2010屆高三數(shù)學(xué)理第二輪復(fù)習(xí)學(xué)案學(xué)案22 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例

1.掌握簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣. 2.了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣. 3.會(huì)畫頻率分布直方圖,會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差,并會(huì)用樣 本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布,用樣本的數(shù)字特 征估計(jì)總體的數(shù)字特征. 4.能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立回歸方程. 5.了解回歸分析的基本思想、方法及簡(jiǎn)單應(yīng)用,了解 獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求22列聯(lián)表)的基本思想、方法 及簡(jiǎn)單應(yīng)用.,學(xué)案22 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例,1.一個(gè)容量為100的樣本,其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù) 如下： 則樣本容量數(shù)據(jù)落在(10,40上的頻率為 ( ) A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64 解析 (10,40包含(10,20,(20,30,(30,40三部 分,共13+24+15=52(個(gè))樣本數(shù)據(jù),故數(shù)據(jù)落在(10, 40上的頻率為,C,2.(2009山東)某工廠對(duì)一批產(chǎn) 品進(jìn)行了抽樣檢測(cè),右圖是根據(jù) 抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重(單位: 克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖, 其中產(chǎn)品凈重的范圍是96,106,樣本數(shù)據(jù)分組為 96,98),98,100),100,102),102,104),104, 106.已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36,則 樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的 個(gè)數(shù)是 ( ) A.90 B.75 C.60 D.45,解析 產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050+0.100) 2=0.300,已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36, 設(shè)樣本容量為n,則 所以n=120,凈重大于或 等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為(0.100+ 0.150+0.125)2=0.75,所以樣本中凈重大于或等于 98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是1200.75=90. 答案 A,3.(2009湖南)一個(gè)總體分為A,B兩層,用分層抽樣方 法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本,已知B層中每 個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為 則總體中的個(gè)體數(shù)為 _. 解析 由分層抽樣定義知,任何個(gè)體被抽到的概率都 是一樣的,設(shè)總體中個(gè)體數(shù)為x,則 x=120.,120,題型一 抽樣方法 【例1】某校共有學(xué)生2 000名,各年級(jí)男、女生人數(shù) 如下表.已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名,抽到二年級(jí) 女生的概率是0.19.現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取 64名學(xué)生,則應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為 ( ) A.24 B.48 C.16 D.12,解析 依題意知二年級(jí)的女生有380名,那么三年級(jí)學(xué) 生的人數(shù)應(yīng)該是2 000-373-377-380-370=500,即總體 中各個(gè)年級(jí)的人數(shù)比例為3:3:2,故在分層抽樣中應(yīng)在 三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為 答案 C 【探究拓展】分層抽樣適用于數(shù)目較多且各部分之間 具有明顯差異的總體,無(wú)論采用哪一種抽樣方法,在 整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是相等的, 等于樣本容量與總體容量的比值.,變式訓(xùn)練1 某學(xué)校共有教師490人,其中不到40歲的 有350人,40歲及以上的有140人.為了了解普通話在 該學(xué)校的推廣普及情況,用分層抽樣的方法從全體教 師中抽取一個(gè)容量為70人的樣本進(jìn)行普通話水平測(cè) 試,其中不到40歲的教師應(yīng)抽取的人數(shù)為 ( ) A.30 B.40 C.50 D.60 解析 因抽取的比例為 故在不到40歲的教師 中抽取的人數(shù)為,C,題型二 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 【例2】(2009四川)設(shè)矩形的長(zhǎng)為a,寬為b,其比滿 足b:a= 這種矩形給人以美感,稱為黃金 矩形,黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中,下面是某工 藝品廠隨機(jī)抽取兩個(gè)批次的初加工矩形寬度與長(zhǎng)度 的比值樣本: 甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620,根據(jù)上述兩個(gè)樣本來(lái)估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù),與 標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較,正確結(jié)論是 ( ) A.甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近 B.乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近 C.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同 D.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定 解析 (0.598-0.618)+(0.625-0.618)+(0.628- 0.618)+(0.595-0.618)+(0.639-0.618)=-0.001, (0.618-0.618)+(0.613-0.618)+(0.592-0.618)+ (0.622-0.618)+(0.620-0.618)=-0.005,| -0.618| -0.618|. 甲批次的總體平均數(shù)更接近標(biāo)準(zhǔn)值. 答案 A,變式訓(xùn)練2 甲、乙、丙三名射箭運(yùn)動(dòng)員在某次測(cè)試 中各射箭20次,三人的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤?s1,s2,s3分別表示甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員這次測(cè)試成績(jī) 的標(biāo)準(zhǔn)差,則有 ( ) A.s3s1s2B.s2s1s3 C.s1s2s3D.s2s3s1 解析,由 得s2s1s3. 答案 B,題型三 回歸分析 【例3】為了對(duì)2009年某市中考成績(jī)進(jìn)行分析,所有成 績(jī)均按百分制進(jìn)行折算,在60分以上的全體同學(xué)中隨 機(jī)抽取8位,他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)從小到大排是60,65,70, 75,80,85,90,95,物理分?jǐn)?shù)從小到大排是72,77,80, 84,88,90,93,95.若規(guī)定85分(包括85分)以上為優(yōu) 秀, (1)求這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)均 為優(yōu)秀的概率； (2)若這8位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)如表:,用變量y與x,z與x的相關(guān)系數(shù)說(shuō)明物理與數(shù)學(xué),化學(xué) 與數(shù)學(xué)的相關(guān)程度； 求y與x,z與x的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01),并 用相關(guān)指數(shù)比較所求回歸模型的效果. 參考數(shù)據(jù)：,解 (1)這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理成績(jī) 均為優(yōu)秀,則需要先從物理的4個(gè)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)中選出3個(gè) 與數(shù)學(xué)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng),種數(shù)是 然后將剩 下的5個(gè)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)與物理分?jǐn)?shù)任意對(duì)應(yīng),種數(shù)是 根 據(jù)乘法原理,滿足條件的種數(shù)是 這8位同學(xué)的 物理分?jǐn)?shù)和數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分別對(duì)應(yīng)的種數(shù)共有 種. 故所求的概率P=,(2)變量y與x,z與x的相關(guān)系數(shù)分別是 可以看出,物理與數(shù)學(xué),化學(xué)與數(shù)學(xué)的成績(jī)都是高度正 相關(guān). 設(shè)y與x,z與x的線性回歸方程分別是 根據(jù)所給的數(shù)據(jù), 可以計(jì)算出 a=85-0.6677.5=33.85, a=81-0.7277.5=25.20. 所以y與x,z與x的線性回歸方程分別是,又y與x,z與x的相關(guān)系數(shù)是 故回歸模型 比回歸模型 25.20的擬合效果好. 【探究拓展】一般地,在尚未確定兩個(gè)變量之間是否 具有線性相關(guān)關(guān)系的情況下,應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn), 在確定具有相關(guān)關(guān)系后,再求回歸直線方程.如果利 用散點(diǎn)圖觀察兩個(gè)變量是否具有相關(guān)性不太明顯時(shí), 可以通過(guò)計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量相關(guān)系數(shù)進(jìn)行判斷.對(duì) 于多個(gè)回歸模型回歸直線方程可通過(guò)計(jì)算其相 關(guān)指數(shù)來(lái)比較它們擬合效果的強(qiáng)弱,相關(guān)指數(shù)越大擬 合效果越好.,變式訓(xùn)練3 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生 產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗 y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù): (1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于 x的線性回歸方程 (2)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸 標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn) 100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn) 煤?