（全國120套）2013年中考數學試卷分類匯編 等邊三角形

等邊三角形1、（2013涼山州）如圖，菱形ABCD中，B=60°，AB=4，則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為（）A14B15C16D17考點：菱形的性質；等邊三角形的判定與性質；正方形的性質分析：根據菱形得出AB=BC，得出等邊三角形ABC，求出AC，長，根據正方形的性質得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可解答：解：四邊形ABCD是菱形，AB=BC，B=60°，ABC是等邊三角形，AC=AB=4，正方形ACEF的周長是AC+CE+EF+AF=4×4=16，故選C點評：本題考查了菱形性質，正方形性質，等邊三角形的性質和判定的應用，關鍵是求出AC的長2、（2013自貢）如圖，將一張邊長為3的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個底面是正三角形的棱柱，這個棱柱的側面積為（）AB9CD考點：剪紙問題；展開圖折疊成幾何體；等邊三角形的性質3718684專題：操作型分析：這個棱柱的側面展開正好是一個長方形，長為3，寬為3減去兩個三角形的高，再用長方形的面積公式計算即可解答解答：解：將一張邊長為3的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個底面是正三角形的棱柱，這個正三角形的底面邊長為1，高為=，側面積為長為3，寬為3的長方形，面積為93故選A點評：此題主要考查了剪紙問題的實際應用，動手操作拼出圖形，并能正確進行計算是解答本題的關鍵3、（2013雅安）如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結論：BE=DF，DAF=15°，AC垂直平分EF，BE+DF=EF，SCEF=2SABE其中正確結論有（）個A2B3C4D5考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質分析：通過條件可以得出ABEADF而得出BAE=DAF，BE=DF，由正方形的性質就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出SCEF和2SABE再通過比較大小就可以得出結論解答：解：四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD，B=BCD=D=BAD=90°AEF等邊三角形，AE=EF=AF，EAF=60°BAE+DAF=30°在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BE=DF，正確BAE=DAF，DAF+DAF=30°，即DAF=15°正確，BC=CD，BCBE=CDDF，及CE=CF，AE=AF，AC垂直平分EF正確設EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=x，AC=，AB=，BE=x=，BE+DF=xxx，錯誤，SCEF=，SABE=，2SABE=SCEF，正確綜上所述，正確的有4個，故選C點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題時運用勾股定理的性質解題時關鍵4、（2013十堰）如圖，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=3，AD=5，C=60°，則下底BC的長為（）A8B9C10D11考點：等腰梯形的性質；等邊三角形的判定與性質3718684分析：首先構造直角三角形，進而根據等腰梯形的性質得出B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可解答：解：過點A作AFBC于點F，過點D作DEBC于點E，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=3，AD=5，C=60°，B=60°，BF=EC，AD=EF=5，cos60°=，解得：BF=1.5，故EC=1.5，BC=1.5+1.5+5=8故選：A點評：此題主要考查了等腰梯形的性質以及解直角三角形等知識，根據已知得出BF=EC的長是解題關鍵5、（2013牡丹江）如圖，在ABC中A=60°，BMAC于點M，CNAB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，則下列結論：PM=PN；PMN為等邊三角形；當ABC=45°時，BN=PC其中正確的個數是（）A1個B2個C3個D4個考點：相似三角形的判定與性質；等邊三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線3718684分析：根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷正確；先證明ABMACN，再根據相似三角形的對應邊成比例可判斷正確；先根據直角三角形兩銳角互余的性質求出ABM=ACN=30°，再根據三角形的內角和定理求出BCN+CBM=60°，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出BPN+CPM=120°，從而得到MPN=60°，又由得PM=PN，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷正確；當ABC=45°時，BCN=45°，由P為BC邊的中點，得出BN=PB=PC，判斷正確解答：解：BMAC于點M，CNAB于點N，P為BC邊的中點，PM=BC，PN=BC，PM=PN，正確；在ABM與ACN中，A=A，AMB=ANC=90°，ABMACN，正確；A=60°，BMAC于點M，CNAB于點N，ABM=ACN=30°，在ABC中，BCN+CBM180°60°30