內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三講 數(shù)列與不等式 理

內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三講 數(shù)列與不等式(理科) 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，是高考命題的熱點(diǎn).縱觀近幾年的高考試題,對(duì)等差和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前項(xiàng)和公式,對(duì)增長率、分期付款等數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題多以客觀題和中低檔解答題為主，對(duì)數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等相結(jié)合的綜合題的考查多屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度值一般控制在之間.考試要求（1）數(shù)列的概念和簡單表示法了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式）.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念. 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式. 能在具體的問題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題. 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.題型一 等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)例1（1）已知等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且、2成等差數(shù)列，求 ; （2）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，, 求 .【點(diǎn)撥】（1）依據(jù)等差中項(xiàng)的概念先求等比數(shù)列的公比，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求值. （2）此題的算法較多，如何尋找合理、簡捷的運(yùn)算途徑是解決問題的關(guān)鍵，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)， 由第一個(gè)條件得出，再由第二個(gè)條件列出方程求.【解】（1）依題意可得：，即，則有可得，解得或（舍） 所以; （2）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，由，得：20，2，又，即38，即（2m1）×238，解得m10，【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列只有一字之差，部分同學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)審題不仔細(xì)的現(xiàn)象；（2）等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的性質(zhì)混淆，概念模糊不清；（3）對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)及公式的變式不熟悉，往往要先計(jì)算等量，一旦計(jì)算量大一點(diǎn)，解題受阻.變式與引申1：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差 .（1）求的值;（2）當(dāng)為最小時(shí)，求的值.題型二：數(shù)列的通項(xiàng)與求和例2（2009年湖北文科卷第19題）已知是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足 .(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）若數(shù)列和數(shù)列滿足等式：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)撥】（1）等差數(shù)列中，已知兩條件可以算出兩個(gè)基本量,再進(jìn)一步求通項(xiàng)及前項(xiàng)和，當(dāng)然若能利用等差數(shù)列的性質(zhì)來計(jì)算，問題就簡單多了.（2）分組求和、倒序相加、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等是常用的求和方法，這里利用（1）的結(jié)論以及的關(guān)系求的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式求前 項(xiàng)和 .【解】（1）解法1：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則依題設(shè)d>0 ，由.得 由得 由得將其代入得.即， ，代入得解法2：等差數(shù)列中， ，公差， （2）設(shè)，則有 兩式相減得，由（1）得，即當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，于是=【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）由的關(guān)系及（1）的結(jié)論找不到的通項(xiàng)公式，使解題受阻；（2）在求的通項(xiàng)公式時(shí)，由得,把這個(gè)條件遺漏；（3）忽略當(dāng)時(shí)，直接寫；（4）計(jì)算數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)隨意添加項(xiàng).變式與引申2：1.已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，并且=1，對(duì)任意正整數(shù)n，；設(shè)）. （1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)的前n項(xiàng)和，求.2. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. （1）求r的值； （2）當(dāng)b=2時(shí)，記 求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型三：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例3. 為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右圖所示；由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項(xiàng)，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項(xiàng).(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求視力不小于5.0的學(xué)生人數(shù)；(3)設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【點(diǎn)撥】（1）頻率分布直方圖是解決問題的關(guān)??；（2）已知前兩項(xiàng)的頻數(shù)，前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項(xiàng)，可求，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項(xiàng)，的前六項(xiàng)和可求，得，（3）求得、后，根據(jù)題設(shè)條件，按遞推公式求通項(xiàng)公式方法求出.【解】(1)由題意知因此數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng).