高等數(shù)學(xué)之《中值定理》

,一、羅爾(Rolle)定理,例如,物理解釋:,變速直線運(yùn)動在折返點處,瞬時速度等于零.,幾何解釋:,證,注意:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.,例如,又例如,例1,證,由介值定理,即為方程的小于1的正實根.,矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,幾何解釋:,證,分析:,弦AB方程為,作輔助函數(shù),拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.,拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.,拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.,微分中值定理,推論,例2,證,例3,證,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,幾何解釋:,證,作輔助函數(shù),例4,證,分析:,結(jié)論可變形為,四、小結(jié),Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；,注意定理成立的條件；,注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.,思考題,試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可.,思考題解答,不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；,且,不滿足在開區(qū)間內(nèi)可微的條件；,以上兩個都可說明問題.,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,