(參考數(shù)值:32.5+43+54+64.5=66.5).,解 (1) =32.5+43+54+64.5=66.5. =32+42+52+62=86, 故線性回歸方程為 (2)根據(jù)回歸方程的預(yù)測(cè),現(xiàn)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品消耗的 標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量為0.7100+0.35=70.35(噸),故耗能減 少了90-70.35=19.65噸標(biāo)準(zhǔn)煤.,題型四 獨(dú)立性檢驗(yàn) 【例4】為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生選修文科是否與性 別有關(guān),現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生,得到如下22列聯(lián)表: 已知P(K23.841)0.05,P(K25.024)0.025. 則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性有多大? 解 根據(jù)表中數(shù)據(jù), 得到 由于3.8414.8445.024,故有95%的把握認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系, 所以認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性為5%. 【探究拓展】獨(dú)立性檢驗(yàn)關(guān)鍵是準(zhǔn)確計(jì)算出K2,在計(jì) 算時(shí)充分利用22列聯(lián)表,在進(jìn)行相關(guān)和無(wú)關(guān)的判斷 時(shí),一定要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題,從實(shí)踐中尋找相關(guān)事例,切 忌盲從.,變式訓(xùn)練4 防疫站為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果, 進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn),服用該藥的動(dòng)物共有55只,其中有10 只患病,沒(méi)有服用該藥的動(dòng)物中患病的有20只,不患 病的有30只. (1)列出藥物效果實(shí)驗(yàn)的列聯(lián)表; (2)根據(jù)下表,利用獨(dú)立性檢驗(yàn)估計(jì)有多大把握認(rèn)為 藥物有效.,解 (1)藥物效果實(shí)驗(yàn)的列聯(lián)表如下圖： (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得到 K2=6.1095.024, 有97.5%的把握認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效果.,【考題再現(xiàn)】 (2009山東)汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車 均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào),某月的產(chǎn)量如下表 (單位:輛): 按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取 50輛,其中有A類轎車10輛.,(1)求z的值; (2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5 的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2輛,求至少 有1輛舒適型轎車的概率; (3)用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛, 經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3, 9.0,8.2.把這8輛車的得分看成一個(gè)總體,從中任取一 個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的 概率. 【解題示范】 解 (1)設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車n輛, 由題意得 所以n=2 000.,則z=2 000-(100+300)-(150+450)-600=400. 4分 (2)設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車, 由題意 得a=2. 因此抽取的容量為5的樣本中,有2輛舒適型轎車,3輛 標(biāo)準(zhǔn)型轎車. 用A1,A2表示2輛舒適型轎車,用B1,B2,B3表示3輛標(biāo)準(zhǔn) 型轎車.用E表示事件“在該樣本中任取2輛,其中至少 有1輛舒適型轎車”, 則基本事件空間包含的基本事件有: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2) (A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共10個(gè),事件E包含,的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)共7個(gè). 7分 故P(E)= 即所求概率為 8分 (3)樣本平均數(shù) = (9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+ 9.0+8.2)=9. 10分 設(shè)D表示事件“從樣本中任取一數(shù),該數(shù)與樣本平均數(shù) 之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5”,則基本事件空間中有8個(gè) 基本事件,事件D包括的基本事件有:9.4,8.6,9.2, 8.7,9.3，9.0,共6個(gè),所以P(D)= 即所求概率 為 12分,1.抽樣方法主要有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽 樣三種,這三種抽樣方法各自適用不同特點(diǎn)的總體, 它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系,但不論是哪種抽樣方 法,在整個(gè)抽樣過(guò)程中,每一個(gè)個(gè)體被抽到的概率是 相等的,都等于樣本容量和總體容量的比值.此外還 要注意分層抽樣中有關(guān)數(shù)值的計(jì)算. 2.頻率分布直方圖中每一個(gè)小矩形的面積等于數(shù)據(jù)落 在相應(yīng)區(qū)間上的頻率,所有小矩形的面積之和等于1. 3.正態(tài)分布也是日常生活中一種常見(jiàn)的分布,要了解 正態(tài)曲線的特征,會(huì)進(jìn)行非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) 分布之間的轉(zhuǎn)化，能夠進(jìn)行有關(guān)的數(shù)值計(jì)算.,一、選擇題 1.