°×2=60°，點P是BC的中點，BMAC，CNAB，PM=PN=PB=PC，BPN=2BCN，CPM=2CBM，BPN+CPM=2（BCN+CBM）=2×60°=120°，MPN=60°，PMN是等邊三角形，正確；當ABC=45°時，CNAB于點N，BNC=90°，BCN=45°，BN=CN，P為BC邊的中點，PNBC，BPN為等腰直角三角形BN=PB=PC，正確故選D點評：本題主要考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，仔細分析圖形并熟練掌握性質是解題的關鍵6、(2013遵義）如圖，將邊長為1cm的等邊三角形ABC沿直線l向右翻動（不滑動），點B從開始到結束，所經過路徑的長度為（）AcmB（2+）cmCcmD3cm考點：弧長的計算；等邊三角形的性質；旋轉的性質3718684分析：通過觀察圖形，可得從開始到結束經過兩次翻動，求出點B兩次劃過的弧長，即可得出所經過路徑的長度解答：解：ABC是等邊三角形，ACB=60°，AC（A）=120°，點B兩次翻動劃過的弧長相等，則點B經過的路徑長=2×=故選C點評：本題考查了弧長的計算，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，得到點B運動的路徑，注意熟練掌握弧長的計算公式7、（2013臺灣、23）附圖為正三角形ABC與正方形DEFG的重迭情形，其中D、E兩點分別在AB、BC上，且BD=BE若AC=18，GF=6，則F點到AC的距離為何？（）A2B3C124D66考點：正方形的性質；等邊三角形的性質分析：過點B作BHAC于H，交GF于K，根據等邊三角形的性質求出A=ABC=60°，然后判定BDE是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質求出BDE=60°，然后根據同位角相等，兩直線平行求出ACDE，再根據正方形的對邊平行得到DEGF，從而求出ACDEGF，再根據等邊三角形的邊的與高的關系表示出KH，然后根據平行線間的距離相等即可得解解答：解：如圖，過點B作BHAC于H，交GF于K，ABC是等邊三角形，A=ABC=60°，BD=BE，BDE是等邊三角形，BDE=60°，A=BDE，ACDE，四邊形DEFG是正方形，GF=6，DEGF，ACDEGF，KH=18×6×6=936=66，F點到AC的距離為66故選D點評：本題考查了正方形的對邊平行，四條邊都相等的性質，等邊三角形的判定與性質，等邊三角形的高線等于邊長的倍，以及平行線間的距離相等的性質，綜合題，但難度不大，熟記各圖形的性質是解題的關鍵8、（2013菏澤）我們規(guī)定：將一個平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，“面線”被這個平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑”）已知等邊三角形的邊長為2，則它的“面徑”長可以是，（或介于和之間的任意兩個實數）（寫出1個即可）考點：等邊三角形的性質專題：新定義；開放型分析：根據等邊三角形的性質，（1）最長的面徑是等邊三角形的高線；（2）最短的面徑平行于三角形一邊，最長的面徑為等邊三角形的高，然后根據相似三角形面積的比等于相似比的平方求出最短面徑解答：解：如圖，（1）等邊三角形的高AD是最長的面徑，AD=×2=；（2）當EFBC時，EF為最短面徑，此時，（）2=，即=，解得EF=所以，它的面徑長可以是，（或介于和之間的任意兩個實數）故答案為：，（或介于和之間的任意兩個實數）點評：本題考查了等邊三角形的性質，讀懂題意，弄明白面徑的定義，并準確判斷出等邊三角形的最短與最長的面徑是解題的關鍵9、（2013鐵嶺）如圖，在ABC中，AB=2，BC=3.6，B=60°，將ABC繞點A按順時針旋轉一定角度得到ADE，當點B的對應點D恰好落在BC邊上時，則CD的長為1.6考點：旋轉的性質3718684分析：由將ABC繞點A按順時針旋轉一定角度得到ADE，當點B的對應點D恰好落在BC邊上，可得AD=AB，又由B=60°，可證得ABD是等邊三角形，繼而可得BD=AB=2，則可求得答案解答：解：由旋轉的性質可得：AD=AB，B=60°，ABD是等邊三角形，BD=AB，AB=2，BC=3.6，CD=BCBD=3.62=1.6故答案為：1.6點評：此題考查了旋轉的性質以及等邊三角形的判定與性質此題比較簡單，注意掌握旋轉前后圖形的對應關系，注意數形結合思想的應用10、（2013宜昌）如圖，點E，F分別是銳角A兩邊上的點，AE=AF，分別以點E，F為圓心，以AE的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接DE，DF（1）請你判斷所畫四邊形的性狀，并說明理由；（2）連接EF，若AE=8厘米，A=60°，求線段EF的長考點：菱形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質分析：（1）由AE=AF=ED=DF，根據四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得：四邊形AEDF是菱形；（2）首先連接EF，由AE=AF，A=60°，可證得EAF是等邊三角形，則可求得線段EF的長解答：解：（1）菱形理由：根據題意得：AE=AF=ED=DF，四邊形AEDF是菱形；（2）連接EF，AE=AF，A=60°，EAF是等邊三角形，EF=AE=8厘米點評：此題考查了菱形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質此題比較簡單，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用11、（2013天津）如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD=3，ADE=60°，則AE的長為7考點：相似三角形的判定與性質；等邊三角形的性質3718684分析：先根據邊長為9，BD=3，求出CD的長度，然后根據ADE=60°和等邊三角形的性質，證明ABDDCE，進而根據相似三角形的對應邊成比例，求得CE的長度，即可求出AE的長度解答：解：ABC是等邊三角形，B=C=60°，AB=BC；CD=BCBD=93=6；BAD+ADB=120°ADE=60°，ADB+EDC=120°，DAB=EDC，又B=C=60°，ABDDCE，則=，即=，解得：CE=2，故AE=ACCE=92=7故答案為：7點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質以及等邊三角形的性質，根據等邊三角形的性質證得ABDDCE是解答此題的關鍵12、（2013聊城）如圖，在等邊ABC中，AB=6，D是BC的中點，將ABD繞點A旋轉后得到ACE，那么線段DE的長度為 