概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題二及答案.pdf
西南交通大學(xué) 2017 2018 學(xué)年第( 一 )學(xué)期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習(xí)題答案 1 概率論 與 數(shù)理統(tǒng)計 B 習(xí)題 二 答案 A 1. 下列給出的數(shù)列,哪些 可作為 隨機變量的分布律,并說明理由 。 ( 1) 15i ip ( 0,1,2,3,4,5)i ; ( 2) 6 )5( 2ip i ( 0,1,2,3)i ; ( 3) 251ip i ( 1,2,3,4,5)i 。 解: 要說明題中給出的數(shù)列,是否是隨機變量的分布律,只要驗證 ip 是否滿足下列二 個條件:其一條件為 ,2,1,0 ipi , 其二條件為 1 i ip 。 依據(jù)上面的說明可得( 1)中的數(shù)列為隨機變量的分布律;( 2)中的數(shù)列不是隨機變量 的分布律,因為 0 646 953 p ; ( 3)中的數(shù)列不是隨機變量的分布律,這是因為 51 12520i ip 。 2. 一袋中有 5 個乒乓球,編號分別為 1, 2, 3, 4, 5.從中隨機地取 3 個,以 X 表示取 出的 3 個球中最大號碼,寫出 X 的分布律和分布函數(shù) 。 解: 依題意 X 可能取到的值為 3, 4, 5,事件 3X 表示隨機取出的 3 個球的最大號 碼為 3,則另兩個球的只能為 1 號, 2 號,即 10 1 3 5 13 XP ;事件 4X 表示隨機取 出的 3 個球的最大號碼為 4,因此另外 2 個球可在 1、 2、 3 號球中任選,此時 103 3 5 2 31 4 XP ;同理可得 106 3 5 2 41 5 XP 。 X 的分布律為 X 3 4 5 概率 101 103 106 西南交通大學(xué) 2017 2018 學(xué)年第( 一 )學(xué)期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習(xí)題答案 2 X 的分布函數(shù)為 0 3x xF 101 43 x 104 54 x 1 5x 3. 從一批含有 10 件正品及 3 件次品的產(chǎn)品中一件一件地抽取產(chǎn)品 .設(shè)每次抽取時,所面 對的各件產(chǎn)品被抽到的可能性相等 .在下列三種情形下,分別求出直到取得正品為止所需次 數(shù) X 的分布律: ( 1)每次取出的產(chǎn)品立即放回這批產(chǎn)品中再取下一件產(chǎn)品; ( 2)每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中; ( 3)每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回這批產(chǎn)品中 。 解: ( 1)設(shè)事件 ,2,1, iAi 表示第 i 次抽到的產(chǎn)品為正品,依題意, ,1 nAA 相互 獨立,且 ,2,1,1310 iAP i 而 ,2,1,1310133 11111 kAPAPAPAAAPkXP kkkkk 即 X 服從參數(shù) 1310p 的幾何分布。 ( 2)由于每次取出的產(chǎn)品不再放回,因此, X 可能取到的值為 1, 2, 3, 4, 1 0 3 1 0 51 , 2 , 1 3 1 3 1 2 2 6 3 2 1 0 5 3 2 1 1 0 13 , 4 1 3 1 2 1 1 1 4 3 1 3 1 2 1 1 1 0 2 8 6 P X P X P X P X 。 X 的分布律為 X 1 2 3 4 概率 1310 265 1435 2861 ( 3) X 可能取到的值為 1, 2, 3, 4, 1 0 3 1 1 3 31 , 2 , 1 3 1 3 1 3 1 6 9 3 2 1 2 7 2 3 2 1 63 , 4 1 3 1 3 1 3 2 1 9 7 1 3 1 3 1 3 2 1 9 7 P X P X P X P X 。 所求 X 的分布律為 X 1 2 3 4 概率 1310 16933 219772 21976 4. 設(shè)隨機變量 X ),6( pB ,已知 )5()1( XPXP ,求 p 與 )2( XP 的值 。 西南交通大學(xué) 2017 2018 學(xué)年第( 一 )學(xué)期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習(xí)題答案 3 解: 由于 pBX ,6 , 因此 6,1,0,166 6 kppkXP kk 。 