公比為3的等比數(shù)列，所以 ，又=100(1+3+9)， 所以=87,解得因此數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng),公差為5的等差數(shù)列, 所以 (2) 求視力不小于5.0的學(xué)生人數(shù)為 (3) 由 可知，當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)， , , 又因此數(shù)列是一個(gè)從第2項(xiàng)開始的公比為3的等比數(shù)列,數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）不理解的意義，解題找不到切入點(diǎn)；（2）計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)忽略“全校100名學(xué)生”這個(gè)重要的已知條件，導(dǎo)致前兩問的結(jié)果都不正確；（3）求出、后，由題設(shè)條件不能正確地找出求的方法；（4）計(jì)算由式變?yōu)槭綍r(shí)，缺少這個(gè)條件.變式與引申3： 某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木，但由于自然環(huán)境和人為因素的影響，每年都有相同畝數(shù)的土地沙化，具體情況為下表所示：2008年2009年2010年新植畝數(shù)100014001800沙地畝數(shù)252002400022400而一旦植完，則不會(huì)被沙化問：（1）每年沙化的畝數(shù)為多少；圖3-1-2 （2）到那一年可綠化完全部荒沙地.題型四：數(shù)列綜合題例4根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）寫出，由此猜想出數(shù)列；的一個(gè)通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論;（3）求【點(diǎn)撥】（1）程序框圖與數(shù)列的聯(lián)系是新課標(biāo)背景下的新鮮事物，因?yàn)槌绦蚩驁D中循環(huán)，與數(shù)列的各項(xiàng)一一對(duì)應(yīng)，所以，這方面的內(nèi)容是命題的新方向，應(yīng)引起重視；（2）由循環(huán)體寫出數(shù)列的遞推公式，再由遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決問題 的關(guān)??；（3）掌握錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和及數(shù)列求和的一般方法. 【解】（1）由框圖，知數(shù)列中 （2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想證明：由框圖，知數(shù)列yn中， ， 數(shù)列yn+1是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列， （3）=1×3+3×32+（2n1）·3n1+3+（2n1）記Sn=1×3+3×32+（2n1）·3n， 則3Sn=1×32+3×33+（2n1）×3n+1 ，得2Sn=3+2·32+2·33+2·3n（2n1）·3n+1=2（3+32+3n）3（2n1）·3n+1 = 又1+3+（2n1）=n2 .【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）根據(jù)框圖不能正確寫出數(shù)列的遞推公式，解題受阻，（2）對(duì)數(shù)列求和的方法及每種方法所適合的題型認(rèn)識(shí)不清，盲目求和；（3）對(duì)指數(shù)運(yùn)算不夠熟悉，導(dǎo)致利用錯(cuò)位相減法計(jì)算出的結(jié)果不正確.變式與引申4：已知曲線y=，過曲線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)）作切線.（1）求證：直線與曲線y=交于另一點(diǎn)；（2）在（1）的結(jié)論中，求出的遞推關(guān)系.若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）在（2）的條件下，記，問是否存在自然數(shù)m，M，使得不等式對(duì)一切n恒成立，若存在，求出Mm的最小值；否則請(qǐng)說明理由.【小結(jié)】本節(jié)主要考查：（1）數(shù)列的有關(guān)概念，遞推公式；等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、判定方法、性質(zhì)、通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，數(shù)列求和及數(shù)列的應(yīng)用（2）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，所以數(shù)列常與導(dǎo)數(shù)、不等式、三角、解析幾何、概率及算法等知識(shí)點(diǎn)交融命題，解決數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和、證明不等關(guān)系等問題（3）簡單的遞推公式求通項(xiàng)公式的方法，分組求和、倒序相加、裂項(xiàng)求和、錯(cuò)位相減等數(shù)列求和方法（4）著重考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想.點(diǎn)評(píng)：（1）“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算問題中非常重要，樹立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意解題的目標(biāo)；（2）數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見的題型，要切實(shí)注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化.如：， =等；（3）等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)是必考內(nèi)容，這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題，在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，充分理解公式的變式及適用范圍，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問題；（4）求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和方法，如公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等；（5）在解決綜合題和探索性問題實(shí)踐中加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，溝通各類知識(shí)的聯(lián)系，形成更完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)， 進(jìn)一步培養(yǎng)閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力；（6）解答數(shù)列綜合問題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來分析、解決問題數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法求解習(xí)題311（2009年遼寧省文科卷）已知為等差數(shù)列，且21, 0,則公差d （ ）A2 B C D22等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若=，則=_3數(shù)列中，（是不為零的常數(shù)，），且成等比數(shù)列（1）求的值；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)之和 4在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.