考點：旋轉的性質；等邊三角形的判定與性質分析：首先，利用等邊三角形的性質求得AD=3；然后根據旋轉的性質、等邊三角形的性質推知ADE為等邊三角形，則DE=AD解答：解：如圖，在等邊ABC中，B=60°，AB=6，D是BC的中點，ADBD，BAD=CAD=30°，AD=ABcos30°=6×=3根據旋轉的性質知，EAC=DAB=30°，AD=AE，DAE=EAC+BAD=60°，ADE的等邊三角形，DE=AD=3，即線段DE的長度為3故答案是：3點評：本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的性質旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等13、（2013 德州）如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，下列結論：CE=CF；AEB=75°；BE+DF=EF；S正方形ABCD=2+其中正確的序號是（把你認為正確的都填上）考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質分析：根據三角形的全等的知識可以判斷的正誤；根據角角之間的數量關系，以及三角形內角和為180°判斷的正誤；根據線段垂直平分線的知識可以判斷的正確，利用解三角形求正方形的面積等知識可以判斷的正誤解答：解：四邊形ABCD是正方形，AB=AD，AEF是等邊三角形，AE=AF，在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BE=DF，BC=DC，BCBE=CDDF，CE=CF，說法正確；CE=CF，ECF是等腰直角三角形，CEF=45°，AEF=60°，AEB=75°，說法正確；如圖，連接AC，交EF于G點，ACEF，且AC平分EF，CADDAF，DFFG，BE+DFEF，說法錯誤；EF=2，CE=CF=，設正方形的邊長為a，在RtADF中，a2+（a）2=4，解得a=，則a2=2+，S正方形ABCD=2+，說法正確，故答案為點評：本題主要考查正方形的性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點麻煩14、（2013黃岡）已知ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至E，使CE=CD=1，連接DE，則DE=考點：等邊三角形的性質；等腰三角形的判定與性質3481324分析：根據等腰三角形和三角形外角性質求出BD=DE，求出BC，在RtBDC中，由勾股定理求出BD即可解答：解：ABC為等邊三角形，ABC=ACB=60°，AB=BC，BD為中線，DBC=ABC=30°，CD=CE，E=CDE，E+CDE=ACB，E=30°=DBC，BD=DE，BD是AC中線，CD=1，AD=DC=1，ABC是等邊三角形，BC=AC=1+1=2，BDAC，在RtBDC中，由勾股定理得：BD=，即DE=BD=，故答案為：點評：本題考查了等邊三角形性質，勾股定理，等腰三角形性質，三角形的外角性質等知識點的應用，關鍵是求出DE=BD和求出BD的長15、（2013黔西南州）如圖，已知ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則E=15度考點：等邊三角形的性質；三角形的外角性質；等腰三角形的性質分析：根據等邊三角形三個角相等，可知ACB=60°，根據等腰三角形底角相等即可得出E的度數解答：解：ABC是等邊三角形，ACB=60°，ACD=120°，CG=CD，CDG=30°，FDE=150°，DF=DE，E=15°故答案為：15點評：本題考查了等邊三角形的性質，互補兩角和為180°以及等腰三角形的性質，難度適中16、(2013年廣東湛江)如圖，所有正三角形的一邊平行于軸，一頂點在軸上從內到外，它們的邊長依次為，頂點依次用表示，其中與軸、底邊與、與、均相距一個單位，則頂點的坐標是 ，的坐標是 解析：考查正三角形的相關知識及找規(guī)律的能力。由圖知，的縱坐標為：，而的橫坐標為：，由題意知，的縱坐標為，容易發(fā)現、這些點在第四象限，橫縱坐標互為相反數， 、的下標2、5、7、92、有規(guī)律：，是第31個正三角形（從里往外）的右端點，17、（2013福省福州19）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（2，0），等邊三角形AOC經過平移或軸對稱或旋轉都可以得到OBD（1）AOC沿x軸向右平移得到OBD，則平移的距離是 個單位長度；AOC與BOD關于直線對稱，則對稱軸是 ；AOC繞原點O順時針旋轉得到DOB，則旋轉角度可以是 