（安徽專用）2013年高考數(shù)學總復習 第七章第8課時 立體幾何中的向量方法 課時闖關（含解析）

第七章第8課時 立體幾何中的向量方法 課時闖關（含解析）一、選擇題1(2012·天水調(diào)研)已知二面角-l-的大小是，m，n是異面直線，且m，n，則m，n所成的角為()A.B.C. D.解析：選B.m，n，異面直線m，n所成的角的補角與二面角l互補又異面直線所成角的范圍為，m，n所成的角為.2如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P為C1D1的中點，M為BC的中點則AM與PM的位置關系為()A平行 B異面C垂直 D以上都不對解析：選C.以D點為原點，分別以DA，DC，DD1為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，依題意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)(，2,0)(0,1，)(，1，)，(，2,0)(2，0,0)(，2,0)，·(，1，)·(，2,0)0，即，AMPM.3直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，BAC30°，BC1，AA1，M是CC1的中點，則異面直線AB1與A1M所成的角為()A60° B45°C30° D90°解析：選D.建立坐標系如圖所示，易得M(0,0，)，A1(0，0)，A(0，)，B1(1,0,0)，(1，)，(0，)·1×030，.即AB1A1M.4已知正方體ABCDA1B1C1D1，則直線BC1與平面A1BD所成的角的余弦值是()A. B.C. D.解析：選C.建立空間直角坐標系如圖所示設正方體的棱長為1，設直線BC1與平面A1BD所成的角為，則D(0,0,0)，A(1,0,1)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，設n(x，y，z)是平面A1BD的一個法向量，則，令z1，則x1，y1.n(1,1,1)，sin|cosn，|，cos.5在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A. B.C. D.解析：選B.建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E，(1,0,1)，設n(x，y，z)為平面A1DE的法向量，則，令z1，則x1，y，n，取平面ABCD的法向量m(0,0,1)則cosm，n，故所求銳二面角的余弦值為.二、填空題6已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，則實數(shù)x，y，z分別為_解析：由題知，.所以即解得，x，y，z4.答案：，47(2012·貴陽調(diào)研)長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_解析：建立坐標系如圖，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.答案：8設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距離是_解析：如圖建立空間直角坐標系，則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，設平面A1BD的一個法向量n(x，y，z)，則.令x1，則n(1，1，1)，點D1到平面A1BD的距離d.答案：三、解答題9(2011·高考遼寧卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)證明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值解：如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系Dxyz.(1)證明：依題意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，則(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)所以·0，·0，即PQDQ，PQDC.又DQDCD，所以PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)依題意有B(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)設n(x，y，z)是平面PBC的法向量，則即因此可取n(0，1，2)同理，設m是平面PBQ的法向量，則可取m(1,1,1)所以cosm，n.故二面角QBPC的余弦值為.10(2011·高考福建卷節(jié)選)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，四邊形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，CDA45°.(1)求證：平面PAB平面PAD.(2)設ABAP，若直線PB與平面PCD所成的角為30°，求線段AB的長解：(1)證明：因為PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB.又ABAD，PAADA，所以AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD. (2)以A為坐標原點，建立空間直角坐標系Axyz(如圖)在平面ABCD內(nèi)，作CEAB交AD于點E，則CEAD.在RtCDE中，DECD·cos45°1，CECD·sin 45°1.設ABAPt，則B(t,0,0)，P(0,0，t)由ABAD4得AD4t，所以E(0,3t,0)，C(1,3t,0)，D(0,4t,0)，(1,1,0)，(0,4t，t)設平面PCD的法向量為n(x，y，z)，由n，n，得取xt，得平面PCD的一個法向量n(t，t,4t)又(t,0，t)，故由直線PB與平面PCD所成的角為30°得，cos 60°，即，解得t或t4(舍去，因為AD4t>0)，所以AB.11如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M為EC的中點，AFABBCFEAD.(1)求異面直線BF與DE所成的角的大?。?2)證明平面AMD平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值解：如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，設AB1，依題意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2，0)，E(0,1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，M.(1)(1,0,1)，(0，1,1)，于是cos，.所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°.(2)證明：由，(1,0,1)，(0,2,0)，可得·0，·0.因此，CEAM，CEAD.又AMADA，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(3)設平面CDE的法向量為u(x，y，z)，則于是令x1，可得u(1,1,1)又由題設，平面ACD的一個法向量為(0,0,1)所以cosu，.因為二面角ACDE為銳角，所以其余弦值為.