求點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)拋物線列中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：.5已知數(shù)列滿足且 （1）求的表達(dá)式； （2）求； （3）若，試比較的大小，并說明理由.第二節(jié) 解不等式 不等式是高中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)內(nèi)容，對(duì)不等式的性質(zhì)、一元二次不等式、簡單的線性規(guī)劃、均值不等式的考查多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，這類試題雖然難度不大，但往往有一定的靈活性.若是解答題,也是中等難度的題目；高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、三角、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)為載體，綜合考查不等式的解法和證明.不等式因它的基礎(chǔ)性（是研究函數(shù)、方程、極限等必不可少的工具）、滲透性（容易與其它各部分知識(shí)結(jié)合在一起）、應(yīng)用性（實(shí)際應(yīng)用廣泛），很自然地成為每年高考的熱點(diǎn).近幾年，高考關(guān)于不等式的命題趨勢是：（1）單純不等式的題目多以選擇填空題的形式出現(xiàn)，若是解答題也是中等難度的題目；（2）高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數(shù)、方程、三角、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)為載體，綜合考查不等式的解法和證明，突出不等式的工具性.在高考試卷中，有關(guān)解不等式的試題一般有一到兩道考試要求（1）不等關(guān)系：了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景（2）一元二次不等式 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型 通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系 會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖（3）二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決題型一： 不等式的解法例1（1）(2008年江西卷文科第13題)不等式的解集為 （2）、 (2008全國卷理科第9題)設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）A B C D點(diǎn)撥；解不等式的基本思想方法是轉(zhuǎn)化：一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式，分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，指數(shù)與對(duì)數(shù)不等式（通過化“同底”）轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，抽象函數(shù)不等式（通過單調(diào)性）轉(zhuǎn)化為具體不等式等.本題是指數(shù)不等式，可通過化“同底”求解解：（1）原不等式變?yōu)?，由指?shù)函數(shù)的增減性，得：，即，由此可得原不等式解集為 （2）由奇函數(shù)可知，而，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，又在上為增函數(shù)，則奇函數(shù)在上為增函數(shù)，或,選D.易錯(cuò)點(diǎn)：（1）分不清指數(shù)函數(shù)增減性，誤把不等式轉(zhuǎn)化為得出錯(cuò)誤的結(jié)論。 （2）不考慮奇函數(shù)在上的單調(diào)性，不知道等價(jià)轉(zhuǎn)化，變式與引申1：（1）(2009年山東卷第5題) 在R上定義運(yùn)算: ,則滿足<0的實(shí)數(shù)的取值范圍為( ).A.(0,2) B.(-2,1) C. D.(-1,2)（2） （2009年天津卷第8題） 設(shè)函數(shù)則不等式的解集是（ ）A B C D 題型二：含參數(shù)不等式的解法例2 解關(guān)于的不等式點(diǎn)撥：解分式不等式應(yīng)通過分解因式化成形如的不等式（稱為“規(guī)范式”，其中稱為“根”），然后再利用序軸穿根法寫出解集.本題盡管含有字開始結(jié)束化為化為規(guī)范式化為規(guī)范式與的大小是否確定？討論與的大小關(guān)系與的大小是否確定？討論與的大小關(guān)系寫出解集圖母參數(shù)，但解法仍然相同，所不同的是根的大小可能不能確定，因而可能要分類討論.首先通過移項(xiàng)把原不等式化為，進(jìn)一步朝規(guī)范化方向行進(jìn)時(shí)遇到了可能為的問題，所以首先要對(duì)是否為分類討論，接下來該怎樣進(jìn)行，請(qǐng)看右邊的流程圖.解：原不等式可化為 （）（1）設(shè) ，不等式化為，解得.（2）設(shè)，如果，不等式可化為.當(dāng),即時(shí),；當(dāng),即時(shí),；當(dāng),即時(shí),解得.如果，不等式可化為，解得或.綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為； 當(dāng)時(shí)，不等式的解集為； 當(dāng)時(shí)，不等式的解集為； 當(dāng)時(shí)，不等式的解集為易錯(cuò)點(diǎn)：在規(guī)范化的過程中，對(duì)可能為零視而不見；在已經(jīng)規(guī)范化了之后，對(duì)不確定的根的大小關(guān)系不加區(qū)分.整體表現(xiàn)為不能有序地進(jìn)行分類討論.變式引申2：（1）解關(guān)于的不等式（2）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）且方程f(x)x+12=0有兩個(gè)實(shí)根為x1=3, x2=4. （1）求函數(shù)f(x)的解析式； （2）設(shè)k>1，解關(guān)于x的不等式；題型三：不等式的恒成立問題例3 （2008年上海文科第19題）已知函數(shù)（1）若，求的值；（2）若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍點(diǎn)撥：不等式恒成立問題通常有以下處理方法：（1）分離參數(shù)法，將參數(shù)與變量進(jìn)行分離，再轉(zhuǎn)化為最值問題解決；（2）變換主元法，有些題分離參數(shù)后很難求最值，可考慮變換思維角度，即主元與參數(shù)互換位置（3）數(shù)形結(jié)合法。本題分離參數(shù)后可求最值.解（1）. 由已知，解得 .（2）當(dāng)即,在上恒成立,.又時(shí),故的取值范圍是.易錯(cuò)點(diǎn)：（1）絕對(duì)值的處理方法不明確，找不到解題的突破口（2）指數(shù)運(yùn)算不熟悉，不能正確地將參數(shù)與變量進(jìn)行分離（3）能否取等號(hào)也是常見的錯(cuò)誤.變式與引申3：（1）已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍 （2）奇函數(shù)上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，使對(duì)所有的均成立？若存在，求出適合條件的所有實(shí)數(shù)m；若不存在，說明理由.題型四：線性規(guī)劃問題與基本不等式例4 （1） 設(shè)滿足則( ).圖（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，無最大值（C）有最大值3，無最小值 （D）既無最小值，也無最大值（2）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為 點(diǎn)撥：（1）首先準(zhǔn)確地作出線性約束條件下的可行域，再由yx經(jīng)過平移得到結(jié)論，這里關(guān)鍵就在于轉(zhuǎn)化與化歸（2）找出定點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線方程，得，由均值不等式得結(jié)果.