命題，所以選擇A。 (2)由判定充要條件方法之一定義法知，由“yf(x)是奇函數(shù)”可以推出“y|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”，反過來，逆推不成立，所以選B.【點評】 一個命題的否命題、逆命題、逆否命題是根據(jù)原命題適當(dāng)變更條件和結(jié)論后得到的形式上的命題，解這類試題時要注意對于一些關(guān)鍵詞的否定，如本題中等于的否定是不等于，而不是單純的大于、也不是單純的小于；進(jìn)行充要條件判斷實際上就是判斷兩個命題的真假，這里要注意斷定一個命題為真需要進(jìn)行證明，斷定一個命題為假只要舉一個反例即可【探究點三邏輯聯(lián)結(jié)詞、量詞和命題的否定】例3 (1)2011·北京卷 若p是真命題，q是假命題，則()Apq是真命題 Bpq是假命題Cp是真命題 Dq是真命題(2)2011·安徽卷 命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是()A所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù) B所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)C存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)D存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)【解析】 (1)p是真命題，則綈p是假命題；q是假命題，則綈q是真命題，故應(yīng)選D. (2)本題是一個全稱命題，其否定是特稱命題，同時將命題的結(jié)論進(jìn)行否定，答案為D.【點評】 (1)“或”“且”聯(lián)結(jié)兩個命題，這兩個命題的真假確定了“或”命題和“且”命題的真假，其中“或”命題是一真即真，“且”命題是一假即假，“非”是對一個命題的否定，命題與其“非”命題一真一假；(2)否定一個命題就是否定這個命題的結(jié)論，即推翻這個命題，這與寫出一個命題的否命題是不同的一個命題的否命題，是否定條件和結(jié)論后的形式上的命題，如本題中我們把命題改寫為“已知n為任意整數(shù)，若n能被2整除，則n是偶數(shù)”，其否命題是“已知n為任意整數(shù)，若n不能被2整除，則n不是偶數(shù)”，顯然這個命題是真命題，但這個命題的否定是假命題【變式題】：有四個關(guān)于不等式的命題：p1：x0R， x01>0；p2：x0，y0R，4x02y06<0；p3：x，yR，；p4：x，yR，x3y3x2yxy2.其中真命題是()Ap1，p4 Bp2，p4 Cp1，p3 Dp2，p3【解析】 x2x12>0，命題p1正確；x2y24x2y6(x2)2(y1)21>0，命題p2不正確；，命題p3正確；x3y3x2yxy2(xy) (xy)2，當(dāng)xy<0時，不等式不成立，故命題p4不正確故正確選項為C.【創(chuàng)新鏈接1集合中的新定義問題】以集合為背景的新定義問題，歷來是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點，常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等，這類試題中集合只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問題的能力求解集合中的新定義問題，主要抓兩點：(1)緊扣新定義首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點的關(guān)鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì)集合的性質(zhì)(概念、元素的性質(zhì)、運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)例4 2011·廣東卷 設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果a，bS，有abS，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的，若T，V是Z的兩個不相交的非空子集，TVZ，且a，b，cT，有abcT；x，y，zV，有xyzV，則下列結(jié)論恒成立的是()AT，V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的BT，V中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的CT，V中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的DT，V中每一個關(guān)于乘法都是封閉的【分析】 根據(jù)新定義，就是要判斷“a，bT，有abT”，“x，yV，有xyV”這兩個全稱命題的真假【解析】 AT全部是偶數(shù)，V全部是奇數(shù)，那么T，V對乘法是封閉的，但如果T是全部偶數(shù)和1,3，那么此時T，V都符合題目要求，但是在V里面，任意取的數(shù)是1和3，那么相乘等于3，而V里面沒有3，所以V對乘法不封閉排除B、C、D選項，所以“至少一個”是對的【點評】 集合的創(chuàng)新問題，通常需要弄清題目給出的新定義、新概念、新法則與教材上的知識間的聯(lián)系，將新的定義、概念、法則轉(zhuǎn)化為“常規(guī)數(shù)學(xué)”問題，然后求解【變式題】：(1)2011·福建卷 在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為k，即k5nk|nZ，k0,1,2,3,4.