由此可算得 ,165,161 55 ppXPppXP 即 ,1616 55 pppp 解得 21p ; 此時, 641521!2 562121262 6262 XP 。 5. 某商店出售某種物品,根據(jù)以往的經(jīng)驗,每月銷售量 X 服從參數(shù) 4 的泊松分布 , 問在月初進貨時,要進多少才能以 99的概率充分滿足顧客的需要? 解: 設(shè)至少要進 n 件物品,由題意 n 應(yīng)滿足 ,99.0,99.01 nXPnXP 即 99.0 !41 10 4 nk k eknXP , 則 99.0 !40 4 nk k eknXP , 查泊松分布表可求得 9n 。 6. 有一汽車站有大量汽車通過,每輛汽車在一天某段時間出事故的概率為 0.000 1.在某 天該段時間內(nèi)有 1 000 輛汽車通過,求事故次數(shù)不少于 2 的概率 。 解: 設(shè) X 為 1000 輛汽車中出事故的次數(shù),依題意, X 服從 0001.0,1000 pn 的二項 分布,即 0001.0,1000 BX ,由于 n 較大, p 較小,因此也可以近似地認(rèn)為 X 服從 1.00001.01000 np 的泊松分布,即 1.0PX ,所求概率為 01 0 . 1 0 . 1 2 1 0 1 0 .1 0 .11 0 ! 1 ! 1 0 .9 0 4 8 3 7 0 .0 9 0 4 8 4 0 .0 0 4 6 7 9 P X P X P X ee 。 7. 設(shè)隨機變量 X 的密度函數(shù)為 2,() 0,xfx 0,xA其 他 , 試求:( 1)常數(shù) A;( 2) )5.00( XP 。 解: ( 1) xf 成為某個隨機變量的密度函數(shù)必須滿足二個條件,其一為 0 xf ;其二為 1dxxf ,因此有 A xdx0 12 ,解得 1A ,其中 1A 舍去,即取 1A 。 ( 2)分布函數(shù) x dxxfxXPxF = x x x dxx d xdx x d xdx dx 1 0 1 0 0 0 020 20 0 1 10 0 x x x 西南交通大學(xué) 2017 2018 學(xué)年第( 一 )學(xué)期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習(xí)題答案 4 = 1 0 2x 1 10 0 x x x 8. 設(shè)隨機變量 X 的密度函數(shù)為 ( ) e xf x A ()x ,求:( 1)系數(shù) A;( 2) )10( XP ;( 3) X 的分布函數(shù) 。 解: ( 1)系數(shù) A 必須滿足 1dxAe x ,由于 xe 為偶函數(shù),所以 122 0 0 dxAedxAedxAe xxx 解得 21A ; ( 2) 11 010 121212110 edxedxeXP xx ; ( 3) x dxxfxF = x xx x x dxedxe dxe 0 0 2 1 2 1 2 1 0 0 x x = x xx x x dxedxe dxe 0 0 2 1 2 1 2 1 0 0 x x = x x e e 1 2 1 2 1 2 1 0 0 x x = x x e e 2 11 2 1 0 0 x x 9. 證明:函數(shù) 22e , 0,() 0, 0, x cx xfx c x ( c 為正的常數(shù)) 可作 為一個密度函數(shù) 。 證明: 由于 0 xf ,且 1 2 02 2 0 22 222 cxcxcx e c xdedxe c xdxxf , 因此 xf 滿足密度函數(shù)的二個條件,由此可得 xf 為某個隨機變量的密度函數(shù)。 西南交通大學(xué) 2017 2018 學(xué)年第( 一 )學(xué)期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習(xí)題答案 5 10. 設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù)為 0() 1 (1 )e xFx x , 0, 0,xx 求 X 的密度函數(shù),并計算 )1( XP 和 )2( XP 。 解: 由分布函數(shù) xF 與密度函數(shù) xf 的關(guān)系,可得在 xf 的一切連續(xù)點處有 xFxf , 因此 xf ,0,xxe 其他 0 x 所求概率 11 2111111 eeFXP ; 22 3211121212 eeFXPXP 。 11. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間 X(單位: min) 是一隨機變量,它 服從 51 的指數(shù)分布,其密度函數(shù)為 51e() 5 0 x fx , 0,x其 它 . 某顧客在窗口等待服務(wù),若超過 10 min,他 就離開 。 ( 1)設(shè)某顧客某天去銀行,求他未等到服務(wù)就離開的概率; ( 2) 設(shè)某顧客一個月要去銀行五次,求他五次中至多有一次未等到服務(wù)而離開的概率 。 解: ( 1)設(shè)隨機變量 X 表示某顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時間,依題意 X 服從 51 的指數(shù)分布,且顧客等待時間超過 10min 就離開,因此,顧客未等到服務(wù)就離開的概率為 10 255110 edxeXP x; ( 2)設(shè) Y 表示某顧客五次去銀行未等到服務(wù)的次數(shù),則 Y 服從 2,5 epn 的二項 分布,所求概率為 422 4225202 141 115105 101 ee eeee YPYPYP 12. 設(shè)隨機變量 X 服從 )1,0(N ,借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表計算:( 1) )2.2( XP ; ( 2) )76.1( XP ;( 3) )78.0( XP ;( 4) )55.1( XP ;( 5) )5.2( XP 。 解: 查正態(tài)分布表可得 ( 1) 9861.02.22.2 XP ; 西南交通大學(xué) 2017 2018 學(xué)年第( 一 )學(xué)期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習(xí)題答案 6 ( 2) 0392.09608.0176.1176.1176.1 XPXP ; ( 3) 2177.07823.0178.0178.078.0 XP ; ( 4) 55.155.155.155.155.1 XPXP 8788.019394.02155.1255.1155.1 ( 5) 15.2215.215.2 XPXP 0124.09938.0125.222 。 13. 設(shè)隨機變量 X 服從 )16,1(N ,借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表計算: ( 1) )44.2( XP ;( 2) )5.1( XP ;( 3) )8.2( XP ;( 4) )4( XP ;( 5) )25( XP ;( 6) )11( XP ;( 7)確定 a,使得 )()( aXPaXP 。 解: 當(dāng) 2, X 時, abbXaP ,借助于該性質(zhì),再查 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表可求得 : ( 1) 8051.086.0 4 144.244.2 XP ; ( 2) 125.01 4 15.115.1 XP 5498.0125.0125.011 ; ( 3) 3264.06736.0145.0145.0 4 18.28.2 XP ; ( 4) 75.025.1 4 144 144 XP 6678.07734.018944.075.0125.1 ; ( 5) 175.0 4 154 1225 XP 9321.018413.07734.01175.0 ; 西南交通大學(xué) 2017 2018 學(xué)年第( 一 )學(xué)期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習(xí)題答案 7 ( 6) 4 104 12120111111 XPXPXP 8253.05987.07724.0125.075.01 ; ( 7) 1( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2P X a P X a P X a P X a P X a 1 1 1( ) 0 14 2 4aa a 。 14. 某廠生產(chǎn)的滾珠直徑 X 服從正態(tài)分布 )01.0,05.2(N ,合格品的規(guī)格規(guī)定直徑為 2.02 ,求滾珠的合格率 。 解: 所求得概率為 2 . 2 2 . 0 5 1 . 8 2 . 0 52 0 . 2 2 0 . 2 0 . 1 0 . 1PX 1 . 5 2 . 5 1 . 5 1 2 . 5 0 .9 3 3 2 1 0 .9 9 3 8 0 .9 2 7 15. 某人上班 路上 所需的時間 )100,30( NX (單位: min),已知上班時間是 8: 30. 