解（1）畫出不等式表示的平面區(qū)域，如右圖，由zxy，得yxz，令z0，畫出yx的圖象，當(dāng)它的平行線經(jīng)過A（2,0）時(shí)，z取得最小值，最小值為：z2，無最大值，故選.B（2）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn),，,.易錯(cuò)點(diǎn)： 可行域畫不準(zhǔn)確，將yx經(jīng)過平移后得到的最優(yōu)解不正確，圖變式與引申4：（1）若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線 掃過中的那部分區(qū)域的面積為 ( ) AB1 C D5（2）已知，則的最小值是（ ）A2BC4D5本節(jié)主要考查：（1）一元一次不等式、一元二次不等式的性質(zhì)及能轉(zhuǎn)化為它們的分式不等式、絕對(duì)值不等式、指數(shù)與對(duì)數(shù)不等式的解法以及含字母系數(shù)不等式的解法；（2）基本不等式及其應(yīng)用，簡單的線性規(guī)劃等問題（3）圖解法、換元法、分析法、綜合法等方法（4）數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用以及邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等基本數(shù)學(xué)能力. 點(diǎn)評(píng)：（1）解不等式的關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化.分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式；指數(shù)與對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式；抽象函數(shù)的不等式在確定其單調(diào)性的前提下去掉函數(shù)符號(hào)轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（2）在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一.通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式；通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系.對(duì)含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法，有時(shí)可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰（3）等價(jià)轉(zhuǎn)化具體地說，分式化為整式，高次化為低次，絕對(duì)值化為非絕對(duì)值，指數(shù)與對(duì)數(shù)化為代數(shù)式等分類討論分類討論的目的是處理解決問題過程中遇到的障礙，在無障礙時(shí)不要提前進(jìn)行分類討論數(shù)形結(jié)合有些不等式的解決可化為兩個(gè)函數(shù)圖像間的位置關(guān)系的討論等幾何問題（4）函數(shù)方程思想解不等式可化為解方程或求函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的問題，根據(jù)題意判斷所求解的區(qū)間如“穿根法”實(shí)際上就是一種函數(shù)方程思想（5）線性規(guī)劃問題的解題步驟：根據(jù)線性約束條件畫出可行域；利用線性目標(biāo)函數(shù)求出最優(yōu)解。最優(yōu)“整點(diǎn)”不一定在可行區(qū)域內(nèi)，這時(shí)需要將相近的點(diǎn)一一列出，再代入約束條件和目標(biāo)函數(shù)逐一檢驗(yàn)，得出正確答案.（6）在利用基本不等式解決有關(guān)問題時(shí)，特別注意不等式成立的條件，即“一正，二定值，三相等”在使用基本不等式時(shí)，要掌握常見的恒等變形技巧。（7）不等式滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題等，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系.因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的靈活性、綜合性在解決問題時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解 習(xí)題321 (2009年山東卷理科第12題)設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù)的值是最大值為12，則的最小值為 ( ) A. B. C. D. 42（2010年山東卷理科第14題）若對(duì)任意，恒成立，則的取值范圍是 3已知、都是奇函數(shù)，的解集是，的解集是，求的解集 4解關(guān)于x的不等式1(a1) 5已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若m、n1，1，m+n0時(shí)0 (1)用定義證明在1，1上是增函數(shù)；(2)解不等式：；(3)若對(duì)所有，恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍第三節(jié) 推理與證明推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們經(jīng)常使用的思維方式推理一般包括合情推理和演繹推理，證明包括直接證明、間接證明這部分內(nèi)容是每年高考的必考知識(shí)題型可能是選擇題、填空題，主要考查類比或歸納推理等；也可能是解答題，考查問題的證明，推理與證明常與數(shù)列、不等到式問題綜合，難度一般在之間.考試要求 （1）合情推理與演繹推理 了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用; 了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理; 了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異;（2）直接證明與間接證明 了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn); 了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn).題型一：合情推理例1（1）若ABC內(nèi)切圓半徑為r，三邊長為a、b、c，則ABC的面積Sr (a+b+c) 類比到空間，若四面體內(nèi)切球半徑為R，四個(gè)面的面積為S1、S2 、S3 、S4，則四面體的體積 （2）（2009年浙江卷第15題）觀察下列等式： ， ， 由以上等式推測到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于， 【點(diǎn)撥】（1）類比推理是指兩類對(duì)象具有一些類似特征，由其中一類的某些已知特征推出另一類對(duì)象的某些特征；（2）這是一種歸納推理方法，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，第二項(xiàng)前有，二項(xiàng)指數(shù)分別為要善于發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)字間的特征才能找到規(guī)律，得到一般形式【解】（1）比較兩個(gè)對(duì)象，三邊對(duì)四面，面積對(duì)體積，內(nèi)切圓對(duì)內(nèi)切球，三邊長對(duì)四個(gè)面的面積，由Sr (a+b+c)等式兩邊的量，類比對(duì)應(yīng)到體積、系數(shù)、半徑R、面積S1S2S3S4， 答：R(S1S2S3S4)（2）在給出的一系列的等式中，右邊為兩項(xiàng)，形成加減輪換的規(guī)律，其中一個(gè)的指數(shù)由構(gòu)成，第二個(gè)的指數(shù)由構(gòu)成，故等式的右邊為：【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）類似特征不明確，類比結(jié)論錯(cuò)誤；（2）不善于尋找數(shù)字間的規(guī)律，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤變式與引申1：（1） 在RtABC中，CACB，斜邊AB上的高為h1，DO圖則；類比此性質(zhì)，如圖，在四面體PABC中，若PA，PB，PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，則得到的正確結(jié)論為_ .