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二元一次方程解法大全1、直接開平方法：直接開平方法就是用直接開平方求解二元一次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n(n0)的方程，其解為x=±根號下n+m.例1解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以此方程也可用直接開平方法解。（1）解：(3x+1)2=7×(3x+1)2=53x+1=±(注意不要丟解)x=原方程的解為x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11(3x-4)2=113x-4=±x=原方程的解為x1=,x2=2配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a0)先將常數(shù)c移到方程右邊：ax2+bx=-c將二次項系數(shù)化為1：x2+x=-方程兩邊分別加上一次項系數(shù)的一半的平方：x2+x+()2=-+()2方程左邊成為一個完全平方式：(x+)2=當(dāng)b2-4ac0時，x+=±x=(這就是求根公式)例2用配方法解方程3x2-4x-2=0(注：X2是X的平方）解：將常數(shù)項移到方程右邊3x2-4x=2將二次項系數(shù)化為1：x2-x=方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方：x2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接開平方得：x-=±x=原方程的解為x1=,x2=.3公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計算判別式=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac0時，把各項系數(shù)a,b,c的值代入求根公式x=-b±(b2-4ac)(1/2)/(2a),(b2-4ac0)就可得到方程的根。例3用公式法解方程2x2-8x=-5解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0a=2,b=-8,c=5b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0x=(-b±(b2-4ac)(1/2)/(2a)原方程的解為x1=,x2=.4因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例4用因式分解法解下列方程：(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0(3)6x2+5x-50=0(選學(xué)）(4)x2-2(+)x+4=0（選學(xué)）(1)解：(x+3)(x-6)=-8化簡整理得x2-3x-10=0(方程左邊為二次三項式，右邊為零)(x-5)(x+2)=0(方程左邊分解因式)x-5=0或x+2=0(轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程)x1=5,x2=-2是原方程的解。(2)解：2x2+3x=0x(2x+3)=0(用提公因式法將方程左邊分解因式)x=0或2x+3=0(轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程)x1=0，x2=-是原方程的解。注意：有些同學(xué)做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應(yīng)記住一元二次方程有兩個解。(3)解：6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)2x-5=0或3x+10=0x1=,x2=-是原方程的解。(4)解：x2-2(+)x+4=0（4可分解為2·2，此題可用因式分解法）(x-2)(x-2)=0x1=2,x2=2是原方程的解。小結(jié)：一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般形式，同時應(yīng)使二次項系數(shù)化為正數(shù)。直接開平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計算判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識時有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一，一定要掌握好。（三種重要的數(shù)學(xué)方法：換元法，配方法，待定系數(shù)法）。