他每天 7: 50 分出門,求 :( 1)某天遲到的概率;( 2)一周(以 5 天計)最多遲到一次的概 率 。 解: ( 1)由題意知某人路上所花時間超過 40 分鐘,他就遲到了,因此所求概率為 1587.08413.011110 3040140 XP ; ( 2)記 Y 為 5 天中某人遲到的次數(shù),則 Y 服從 1587.0,5 pn 的二項分布, 5 天 中最多遲到一次的概率為 8192.08413.01587.0158413.01587.0151 450 YP 。 16. 設(shè)隨機變量 X 在 6,1 上服從均勻分布,求方程 012 Xtt 有實根的概率。 解 : X 的密度函數(shù)為 xf ,51 61 x ; ,0 其他 。 方程 012 Xtt 有實根的充分必要條件為 042 X ,即 42X ,因此所求得概率為 622 5451022224 dxXPXPXXPXP 或。 17. 設(shè)隨機變量 2 (10,2 )XN ,令 32YX,試求: ( 1) Y 的概率密度函數(shù); ( 2) 概率 26 38PY ( (0.5) 0.6915 , (1) 0.8413 ) 。 西南交通大學(xué) 2017 2018 學(xué)年第( 一 )學(xué)期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習(xí)題答案 8 解:因為 2 (10,2 )XN ,故 23 2 (3 2 , 6 )Y X N ( 1) Y 的概率密度函數(shù)為: 2( 3 )721() 62 y Yf y e y ( 2) 3 8 3 2 2 6 3 2 2 6 3 8 1 1 66PY 2 1 1 0 . 8 4 1 3 0 . 6 8 2 6 。 18. 設(shè)隨機變量 X 的概率密度為 其它0 2c o s)( xxA xf X ,試求: ( 1) 常數(shù) A;( 2) XY sin 的概率密度。 解: ( 1) 因為 /2 /2 /2/21 ( ) c o s s i n | 2f x d x A x d x A x A ,故 12A ; ( 2) 因為 1 c o s() 22 0X xxfx 其 它 , sinyx , c o s 0 ( / 2 )y x x , ( ) arcsinx h y y , 2 1( ) 1 11h y yy 所以由公式可得: 2 1 1 1( ( ) ) ( ) c o s ( a r c s in ) 1 1 22() 1 0 X Y f h y h y y yfy y 其 他 19. 設(shè) X 的分布律為 X -2 -0.5 0 2 4 概率 81 41 81 61 31 求出:以下隨機變量的分布律。 ( 1) 2X ; ( 2) 1X ; ( 3) 2X 。 解:由 X 的分布律可列出下表 概率 81 41 81 61 31 X -2 -0.5 0 2 4 2X 0 1.5 2 4 6 1X 3 1.5 1 -1 -3 2X 4 0.25 0 4 16 由此表可定出 西南交通大學(xué) 2017 2018 學(xué)年第( 一 )學(xué)期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習(xí)題答案 9 ( 1) 2X 的分布律為 2X 0 23 2 4 6 概率 81 41 81 61 31 ( 2) 1X 的分布律為 1X -3 -1 1 23 3 概率 31 61 81 41 81 ( 3) 2X 的分布律為 2X 0 41 4 16 概率 81 41 247 31 其中 24761812242 XPXPXP 。 20. 設(shè)隨機變量 X 服從參數(shù)為 1 的指數(shù)分布,求隨機變量的函數(shù) XeY 的密度函數(shù) yfY 。 解 : xfX ,0, xe 0;x其 他 xey 的反函數(shù) yyhyyh 1,ln ,因此所求的 Y 的密度函數(shù)為 yhyhfyf XY ln 1, 0, ye y , ;0ln其他 y = ,0 ,12y .;1其他 y B 1. 有 2500 名小學(xué)生獨立參加了保險公司舉辦的平安保險,每個參加保險的小學(xué)生一年 交付保險費 12 元,若在一年內(nèi)出現(xiàn)意外傷害事故,保險公司一次性賠付 10000 元,設(shè)在一 年內(nèi)每名小學(xué)生出事故的概率為 0.002,求:( 1)保險公司虧本的概率;( 2)保險公司獲利 不少于 10000 元的概率。 