（2）在古臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，21，28，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形圖 1 3 6 10 15 則第個(gè)三角形數(shù)為（ ）A B C D題型二：演繹推理例2（2009年江蘇卷第16題）如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.ABCA1B1C1EFD圖A1求證：（1）;（2）.【點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)的證明主要是通過演繹推理來進(jìn)行的，證明線面平行時(shí)一定要注意注明直線在平面內(nèi)及直線在平面外這兩個(gè)條件【解】證明：（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又，所以；（2）因?yàn)橹比庵?，又，所以，又，所以【易錯(cuò)點(diǎn)】三段論是演繹推理的一般形式，包括大前提、小前提、結(jié)論三部分，在書寫證明的過程中，很多學(xué)生會(huì)出現(xiàn)跳步現(xiàn)象，邏輯關(guān)系不清楚是常見的錯(cuò)誤變式與引申2：（1）已知正方形的對(duì)角相等；平行四邊形的對(duì)角相等；正方形是平行四邊形根據(jù)三段論推理得到一個(gè)結(jié)論，則這個(gè)結(jié)論的序號(hào)是 ;（2）如圖，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).ABCDEF圖（1）求證：AF平面BCE；（2）求證：平面BCE平面CDE.題型三：直接證明與間接證明例3 （1）已知 求證： （2）已知函數(shù)y=ax+(a1).（）證明：函數(shù)f(x)在（1,+)上為增函數(shù)；（）用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.【點(diǎn)撥】（1）綜合法著力分析已知和求證之間的差異和聯(lián)系，并合理運(yùn)用已知條件進(jìn)行有效的變換是證明的關(guān)鍵，綜合法可以使證明過程表述簡潔，但必須首先考慮從哪開始，這一點(diǎn)比較困難，分析法就可以幫助我們克服這一點(diǎn)，運(yùn)用分析法比較容易探求解題的途徑，但過程不及綜合法簡單，所以應(yīng)把它們結(jié)合起來 （2）用反證法證明把握三點(diǎn)：必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證；導(dǎo)致的矛盾可能多種多樣，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的【解】（1）證法1：（綜合法） ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 即 證法2：（分析法） 要證，只要證 即證 ，即證 即由 得，所以原不等式成立（2）證明 （）任取x1,x2(-1,+), 不妨設(shè)x1x2,則x2-x10,由于a1,a1且a0, a-a=a (a-1)0. 又x1+10,x2+10,-=0,于是f(x2)-f(x1)=a-a+-0, 故函數(shù)f(x)在(-1,+）上為增函數(shù).（）方法一 假設(shè)存在x00 (x0-1)滿足f(x0)=0, 則a=-. a1,0a1,0-1,即x02， 與假設(shè)x00相矛盾，故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.方法二 假設(shè)存在x00 (x0-1)滿足f(x0)=0, 若-1x00，則-2,a1,f(x0)-1,與f(x0)=0矛盾.若x0-1,則0,a0, f(x0)0,與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）用綜合法證明時(shí)難找到突破口，解題受阻；（2）分析法是尋找使不等式成立的充分條件，最后要充分說明推出的結(jié)論為什么成立（2）不是把求證結(jié)論的反面作為條件證題（2）不寫明與什么相矛盾變式與引申3： 已知數(shù)列an中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，），a1=1.（1）設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,)，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；（2）設(shè)cn=(n=1,2,),求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；（3）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式.題型四： 數(shù)學(xué)歸納法例4 已知函數(shù)，數(shù)列滿足遞推關(guān)系式：（），且.（1）求、的值；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，；（3）證明：當(dāng)時(shí)，有.【解】（1）由及計(jì)算得：，（2）（）即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立. （）假設(shè)結(jié)論對(duì)（）成立，即.，函數(shù)在上遞增，即當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立.由（）（）知，不等式對(duì)一切都成立.（3）當(dāng)時(shí)，由（2）得：，.又由得：，且.【易錯(cuò)點(diǎn)】 在證明結(jié)論成立時(shí)，不用數(shù)學(xué)歸納法，不按要求做題.變式與引申4： 已知函數(shù)（1）若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)f(x)的圖象在x = 1處的切線的斜率為0，且，已知a1 = 4，求證：an ³ 2n + 2；（3）在（2）的條件下，試比較與的大小，并說明你的理由 本節(jié)主要考查：（1）知識(shí)點(diǎn)有：歸納推理、類比推理兩種合情推理和演繹推理；直接證明與間接證明（2）推理滲透在每個(gè)高考試題中，證明是推理的一種形式，有的問題需要很強(qiáng)的推理論證能力和技巧推理問題常常以探索性命題的方式出現(xiàn)在高考題中；（3）常見的論證方法有：綜合法、分析法及反證法等點(diǎn)評(píng)：（1）歸納猜想是一種重要的思維方法，是對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納、整理，然后提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，是由部分到整理，由個(gè)別到一般的推理；結(jié)果的正確性還需進(jìn)一步論證，一般地，考查的個(gè)體越多，歸納出的結(jié)論可靠性越大（2）類比的關(guān)健是能把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某些一致性確切地表述出來，也就是要把相關(guān)對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)說清楚，在學(xué)習(xí)中要注意通過類比去發(fā)現(xiàn)探索新問題（3）綜合法的特點(diǎn)是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，實(shí)際上是尋找使問題成立的必要條件，是一個(gè)由因?qū)Ч倪^程；分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”逐步靠攏“已知”，即尋找使問題成立的充分條件，是一個(gè)執(zhí)果索因的過程（4）一般來說：分析法有兩種證明途徑：由命題結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件，逐步推導(dǎo)下去；由命題結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充要條件，逐步推導(dǎo)下去（5）反證法在高考中的要求不高，但這種“正難則反”的思維方式值得重視，解決問題時(shí)要注意從多方面考慮，提高解決問題的靈活性習(xí)題331將正奇數(shù)數(shù)列1，3，5，7，9，進(jìn)行如下分組：第一組含一個(gè)數(shù)1；第二組含兩個(gè)數(shù)3，5；第三組含三個(gè)數(shù)7，9，11；第四組含四個(gè)數(shù)13，15，17，19；記第n組內(nèi)各數(shù)之和為Sn，則Sn與n的關(guān)系為 ( )ASnn2BSnn3CSn2n1DSn3n12為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息設(shè)定原信息為（），傳輸信息為，其中，運(yùn)算規(guī)則為：，例如原信息為111，則傳輸信息為01111傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列三個(gè)接收信息：（1）11010（2）01100（3）10111，一定有誤的是 （填序號(hào)）3設(shè)滿足且，求證：是周期函數(shù)圖4如圖所示，點(diǎn)P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PMBB1交AA1于點(diǎn)M，PNBB1交CC1于點(diǎn)N.（1）求證：CC1MN；（2）在任意DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF22DF·EF·cosDFE拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明5已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）（1）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，試比較與的大小，并予以證明第四節(jié) 不等式選講 不等式選講是一個(gè)選考內(nèi)容,縱觀近年關(guān)于課程標(biāo)準(zhǔn)的高考試題,含絕對(duì)值不等式的試題常以選做題的形式出現(xiàn),屬于中檔偏易題.最值與恒成立問題是高考的常考點(diǎn),不等式的證明常與數(shù)列相結(jié)合,考查數(shù)學(xué)歸納法、放縮法等技能方法,屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度一般控制在之間. 考試要求：理解絕對(duì)值及其幾何意義. 絕對(duì)值不等式的變式：. 利用絕對(duì)值的幾何意義求解幾類不等式：；.了解不等式證明的方法：如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法；了解柯西不等式：若，則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).題型一 含絕對(duì)值不等式例 (2009山東卷第13題)不等式的解集為 .對(duì)定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)與,當(dāng)時(shí),不等式與的解集分別為、,則與的關(guān)系是( ). A. B. C. D.與的關(guān)系無法確定點(diǎn)撥：此不等式左邊含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，可考慮采用零點(diǎn)分段法,即令每一項(xiàng)都等于,得到的值作為討論的分區(qū)點(diǎn),然后再分區(qū)間討論絕對(duì)值不等式,最后應(yīng)求出解集的并集. 仔細(xì)觀察兩不等式左邊的結(jié)構(gòu),聯(lián)想到絕對(duì)值不等式,便把問題簡化.解：原不等式等價(jià)于不等式組或或不等式組無解,由得,由得,綜上得,所以原不等式的解集為.答案: .由知,使成立的的每個(gè)值,必可使成立,即中的每個(gè)元素都在中,故,選C.易錯(cuò)點(diǎn)：含有多項(xiàng)絕對(duì)值的不等式的轉(zhuǎn)化易出錯(cuò)；不會(huì)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想,去掉絕對(duì)值符號(hào). 含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)不能正確轉(zhuǎn)化.變式與引申： (2010年黑龍江省哈爾濱三中等四校三模)已知對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型二 不等式的性質(zhì)例.(2010年四川卷第12題)設(shè)，則的最小值是( ). A. B. C. D.設(shè)且,求的最大值.點(diǎn)撥：觀察分母能發(fā)現(xiàn)其和為,則已知可配湊成,再利用基本不等式求解；觀察已知條件,可將所求式子轉(zhuǎn)化為,再利用基本不等式求解.【答案】B 解：.當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立,如取,滿足條件.（2）,.又,即易錯(cuò)點(diǎn)：忽視基本不等式求最值時(shí)的“一正、二定、三相等”條件.變式與引申2：已知,且,求證:.題型三 不等式的證明例3 已知,且,求證：.點(diǎn)撥：由,得,.可使問題得證；也可運(yùn)用柯西不等式證明. 解法1： ,. 解法2：由柯西不等式,得,.易錯(cuò)點(diǎn)：易出現(xiàn)的錯(cuò)誤；忽視基本不等式中等號(hào)成立的條件.變式與引申3： ，求證：.題型四 不等式與函數(shù)的綜合應(yīng)用例已知函數(shù).當(dāng)時(shí).求證：；若,則當(dāng)時(shí),求證：.點(diǎn)撥：本題中所給條件并不足以確定參數(shù),的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是的確定值,而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍”,因此,我們可以用 、來表示,因?yàn)橛梢阎獥l件有,可使問題獲證.解： (1) 證明：由，從而有,(2)由,.從而 ,將以上三式代入，并整理得,.易錯(cuò)點(diǎn)：不會(huì)用、來表示、及其它們的和差關(guān)系式,從而解題思路受阻；不能靈活運(yùn)用絕對(duì)值,對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化；運(yùn)用放縮法時(shí)的放縮程度把握不住.變式與引申4：設(shè)函數(shù),若當(dāng)時(shí),恒成立,求證：；當(dāng)時(shí),. 本節(jié)主要考查：不等式的性質(zhì)(基本不等式與柯西不等式)應(yīng)用；含絕對(duì)值不等式的解法； 逆求參數(shù)取值范圍；數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的不等式問題； 函數(shù)方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想以及比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法和放縮法等數(shù)學(xué)思想方法. 點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用不等式性質(zhì)解有關(guān)問題時(shí),要隨時(shí)對(duì)性質(zhì)成立的條件保持高度警惕,避免錯(cuò)誤發(fā)生； 應(yīng)用絕對(duì)值不等式解題時(shí),要注意絕對(duì)值不等式中等號(hào)成立的條件；解含絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào),主要思路有：利用絕對(duì)值的幾何意義；零點(diǎn)分段討論；平方轉(zhuǎn)化；借助圖象直觀獲解. 