二元一次方程練習(xí)題一、判斷1、是方程組的解（）2、方程組的解是方程3x-2y=13的一個解（）3、由兩個二元一次方程組成方程組一定是二元一次方程組（）4、方程組，可以轉(zhuǎn)化為（）5、若(a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y=0是二元一次方程，則a的值為±1（）6、若x+y=0，且|x|=2，則y的值為2（）7、方程組有唯一的解，那么m的值為m-5（）8、方程組有無數(shù)多個解（）9、x+y=5且x，y的絕對值都小于5的整數(shù)解共有5組（）10、方程組的解是方程x+5y=3的解，反過來方程x+5y=3的解也是方程組的解（）11、若|a+5|=5，a+b=1則（）12、在方程4x-3y=7里，如果用x的代數(shù)式表示y，則（）二、選擇：13、任何一個二元一次方程都有（）（A）一個解；（B）兩個解；（C）三個解；（D）無數(shù)多個解；14、一個兩位數(shù)，它的個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為6，那么符合條件的兩位數(shù)的個數(shù)有（）（A）5個（B）6個（C）7個（D）8個15、如果的解都是正數(shù)，那么a的取值范圍是（）（A）a<2；（B）；（C）；（D）；16、關(guān)于x、y的方程組的解是方程3x+2y=34的一組解，那么m的值是（）（A）2；（B）-1；（C）1；（D）-2；17、在下列方程中，只有一個解的是（）（A）（B）（C）（D）18、與已知二元一次方程5x-y=2組成的方程組有無數(shù)多個解的方程是（）（A）15x-3y=6（B）4x-y=7（C）10x+2y=4（D）20x-4y=319、下列方程組中，是二元一次方程組的是（）（A）（B）（C）（D）20、已知方程組有無數(shù)多個解，則a、b的值等于（）（A）a=-3,b=-14（B）a=3,b=-7（C）a=-1,b=9（D）a=-3,b=1421、若5x-6y=0，且xy0，則的值等于（）（A）（B）（C）1（D）-122、若x、y均為非負(fù)數(shù)，則方程6x=-7y的解的情況是（）（A）無解（B）有唯一一個解（C）有無數(shù)多個解（D）不能確定23、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，則2x2-3xy的值是（）（A）14（B）-4（C）-12（D）1224、已知與都是方程y=kx+b的解，則k與b的值為（）（A），b=-4（B），b=4（C），b=4（D），b=-4三、填空：25、在方程3x+4y=16中，當(dāng)x=3時，y=_，當(dāng)y=-2時，x=_若x、y都是正整數(shù)，那么這個方程的解為_；26、方程2x+3y=10中，當(dāng)3x-6=0時，y=_；27、如果0.4x-0.5y=1.2，那么用含有y的代數(shù)式表示的代數(shù)式是_；28、若是方程組的解，則；29、方程|a|+|b|=2的自然數(shù)解是_；30、如果x=1，y=2滿足方程，那么a=_；31、已知方程組有無數(shù)多解，則a=_，m=_；32、若方程x-2y+3z=0，且當(dāng)x=1時，y=2，則z=_；33、若4x+3y+5=0，則3(8y-x)-5(x+6y-2)的值等于_；34、若x+y=a，x-y=1同時成立，且x、y都是正整數(shù)，則a的值為_；35、從方程組中可以知道，x:z=_；y:z=_；36、已知a-3b=2a+b-15=1，則代數(shù)式a2-4ab+b2+3的值為_；四、解方程組37、；38、；39、；40、；41、；42、；43、；44、；45、；46、；五、解答題：47、甲、乙兩人在解方程組時，甲看錯了式中的x的系數(shù)，解得；乙看錯了方程中的y的系數(shù)，解得，若兩人的計算都準(zhǔn)確無誤，請寫出這個方程組，并求出此方程組的解；48、使x+4y=|a|成立的x、y的值，滿足(2x+y-1)2+|3y-x|=0，又|a|+a=0，求a的值；49、代數(shù)式ax2+bx+c中，當(dāng)x=1時的值是0，在x=2時的值是3，在x=3時的值是28，試求出這個代數(shù)式；50、要使下列三個方程組成的方程組有解，求常數(shù)a的值。2x+3y=6-6a，3x+7y=6-15a，4x+4y=9a+951、當(dāng)a、b滿足什么條件時，方程(2b2-18)x=3與方程組都無解；52、a、b、c取什么數(shù)值時，x3-ax2+bx+c程(x-1)(x-2)(x-3)恒等？53、m取什么整數(shù)值時，方程組的解：（1）是正數(shù)；（2）是正整數(shù)？并求它的所有正整數(shù)解。54、試求方程組的解。六、列方程（組）解應(yīng)用題55、汽車從甲地到乙地，若每小時行駛45千米，就要延誤30分鐘到達；若每小時行駛50千米，那就可以提前30分鐘到達，求甲、乙兩地之間的距離及原計劃行駛的時間？56、某班學(xué)生到農(nóng)村勞動，一名男生因病不能參加，另有三名男生體質(zhì)較弱，教師安排他們與女生一起抬土，兩人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁擔(dān)，兩只筐），這樣安排勞動時恰需筐68個，扁擔(dān)40根，問這個班的男女生各有多少人？57、甲、乙兩人練習(xí)賽跑，如果甲讓乙先跑10米，那么甲跑5秒鐘就可以追上乙；如果甲讓乙先跑2秒鐘，那么甲跑4秒鐘就能追上乙，求兩人每秒鐘各跑多少米？58、甲桶裝水49升，乙桶裝水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶裝滿后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶裝滿后則甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求這兩個水桶的容量。59、甲、乙兩人在A地，丙在B地，他們?nèi)送瑫r出發(fā)，甲與乙同向而行，丙與甲、乙相向而行，甲每分鐘走100米，乙每分鐘走110米，丙每分鐘走125米，若丙遇到乙后10分鐘又遇到甲，求A、B兩地之間的距離。60、有兩個比50大的兩位數(shù)，它們的差是10，大數(shù)的10倍與小數(shù)的5倍的和的是11的倍數(shù)，且也是一個兩位數(shù)，求原來的這兩個兩位數(shù)。