(2009福建)已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率低 于40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投 籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取 整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9, 0表示不命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投 籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù): 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989,據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為 ( ) A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 解析 由題意知在20組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰有兩 次命中的有:191、271、932、812、393,共5組隨機(jī) 數(shù),故所求概率為 2.某公司甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120 個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的 情況,需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣 本,記這項(xiàng)調(diào)查為；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售,B,點(diǎn),要從中抽取7個(gè)調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況,記 這項(xiàng)調(diào)查為.則完成、這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽 樣方法依次是 ( ) A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法 C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法 解析 因?yàn)槌槿〉匿N售點(diǎn)與地區(qū)有關(guān),因此采用分 層抽樣法,從20個(gè)特大型銷售點(diǎn)中抽取7個(gè)調(diào)查,總 體和樣本容量都比較少,適合采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法.,B,3.下表是x與y之間的一組數(shù)據(jù),則y關(guān)于x的線性回歸方 程 必過(guò) ( ) A.點(diǎn)(2,2) B.點(diǎn)(1.5,2) C.點(diǎn)(1,2) D.點(diǎn)(1.5,4) 解析 回歸直線方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)(x,y),經(jīng)計(jì)算 得(1.5,4).,D,4.選擇薪水高的職業(yè)是人之常情,假如張偉和李強(qiáng)兩 人大學(xué)畢業(yè)有甲、乙兩人公司可供選擇,現(xiàn)從甲、乙 兩個(gè)公司分別隨機(jī)抽取50名員工的月工資的資料,統(tǒng) 計(jì)如下:根據(jù)以上的統(tǒng)計(jì)信息,若張偉想找一份工資 比較穩(wěn)定的工作,而李強(qiáng)想找一份有挑戰(zhàn)性的工作, 則他倆分別選擇的公司是 ( ),A.甲、乙 B.乙、甲 C.都選擇甲 D.都選擇乙 解析 由表中的信息可知,甲公司的工資標(biāo)準(zhǔn)差遠(yuǎn)小 于乙公司的工資標(biāo)準(zhǔn)差,這表示甲公司的工資比較穩(wěn) 定,張偉想找一份工資比較穩(wěn)定的工作,會(huì)選擇甲公 司;而乙公司的工資最大值和極差遠(yuǎn)大于甲公司的工 資最大值和極差,李強(qiáng)想找一份有挑戰(zhàn)性的工作,會(huì)選 擇乙公司. 答案 A,二、填空題 5.某班級(jí)共有學(xué)生52人,現(xiàn)將學(xué)生隨機(jī)編號(hào),用系統(tǒng)抽 樣法,抽取一個(gè)容量為4的樣本,已知6號(hào),32號(hào),45號(hào) 同學(xué)在樣本中,那么樣本中還有一個(gè)同學(xué)的編號(hào)是 _號(hào). 解析 間距為 又在第一組中抽取的是6,所以 應(yīng)該依次抽取:6+13=19,6+213=32,6+313=45,故 還有一個(gè)編號(hào)為19.,19,6.從一堆蘋果中任取20個(gè),并得到它們的質(zhì)量(單位: 克)數(shù)據(jù)分布表如下： 則這堆蘋果中,質(zhì)量小于120克的蘋果數(shù)約占蘋果總 數(shù)的_%. 解析 根據(jù)條件可得110,120)內(nèi)的頻數(shù)為20-1-2-3 -10-1=3,則樣本中質(zhì)量小于120克的蘋果個(gè)數(shù)為1+2+ 3=6,其頻率為 即約占蘋果總數(shù)的30%.,30,7.(2009湖北)樣本容量為200的頻率分布直方圖如 圖所示.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計(jì),樣本數(shù)據(jù) 落在6,10)內(nèi)的頻數(shù)為_.數(shù)據(jù)落在2,10)內(nèi)的概 率約為_. 解析 由于組距為4,因此在6,10)之間的頻率為 0.084=0.32,其頻數(shù)為0.32200=64. 落在2,10)之間的概率約為(0.02+0.08)4=0.4.,0.4,64,三、解答題 8.根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)API(為整數(shù))的不同,可將空氣質(zhì) 量分級(jí)如下表： 對(duì)某城市一年(365天)的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè),獲得的 API數(shù)據(jù)按照區(qū)間0,50,(50,100,(100,150, (150,200,(200,250,(250,300進(jìn)行分組,得到頻 率分布直方圖如圖.,(1)求直方圖中x的值; (2)計(jì)算一年中空氣質(zhì)量分別為良和輕微污染的天數(shù); (3)求該城市某一周至少有2天的空氣質(zhì)量為良或輕微 污染的概率. (結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示.已知57=78 125,27=128, 365=735）,解,(3)記良為A,輕微污染為B,返回,