給出如下四個結(jié)論：20111；33；Z01234；“整數(shù)a，b屬于同一類”的充要條件是“ab0”其中，正確結(jié)論的個數(shù)是()A1 B2 C3 D4(2)設(shè)S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”(即對任意的a，bS，對于有序元素對(a，b)，在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng))若對任意的a，bS，有a*(b*a)b，則對任意的a，bS，下列等式中不恒成立的是()A(a*b)*aa Ba*(b*a)*(a*b)aCb*(b*b)b D(a*b)*b*(a*b)b【解析】 (1)因為20115×4021，則20111，結(jié)論正確；因為35×(1)2，則32，結(jié)論不正確；因為所有的整數(shù)被5除的余數(shù)為0,1,2,3,4五類，則Z01234，結(jié)論正確；若整數(shù)a，b屬于同一“類”k，可設(shè)a5n1k，b5n2k(n1，n2Z)，則ab5(n1n2)0；反之，若ab0，可設(shè)a5n1k1，b5n2k2(n1，n2Z)，則ab5(n1n2)(k1k2)0；k1k2，則整數(shù)a，b屬于同一“類”，結(jié)論正確，故選C.(2)選項B中，a*(b*a)*(a*b)b*(a*b)a，成立；選項C中，b*(b*b)b，成立；選項D中，把(a*b)看做一個整體，記為c，則(a*b)*b*(a*b)c*(b*c)b，成立，故只有選項A中的結(jié)論不恒成立規(guī)律技巧提煉1解答集合有關(guān)問題，首先正確理解集合的意義，準(zhǔn)確地化簡集合是關(guān)鍵其次關(guān)注元素的互異性，空集是任何集合的子集等問題，關(guān)于不等式的解集、抽象集合問題，要借助數(shù)軸和韋恩圖加以解決2一個命題的真假與它的否命題的真假沒有必然的聯(lián)系，但一個命題與這個命題的否定是互相對立、一真一假的3判斷充要條件的方法，一是結(jié)合充要條件的定義；二是根據(jù)充要條件與集合之間的對應(yīng)關(guān)系，把命題對應(yīng)的元素用集合表示出來，根據(jù)集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，在以否定形式給出的充要條件判斷中可以使用命題的等價轉(zhuǎn)化方法4含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假是由其中的基本命題決定的，這類試題首先把其中的基本命題的真假判斷準(zhǔn)確，再根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義進(jìn)行判斷5特稱命題的否定是全稱命題、全稱命題的否定是特稱命題【教師備用例題】選理由：例1是對本講例2的一個補充，即判斷充要條件定義外還可以根據(jù)等價轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行；例2是對“且”命題的否定，由于其位置不突出我們在正文中沒有給出；例3為一個新定義試題，雖然是2010年的高考試題，但這個題和正文例題4及其變式可以形成對集合中新定義試題的一個題組訓(xùn)練，達(dá)到一個較好的效果例1“”是“sinsin”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【解析】 B方法1：由于2時，但此時sinsin，故條件是不充分的；由于sinsin時，如果，則sinsin，故由sinsin，故條件是必要的方法2：命題“若，則sinsin”等價于命題“若sinsin，則”，這個命題顯然不正確，故條件是不充分的；由于命題“若sinsin，則”等價于命題“若，則sinsin”，這個命題是真命題，故條件是必要的例2已知命題p：若x>0，y>0，則xy>0，則p的否命題是()A若x>0，y>0，則xy0 B若x0，y0，則xy0C若x，y至少有一個不大于0，則xy<0D若x，y至少有一個小于或等于0，則xy0【解析】 D否命題應(yīng)在否定條件的同時否定結(jié)論，而原命題中的條件是“且”的關(guān)系，所以條件的否定形式是“x0或y0”例3設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集若對任意x，yS，都有xy，xy，xyS，則稱S為封閉集下列命題：集合Sabi|a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位為封閉集；若S為封閉集，則一定有0S；封閉集一定是無限集；若S為封閉集，則滿足STC的任意集合T也是封閉集其中真命題是_(寫出所有真命題的序號)【答案】 【解析】 設(shè)xa1b1i，ya2b2i，a1，b1，a2，b2為整數(shù)，則xy(a1a2)(b1b2)i，xy(a1a2)(b1b2)i，xy(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i，由于a1，b1，a2，b2為整數(shù)，故a1±a2，b1±b2，a1a2b1b2，a1b2a2b1都是整數(shù)，所以xy，xy，xyS，故集合Sabi|a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位為封閉集，是真命題；若S是封閉集，取xyS，則根據(jù)封閉集的定義，xyxx0S，故命題正確；集合S0顯然是封閉集，故封閉集不一定是無限集，命題不正確；集合S00,1TC，容易驗證集合T不是封閉集，故命題不是真命題