【參考答案】一、1、；2、；3、×；4、×；5、×；6、×；7、；8、；9、×；10、×；11、×；12、×；二、13、D；14、B；15、C；16、A；17、C；18、A；19、C；20、A；21、A；22、B；23、B；24、A；三、25、，8，；26、2；27、；28、a=3，b=1；29、30、；31、3，-432、1；33、20；34、a為大于或等于3的奇數(shù)；35、4:3，7:936、0；四、37、；38、；39、；40、；41、；42、；43、；44、；45、；46、；五、47、，；48、a=-149、11x2-30x+19；50、；51、，b=±352、a=6,b=11,c=-6；53、（1）m是大于-4的整數(shù)，（2）m=-3，-2，0，；54、或；六、55、A、B距離為450千米，原計劃行駛9.5小時；56、設(shè)女生x人，男生y人，57、設(shè)甲速x米/秒，乙速y米/秒58、甲的容量為63升，乙水桶的容量為84升；59、A、B兩地之間的距離為52875米；60、所求的兩位數(shù)為52和62。二元一次方程組練習(xí)題100道（卷二）一、選擇題：1下列方程中，是二元一次方程的是（）A3x2y=4zB6xy+9=0C+4y=6D4x=2下列方程組中，是二元一次方程組的是（）A3二元一次方程5a11b=21（）A有且只有一解B有無數(shù)解C無解D有且只有兩解4方程y=1x與3x+2y=5的公共解是（）A5若x2+（3y+2）2=0，則的值是（）A1B2C3D6方程組的解與x與y的值相等，則k等于（）7下列各式，屬于二元一次方程的個數(shù)有（）xy+2xy=7；4x+1=xy；+y=5；x=y；x2y2=26x2yx+y+z=1y（y1）=2y2y2+xA1B2C3D48某年級學(xué)生共有246人，其中男生人數(shù)y比女生人數(shù)x的2倍少2人，則下面所列的方程組中符合題意的有（）A二、填空題9已知方程2x+3y4=0，用含x的代數(shù)式表示y為：y=_；用含y的代數(shù)式表示x為：x=_10在二元一次方程x+3y=2中，當(dāng)x=4時，y=_；當(dāng)y=1時，x=_11若x3m32yn1=5是二元一次方程，則m=_，n=_12已知是方程xky=1的解，那么k=_13已知x1+（2y+1）2=0，且2xky=4，則k=_14二元一次方程x+y=5的正整數(shù)解有_15以為解的一個二元一次方程是_16已知的解，則m=_，n=_三、解答題17當(dāng)y=3時，二元一次方程3x+5y=3和3y2ax=a+2（關(guān)于x，y的方程）有相同的解，求a的值18如果（a2）x+（b+1）y=13是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a，b滿足什么條件？19二元一次方程組的解x，y的值相等，求k20已知x，y是有理數(shù)，且（x1）2+（2y+1）2=0，則xy的值是多少？21已知方程x+3y=5，請你寫出一個二元一次方程，使它與已知方程所組成的方程組的解為22根據(jù)題意列出方程組：（1）明明到郵局買0.8元與2元的郵票共13枚，共花去20元錢，問明明兩種郵票各買了多少枚？（2）將若干只雞放入若干籠中，若每個籠中放4只，則有一雞無籠可放；若每個籠里放5只，則有一籠無雞可放，問有多少只雞，多少個籠？23方程組的解是否滿足2xy=8？滿足2xy=8的一對x，y的值是否是方程組的解？24（開放題）是否存在整數(shù)m，使關(guān)于x的方程2x+9=2（m2）x在整數(shù)范圍內(nèi)有解，你能找到幾個m的值？你能求出相應(yīng)的x的解嗎？答案：一、選擇題1D解析：掌握判斷二元一次方程的三個必需條件：含有兩個未知數(shù)；含有未知數(shù)的項的次數(shù)是1；等式兩邊都是整式2A解析：二元一次方程組的三個必需條件：含有兩個未知數(shù)，每個含未知數(shù)的項次數(shù)為1；每個方程都是整式方程3B解析：不加限制條件時，一個二元一次方程有無數(shù)個解4C解析：用排除法，逐個代入驗證5C解析：利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)6B7C解析：根據(jù)二元一次方程的定義來判定，含有兩個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)不超過1次的整式方程叫二元一次方程，注意整理后是二元一次方程8B二、填空題9101011，2解析：令3m3=1，n1=1，m=，n=2121解析：把代入方程xky=1中，得23k=1，k=1134解析：由已知得x1=0，2y+1=0，x=1，y=，把代入方程2xky=4中，2+k=4，k=114解：解析：x+y=5，y=5x，又x，y均為正整數(shù)，x為小于5的正整數(shù)當(dāng)x=1時，y=4；當(dāng)x=2時，y=3；當(dāng)x=3，y=2；當(dāng)x=4時，y=1x+y=5的正整數(shù)解為15x+y=12解析：以x與y的數(shù)量關(guān)系組建方程，如2x+y=17，2xy=3等，此題答案不唯一1614解析：將中進行求解三、解答題17解：y=3時，3x+5y=3，3x+5×（3）=3，x=4，方程3x+5y=3和3x2ax=a+2有相同的解，3×（3）2a×4=a+2，a=18解：（a2）x+（b+1）y=13是關(guān)于x，y的二元一次方程，a20，b+10，a2，b1解析：此題中，若要滿足含有兩