利用基本不等式和柯西不等式求最值是不等式選講的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一,解題中常用技巧是注意創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件,合理地拆分項(xiàng)或配湊因式,即把已知式子轉(zhuǎn)化成基本不等式和柯西不等式的模型.在應(yīng)用求最值時(shí),“一正、二定、三相等”三個(gè)條件不可缺一. 證明不等式的常用方法： 比較法,即作差比較法與作商比較法；綜合法-由因?qū)Ч环治龇?執(zhí)果索因；數(shù)學(xué)歸納法,證明不等式時(shí)應(yīng)把握兩點(diǎn)：一是明確證題的關(guān)鍵是第二步的證明,即運(yùn)用的歸納假設(shè)作為條件去推證時(shí)的命題成立.如果沒有運(yùn)用歸納假設(shè)條件,就直接證得結(jié)論那么這種證法就不是數(shù)學(xué)歸納法；二是注意明確時(shí)目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征,以選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈプC明,若直接證明目標(biāo)式有困難,可借助其他輔助方法(放縮法、分析法等)去證明.放縮法,運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意觀察“放與縮”的方向和“放與縮”的量的大小,把握好放縮的“度”,熟記一些常用放縮技巧和放縮的結(jié)構(gòu)形式. 不等式作為工具,常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、解析幾何結(jié)合在一起,在高考中以綜合題形式出現(xiàn),應(yīng)給予關(guān)注.習(xí)題3-41（2009年重慶卷理第題）不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( ).A. B. C. D.2(2008年山東卷第16題）若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有,則的取值范圍 .3.設(shè),是大于的常數(shù),若的最小值是,則的值等于_.4.求證：.5.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知(nN*).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在整數(shù)，使對(duì)任意nN*且n2,都有成立，求的最大值；（3）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：當(dāng)nN*且n2時(shí)，.第五節(jié) 數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用 數(shù)列和不等式是高考的兩大熱點(diǎn)也是難點(diǎn)，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的內(nèi)容，在高等數(shù)學(xué)也有很重要的地位，不等式是高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一個(gè)突出的內(nèi)容，它可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維中的很多方法.數(shù)列與不等式的交匯綜合又是高考的重中之重. 近幾年，高考關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用的命題趨勢是：（1）以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡單交匯（2）以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及到導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識(shí)等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學(xué)思想，試題新穎別致，難度相對(duì)較大題型一 數(shù)列中的不等關(guān)系例1（2008年四川卷理科第16題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最大值是 .【點(diǎn)撥】數(shù)列與不等式的小題，主要是運(yùn)用基本不等式、不等式的性質(zhì)、線性規(guī)劃等求范圍或最值本題明為數(shù)列，實(shí)為線性規(guī)劃，著力考查了轉(zhuǎn)化化歸和數(shù)形結(jié)合思想因約束條件只有兩個(gè)，本題也可用不等式的方法求解【解法1】由題意，即，建立平面直角坐標(biāo)系，畫出可行域（圖略），畫出目標(biāo)函數(shù)即直線，由圖知，當(dāng)直線過可行域內(nèi)點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取最大值【解法2】前面同解法1設(shè)，由解得，由不等式的性質(zhì)得： ，即，的最大值是4【解法3】前面同解法1， ，即，的最大值是4【易錯(cuò)點(diǎn)】一方面得出不等式組，之后不知如何運(yùn)用；另一方面用線性規(guī)劃求最值時(shí)，用錯(cuò)點(diǎn)的坐標(biāo)變式與引申1： 等比數(shù)列的公比，第17項(xiàng)的平方等于第24項(xiàng)，求使恒成立的正整數(shù)的取值范圍 設(shè)若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為（ ） A8 B4 C2 D1題型二 數(shù)列、函數(shù)與不等式例2 已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且（1）設(shè)，證明：；（2）設(shè)（1）中的數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明【點(diǎn)撥】數(shù)列參與的不等式的證明問題常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法證明；(3)放縮法，利用迭代法、累加法、累乘法構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮.【解】（1）由條件知 故（2）由（1）的過程可知，.【易錯(cuò)點(diǎn)】不易找出放縮的方法，從而無法證明放縮法中通過對(duì)分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的變式與引申2： 已知數(shù)列中，.（1）求；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，求證當(dāng)時(shí)，有.題型三 數(shù)列與不等式的探索性問題例3（2008年湖北卷理科第21題）已知數(shù)列和滿足：，其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù).（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；（2）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（3）設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.【點(diǎn)撥】數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.也可直接推理判斷是否存在.【解】（1）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使an是等比數(shù)列，則有a22=a1a3, 即矛盾.所以an不是等比數(shù)列.(2)因?yàn)閎n+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n·（an-3n+21）=又,所以 當(dāng)，,此時(shí)不是等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，,由上可知bn0，(nN+).故當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.