西南交通大學(xué) 2017 2018 學(xué)年第( 一 )學(xué)期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習(xí)題答案 10 解:設(shè) A 公 司 出 現(xiàn) 虧 本, 1 0 0 0 0 B 公 司 獲 利 不 少 于 元, X 為一年內(nèi)出現(xiàn)意外 事故的學(xué)生人數(shù),則 (2500, 0.002)XB 。 ( 1)若一年內(nèi)有 X 名學(xué)生出事故,則保險公司應(yīng)賠付 10000X 元,則該事件發(fā)生的概率 為: 2 5 0 0 3 40 33 2 5 0 0 5 5 2500 00 ( ) 1 0 0 0 0 2 5 0 0 1 2 3 ( ) 1 ( ) 5 2 3 61 ( 0 . 0 0 2 ) ( 0 . 9 9 8 ) 1 1 0 . 7 3 !6 kk k k k k kk P A P X P X P X k P X k C e ek , ( 2)保險公司獲利不少于 10000 元的概率為: 22 55 00 5( ) 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 ( ) 1 8 . 5 0 . 1 2!k kkP B P X P X P X k e ek 。 2. 設(shè)連續(xù)型隨機變量 X 的分布函數(shù)為 2 0 , 0 ( ) , 0 1 1, 1 x F x A x x x ,試求:( 1)系數(shù) A ;( 2) X 落在 1( 1, )2 及 1( ,2)3 內(nèi)的概率;( 3) X 的概率密度。 解:( 1)由 ()Fx的連續(xù)性,有 1lim ( ) (1)x F x F ,即 2 1lim 1x Ax ,得 1A ,于是: 20 , 0( ) , 0 1 1, 1 x F x x x x ; ( 2) 21 1 1 1 1 ( ) ( 1 ) ( ) 02 2 2 4P X F F , 21 1 1 8 2 ( 2 ) ( ) 1 ( )3 3 3 9P X F F ; ( 3) 2 , 0 1( ) ( ) 0, xxf x F x 其 他 。 3. 設(shè)隨機變量 X 的概率密度為 2 , 0 1 1( ) , 1 2 0, b x x f x xx 其 他 ,試確定常數(shù) b ,并求其分布 函數(shù)。 解: 12 201 111 ( ) 0 122bf x d x b x d x d x bx ; 當(dāng) 0 x 時, ( ) ( ) 0 xF x f t d t ; 當(dāng) 01x時, 20 0( ) ( ) ( ) 2 xx xF x f t d t f t d t t d t ; 西南交通大學(xué) 2017 2018 學(xué)年第( 一 )學(xué)期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習(xí)題答案 11 當(dāng) 12x時, 01 201 1 3 1( ) ( ) ( ) 2xxF x f t d t f t d t t d t d ttx ; 當(dāng) 2x 時, ( ) 1Fx ; X 的分布函數(shù)為 2 0 , 0 , 0 1 2() 31 , 1 2 2 1 , 2 x x x Fx x x x 。 4. 設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù)為 0 1ln 1 1 x F x A x x e xe ,試求:( 1)常數(shù) A;( 2) 2PX , P X e 。 解:( 1) 根據(jù)分布函數(shù)的右連續(xù)性可知: 0l i m ( ) 1 ( ) l n 1xe F x F e A e A A ; ( 2) | | 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) l n 2 0 l n 2P X P X F F ; 0P X e。 5. 隨機變量 X 的概率密度函數(shù)為 2 , | | 1() 1 0, c x fx x 其 他 ,求:( 1) c 的值;( 2) X 落在 11( , )22 內(nèi)的概率。 解:( 1) 1 1 0211 ( ) 2 a r c s i n 2 21 cf x d x d x c x c cx ,得 1c ; ( 2) 1 12 21 02 2 1 1 1 2 2 1 a r c s i n2 2 6 31 dxP X xx 。 6. 隨機變量 X 的概率密度函數(shù)為 c o s , |x | 2 ,() 0,Axfx 其 他 , 求:( 1) A 的值;( 2) ()Fx;( 3) 0 4PX 。 