個未知數(shù)，需使未知數(shù)的系數(shù)不為0（若系數(shù)為0，則該項就是0）19解：由題意可知x=y，4x+3y=7可化為4x+3x=7，x=1，y=1將x=1，y=1代入kx+（k1）y=3中得k+k1=3，k=2解析：由兩個未知數(shù)的特殊關(guān)系，可將一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式代替，化“二元”為“一元”，從而求得兩未知數(shù)的值20解：由（x1）2+（2y+1）2=0，可得x1=0且2y+1=0，x=±1，y=當(dāng)x=1，y=時，xy=1+=；當(dāng)x=1，y=時，xy=1+=解析：任何有理數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，且題中兩非負(fù)數(shù)之和為0，則這兩非負(fù)數(shù)（x1）2與（2y+1）2都等于0，從而得到x1=0，2y+1=021解：經(jīng)驗算是方程x+3y=5的解，再寫一個方程，如xy=322（1）解：設(shè)08元的郵票買了x枚，2元的郵票買了y枚，根據(jù)題意得（2）解：設(shè)有x只雞，y個籠，根據(jù)題意得23解：滿足，不一定解析：的解既是方程x+y=25的解，也滿足2xy=8，方程組的解一定滿足其中的任一個方程，但方程2xy=8的解有無數(shù)組，如x=10，y=12，不滿足方程組24解：存在，四組原方程可變形為mx=7，當(dāng)m=1時，x=7；m=1時，x=7；m=7時，x=1；m=7時x=1二元一次方程應(yīng)用題題型一：配套問題1某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只.現(xiàn)計劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？題型二：年齡問題2甲對乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲”乙對甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲”請你算一算，甲、乙現(xiàn)在各多少歲？題型三：百分比問題3有甲乙兩種銅和銀的合金，甲種合金含銀25%，乙種合金含銀37.5%，現(xiàn)在要熔制含銀30%的合金100千克，甲、乙兩種合金各應(yīng)取多少？題型四：數(shù)字問題4有一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大5，如果把這兩個數(shù)字的位置對換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143，求這個兩位數(shù).題型五：古算術(shù)問題5巍巍古寺在山林，不知寺內(nèi)幾多僧。364只碗，看看用盡不差爭。三人共食一碗飯，四人共吃一碗羹。請問先生明算者，算來寺內(nèi)幾多僧。詩句的意思是：寺內(nèi)有三百六十四只碗，如果三個和尚共吃一碗飯，四個和尚共吃一碗羹，剛好夠用，寺內(nèi)共有和尚多少個？題型六：行程問題6甲乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機從兩地同時出發(fā)相向而行，1小時20分后相遇。相遇后，拖拉機繼續(xù)前進，汽車在相遇處停留1小時后原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時后追上了拖拉機，這時汽車、拖拉機從開始到現(xiàn)在各自行駛了多少千米？題型七：工程問題7某城市為了緩解缺水狀況，實施了一項飲水工程，就是把200千米以外的的一條大河的水引到城市中來，把這個工程交給了甲乙兩個施工隊，工期為50天，甲、乙兩隊合作了30天后，乙隊因另有任務(wù)需要離開10天，于是甲隊加快速度，每天多修了0.6千米，10天后乙隊回來，為了保證工期，甲隊保持現(xiàn)在的速度不變，乙隊也比原來多修0.4千米，結(jié)果如期完成。問甲乙兩隊原計劃每天各修多少千米？題型八：方案決策問題8已知某電腦公司有A型、B型、C型三種型號的電腦，其價格分別為A型每臺6000元，B型每臺4000元，C型每臺2500元，我市東坡中學(xué)計劃將100500元錢全部用于從該電腦公司購進其中兩種不同型號的電腦共36臺，請你設(shè)計出幾種不同的購買方案供該校選擇，并說明理由。9某地生產(chǎn)的一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元，經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140噸該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工16噸；如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行受季節(jié)等條件限制，公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢為此，公司研制了三種加工方案：方案一：將蔬菜全部進行粗加工方案二：盡可能多地對蔬菜進行精加工，沒來得及進行加工的蔬菜在市場上直接銷售方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好用15天完成你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多？為什么？