(3)由（2）知，當(dāng),不滿足題目要求.，故知，于是可得要使a<Sn<b對(duì)任意正整數(shù)n成立，即 (nN+) 當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,于是，當(dāng)a<b3a時(shí)，由，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；當(dāng)b>3a存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b,且的取值范圍是.【易錯(cuò)點(diǎn)】證明（2）時(shí)容易丟失這種情況；含的問題要對(duì)n分奇偶兩種情況討論變式與引申3：（2009年四川卷文科第22題）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記.（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有.題型三 數(shù)列、解幾與不等式例4（2010年安徽卷文科第21題）設(shè)C1， C2， Cn，是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n ，圓Cn都與圓Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知rn 為遞增數(shù)列.(1)證明：rn 為等比數(shù)列；(2)設(shè)r1=1，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【點(diǎn)撥】本題明是對(duì)等比數(shù)列的概念及數(shù)列求和的方法的考查，實(shí)是對(duì)數(shù)形結(jié)合及解析法的深層次的考查要求學(xué)生把相關(guān)知識(shí)方法融合，分析題意，找出解決問題的路徑，進(jìn)行正確的推理與運(yùn)算，簡潔明了的表述過程與結(jié)果【解】（1）將直線的傾斜角記為，則有設(shè)的圓心為，則由題意得知，得，同理可得：從而，又，rn 為公比為3的等比數(shù)列（2）由于，從而，記，則有 兩式相減得： 【易錯(cuò)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法及找出及之間的關(guān)系不易建立，要充分利用數(shù)形結(jié)合解決問題答圖變式與引申4： 如圖，已知曲線從C上的點(diǎn)作x軸的垂線，交于點(diǎn)，再從點(diǎn)作y軸的垂線，交C于點(diǎn)設(shè)，（1）求點(diǎn)Q1、Q2的坐標(biāo)；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.本節(jié)主要考查：數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應(yīng)用，此類題型主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活變通、融合與遷移，考查學(xué)生數(shù)學(xué)視野的廣度和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能.點(diǎn)評(píng)數(shù)列與不等式作為高中數(shù)學(xué)代數(shù)的兩大核心內(nèi)容，其在高考試卷中處于的核心地位，數(shù)列與不等式的綜合是高考的重中之重，有數(shù)列與不等式的主要交匯，有不等式與函數(shù)的重點(diǎn)交叉，數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法、不等式與解析幾何的交匯也比較突出當(dāng)這些兩者甚至三者交匯結(jié)合在一起的時(shí)候，問題會(huì)變得非常的靈活，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，分析問題和解決問題的能力，計(jì)算能力以及數(shù)學(xué)的思想和方法、數(shù)學(xué)的素養(yǎng)都有較高的要求（1）試題主要考查知識(shí)重點(diǎn)和熱點(diǎn)是數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)學(xué)歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應(yīng)用.此類題型主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活變通、融合與遷移，考查學(xué)生數(shù)學(xué)視野的廣度和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能（2）求解數(shù)列中的某些最值問題，有時(shí)須結(jié)合不等式來解決，其具體解法有：（1）建立目標(biāo)函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值；（2）首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；（3）利用條件中的不等式關(guān)系確定最值（3）探索型問題常常需要由給定的題設(shè)條件去探索相應(yīng)的結(jié)論，或探索滿足某些條件的對(duì)象是否存在，問題增加了許多可變因素，思維指向不明顯探索型問題有：（1）猜想型，即結(jié)論未給出，解題時(shí)需要首選探索結(jié)論，然后再加以證明；（2）判斷型，即判定符合某種條件的數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在或其結(jié)論是否成立，解題時(shí)常先假設(shè)存在，然后求出或?qū)С雒?（4） 數(shù)列中的不等式問題，一般有放縮，構(gòu)造函數(shù)這兩類常見的方法用放縮法證明不等式有：（1）利用迭代法構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮；（2）利用累加法構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮；（3）利用累乘法構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮； （5）利用可求和的新數(shù)列構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮而放縮主要是把數(shù)列的通項(xiàng)放縮為一個(gè)可求和的數(shù)列，如放縮為等比、等差或可裂項(xiàng)求和的數(shù)列習(xí)題351 (湖北省武漢市六校2010屆高三第一次聯(lián)考)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意，總有成等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，且，則對(duì)任意實(shí)數(shù)（是常數(shù)，2.71828）和任意正整數(shù)，小于的最小正整數(shù)為 （ ） A1   B2 C3 D42已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是_.3(2009年陜西卷理科第22題)已知數(shù)列滿足， .（1）猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）證明：4已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列的首項(xiàng). （1）求函數(shù)的表達(dá)式； （2）求證：；（3）求證：.5已知，數(shù)列滿足，數(shù)列滿足,.求證：（1）；（2）；（3）若，則當(dāng)時(shí)，有.第三講 測試卷 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（ ）A或5 B或5 C D2用反證法證明命題：若整數(shù)系數(shù)一元二次方程有有理根，那么、中至少有一個(gè)是偶數(shù)下列假設(shè)中正確的是 （ ）A假設(shè)、都是偶數(shù) B假設(shè)、都不是偶數(shù)C假設(shè)、中至多有一個(gè)是偶數(shù) D假設(shè) 、中至多有兩個(gè)是偶數(shù)