度；（2）連結AD，交OC于點E，求AEO的度數考點：旋轉的性質；等邊三角形的性質；軸對稱的性質；平移的性質專題：計算題分析：（1）由點A的坐標為（2，0），根據平移的性質得到AOC沿x軸向右平移2個單位得到OBD，則AOC與BOD關于y軸對稱；根據等邊三角形的性質得AOC=BOD=60°，則AOD=120°，根據旋轉的定義得AOC繞原點O順時針旋轉120°得到DOB；（2）根據旋轉的性質得到OA=OD，而AOC=BOD=60°，得到DOC=60°，所以OE為等腰AOD的頂角的平分線，根據等腰三角形的性質得到OE垂直平分AD，則AEO=90°解答：解：（1）點A的坐標為（2，0），AOC沿x軸向右平移2個單位得到OBD；AOC與BOD關于y軸對稱；AOC為等邊三角形，AOC=BOD=60°，AOD=120°，AOC繞原點O順時針旋轉120°得到DOB（2）如圖，等邊AOC繞原點O順時針旋轉120°得到DOB，OA=OD，AOC=BOD=60°，DOC=60°，即OE為等腰AOD的頂角的平分線，OE垂直平分AD，AEO=90°故答案為2；y軸；120點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角也考查了等邊三角形的性質、軸對稱的性質以及平移的性質18、（2013湖州）如圖，已知P是O外一點，PO交圓O于點C，OC=CP=2，弦ABOC，劣弧AB的度數為120°，連接PB（1）求BC的長；（2）求證：PB是O的切線考點：切線的判定；等邊三角形的判定與性質；垂徑定理分析：（1）首先連接OB，由弦ABOC，劣弧AB的度數為120°，易證得OBC是等邊三角形，則可求得BC的長；（2）由OC=CP=2，OBC是等邊三角形，可求得BC=CP，即可得P=CBP，又由等邊三角形的性質，OBC=60°，CBP=30°，則可證得OBBP，繼而證得PB是O的切線解答：（1）解：連接OB，弦ABOC，劣弧AB的度數為120°，弧BC與弧AC的度數為：60°，BOC=60°，OB=OC，OBC是等邊三角形，BC=OC=2；（2）證明：OC=CP，BC=OC，BC=CP，CBP=CPB，OBC是等邊三角形，OBC=OCB=60°，CBP=30°，OBP=CBP+OBC=90°，OBBP，點B在O上，PB是O的切線點評：此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用19、（2013萊蕪）如圖，在RtABC中，C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連結DE（1）證明DECB；（2）探索AC與AB滿足怎樣的數量關系時，四邊形DCBE是平行四邊形考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質分析：（1）首先連接CE，根據直角三角形的性質可得CE=AB=AE，再根據等邊三角形的性質可得AD=CD，然后證明ADECDE，進而得到ADE=CDE=30°，再有DCB=150°可證明DECB；（2）當AC=或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形若四邊形DCBE是平行四邊形，則DCBE，DCB+B=180°進而得到B=30°，再根據三角函數可推出AC=或AB=2AC解答：（1）證明：連結CE點E為RtACB的斜邊AB的中點，CE=AB=AEACD是等邊三角形，AD=CD在ADE與CDE中，ADECDE（SSS），ADE=CDE=30°DCB=150°，EDC+DCB=180°DECB（2）解：DCB=150°，若四邊形DCBE是平行四邊形，則DCBE，DCB+B=180°B=30°在RtACB中，sinB=，sin30°=，AC=或AB=2AC當AC=或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形點評：此題主要考查了平行線的判定、全等三角形的判定與性質，以及平行四邊形的判定，關鍵是掌握直角三角形的性質，以及等邊三角形的性質20、（2013衢州）【提出問題】（1）如圖1，在等邊ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊AMN，連結CN求證：ABC=ACN【類比探究】（2）如圖2，在等邊ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論ABC=ACN還成立嗎？請說明理由【拓展延伸】（3）如圖3，在等腰ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等腰AMN，使頂角AMN=ABC連結CN試探究ABC與ACN的數量關系，并說明理由考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質分析：（1）利用SAS可證明BAMCAN，繼而得出結論；（2）也可以通過證明BAMCAN，得出結論，和（1）的思路完全一樣（3）首先得出BAC=MAN，從而判定ABCAMN，得到=，根據BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，得到BAM=CAN，從而判定BAMCAN，得出結論解答：（1）證明：ABC、AMN是等邊三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60°，BAM=CAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABC=ACN（2）解：結論ABC=ACN仍成立理由如下：ABC、AMN是等邊三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60°，BAM=CAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABC=ACN（3）解：ABC=ACN理由如下：BA=BC，MA=MN，頂角ABC=AMN，底角BAC=MAN，ABCAMN，=，又BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，BAM=CAN，BAMCAN，ABC=ACN點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質證明結論