西南交通大學(xué) 2017 2018 學(xué)年第( 一 )學(xué)期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習(xí)題答案 12 解:( 1)由 22 201 c o s 2 c o s 2A x d x A x d x A ,得 12A 。 ( 2)當(dāng) 2x 時, ( ) 0Fx ;當(dāng) 2x 時, ( ) 1Fx ; 當(dāng) 22x 時, 2 1 1 1( ) c o s s i n2 2 2xF x x d x x ;所以 0 , x < 2 , ( ) 1 2 s in 2 , 2 x < 2 , 1 , 2 . f x x x ( 3) 0 4 ( 4 ) ( 0 ) 2 4P X F F 。 7. 公共汽車門的高度是按男子與車門碰頭的機會在 0.01 以下設(shè)計的,設(shè)男子身高(單 位: cm) (170,36)XN ,求應(yīng)如何選擇車門的高度。 解:設(shè)男子身高為 X ,選擇的車門高度 x 應(yīng)滿足: 0.01P X x,且 (170,36)XN , 所以 1 7 0 1 7 0 0 . 0 166XxP X x P 170( ) 0.996x , 170 2.336x 183.98x ,故選擇的車門高度應(yīng)為 183.98cm,即可取 1.84 米。 C 1. 設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù) ()Fx連續(xù),且嚴(yán)格單調(diào)增加,求 ()Y F X 的概率密度。 解:設(shè) Y 的分布函數(shù)為 ()YFy,則 11( ) ( ) ( ) ( ) YF y P Y y P F X y P X F y F F y y , 當(dāng) 0y 時, ( ) 0YFy ,當(dāng) 1y 時, ( ) 1YFy ,故 0 , 0( ) , 0 1 1, 1Y y F y y y y ,于是 Y 的概率密度為 1, 0 1() 0,Y yfy 其 他 。 2. 對圓片直徑進行測量,其值在 5, 6上均勻分布,試求圓片面積的概率分布。 解:直徑 D的分布密度為 1,5 6() 0, dd 其 他 ,假設(shè) 24DX , X 分布函數(shù)為 ()Fx 西南交通大學(xué) 2017 2018 學(xué)年第( 一 )學(xué)期 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B課程習(xí)題答案 13 2( ) 4DF x P X x P x ,當(dāng) 0 x 時 , ( ) 0Fx ;當(dāng) 0 x 時 2 44( ) 4D x xF x P X x P x P x ;當(dāng) 4 5x 時,即 254x 時, ( ) 0Fx ; 當(dāng) 456x 時, 即 25 9x 時, 2 44( ) 4D x xF x P X x P x P x 4 5 415x xdt ;當(dāng) 9x 時, 65( ) ( ) 1xF x t d t d t ;所以 0 , < 2 5 4 ( ) 4 5 , 2 5 4 9 1 , 9 x F x x x x ,密度函數(shù)為 1 2 5,94( ) ( ) 0, xx F x x 其 他 。 3. 電源電壓在不超過 200 V、 200 240 V 和超過 240 V 三種情況下,元件損壞的概 率分別為 0.1, 0.001 和 0.2。設(shè)電源電壓服從正態(tài)分布, 2(220, 25 )XN ,求:( 1)元件 損壞的概率 ;( 2)元件損壞時,電壓在 200 240 V 間的概率 。 解:( 1) 2 2 0 2 0 0 2 2 0 2 0 0 ( 0 . 8 ) 1 (0 . 8 ) 0 . 2 1 1 82 5 2 5XP X P , 2 0 0 2 2 0 2 2 0 2 4 0 2 2 0 2 0 0 2 4 0 2 (0 . 8 ) 1 0 . 5 7 6 42 5 2 5 2 5XP X P , 2 2 0 2 4 0 2 2 0 2 4 0 1 2 4 0 1 1 (0 . 8 ) 0 . 2 1 1 82 5 2 5XP X P X P , 由全概率公式知,元件損壞的概率為 0 . 1 0 . 2 1 1 8 0 . 0 0 1 0 . 5 7 6 4 0 . 2 0 . 2 1 1 8 0 . 0 6 4 1 。 ( 2)由貝葉斯公式知,元件損壞時,電壓在 200 240 V 的概率為 0 . 5 7 6 4 0 . 0 0 1 0 . 0 6 4 1 0 . 0 0 9 0 。