高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題四 數(shù)列 推理與證明 第4講 推理與證明課件.ppt
第4講 推理與證明,專題四 數(shù)列、推理與證明,高考真題體驗(yàn),熱點(diǎn)分類突破,高考押題精練,欄目索引,高考真題體驗(yàn),1,2,3,4,1.(2015·湖北)已知集合A(x,y)|x2y21,x,yZ,B(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ,定義集合AB(x1x2,y1y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B,則AB中元素的個(gè)數(shù)為( ) A.77 B.49 C.45 D.30,1,2,3,4,解析 如圖,集合A表示如圖所示的所有 圓點(diǎn)“ ”,,集合B表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“ ” 所有圓點(diǎn)“ ”,,集合AB顯然是集合(x,y)|x|3,|y|3,x,yZ中除去四個(gè)點(diǎn)(3,3),(3,3),(3,3),(3,3)之外的所有整點(diǎn)(即橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)),,1,2,3,4,即集合AB表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“ ”所有圓點(diǎn)“ ”所有圓點(diǎn)“ ”,共45個(gè).,故AB中元素的個(gè)數(shù)為45.故選C.,答案 C,1,2,3,4,2.(2014·北京)學(xué)生的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí),依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學(xué)生甲的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙,且其中至少有一門(mén)成績(jī)高于乙,則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好”.如果一組學(xué)生中沒(méi)有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好,并且不存在語(yǔ)文成績(jī)相同、數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生,那么這組學(xué)生最多有( ) A.2人 B.3人 C.4人 D.5人,1,2,3,4,解析 假設(shè)滿足條件的學(xué)生有4位及4位以上, 設(shè)其中4位同學(xué)分別為甲、乙、丙、丁, 則4位同學(xué)中必有兩個(gè)人語(yǔ)文成績(jī)一樣,且這兩個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)不一樣(或4位同學(xué)中必有兩個(gè)數(shù)學(xué)成績(jī)一樣,且這兩個(gè)人語(yǔ)文成績(jī)不一樣), 那么這兩個(gè)人中一個(gè)人的成績(jī)比另一個(gè)人好, 故滿足條件的學(xué)生不能超過(guò)3人.,1,2,3,4,當(dāng)有3位學(xué)生時(shí),用A,B,C表示“優(yōu)秀”“合格”“不合格”, 則滿足題意的有AC,CA,BB,所以最多有3人. 答案 B,1,2,3,4,3.(2015·山東)觀察下列各式:,1,2,3,4,解析 觀察每行等式的特點(diǎn),每行等式的右端都是冪的形式, 底數(shù)均為4,指數(shù)與等式左端最后一個(gè)組合數(shù)的上標(biāo)相等,,4n1,1,2,3,4,4.(2015·福建)一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2xn(nN*),其中xk(k1,2,n)稱為第k位碼元.二元碼是通信中常用的碼,但在通信過(guò)程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?). 已知某種二元碼x1x2x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組:,x4x5x6x70, x2x3x6x70, x1x3x5x70,,1,2,3,4,其中運(yùn)算定義為000,011,101,110. 現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過(guò)程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101,那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于_.,解析 ()x4x5x6x711011, ()x2x3x6x710010; ()x1x3x5x710111. 由()()知x5,x7有一個(gè)錯(cuò)誤,()中沒(méi)有錯(cuò)誤, x5錯(cuò)誤,故k等于5.,5,考情考向分析,1.以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識(shí)相結(jié)合考查歸納推理和類比推理,多以小題形式出現(xiàn). 2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數(shù)學(xué)命題的方法,常與函數(shù)、數(shù)列及不等式等綜合命題.,熱點(diǎn)一 歸納推理,熱點(diǎn)分類突破,(1)歸納推理是由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理. (2)歸納推理的思維過(guò)程如下:,正方形數(shù) N(n,4)n2,,六邊形數(shù) N(n,6)2n2n ,可以推測(cè)N(n,k)的表達(dá)式,由此計(jì)算N(10,24)_.,解析 由N(n,4)n2,N(n,6)2n2n,,1 000,思維升華,歸納遞推思想在解決問(wèn)題時(shí),從特殊情況入手,通過(guò)觀察、分析、概括,猜想出一般性結(jié)論,然后予以證明,這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用.其思維模式是“觀察歸納猜想證明”,解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想.,跟蹤演練1 (1)有菱形紋的正六邊形地面磚,按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案,則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是( ),A.26 B.31 C.32 D.36,解析 有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表:,由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng),以5為公差的等差數(shù)列, 所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是65×(61)31. 故選B.,答案 B,(2)兩旅客坐火車(chē)外出旅游,希望座位連在一起,且有一個(gè)靠窗,已知火車(chē)上的座位的排法如圖所示,則下列座位號(hào)碼符合要求的應(yīng)當(dāng)是( ),A.48,49 B.62,63 C.75,76 D.84,85,解析 由已知圖形中座位的排列順序, 可得:被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號(hào)臨窗, 由于兩旅客希望座位連在一起,且有一個(gè)靠窗, 分析答案中的4組座位號(hào),只有D符合條件. 答案 D,熱點(diǎn)二 類比推理,(1)類比推理是由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征,推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理. (2)類比推理的思維過(guò)程如下:,解析 平面幾何中,圓的面積與圓的半徑的平方成正比, 而在空間幾何中,球的體積與半徑的立方成正比,,解析 ch x ch ysh x sh y,故知ch(xy)ch xch ysh xsh y, 或sh(xy)sh xch ych xsh y, 或sh(xy)sh xch ych xsh y. 答案 ch(xy)ch xch ysh xsh y,思維升華,類比推理是合情推理中的一類重要推理,強(qiáng)調(diào)的是兩類事物之間的相似性,有共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素,類比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起,如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比,也可以由解題方法上的類似引起.當(dāng)然首先是在某些方面有一定的共性,才能有方法上的類比.,解析 由an為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,,又正項(xiàng)數(shù)列cn為等比數(shù)列,設(shè)公比為q,,答案 D,解析 設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P0(x0,y0),,因?yàn)镻0(x0,y0)在這兩條切線上,,熱點(diǎn)三 直接證明和間接證明,直接證明的常用方法有綜合法和分析法,綜合法由因?qū)Ч治龇▌t是執(zhí)果索因,反證法是反設(shè)結(jié)論導(dǎo)出矛盾的證明方法.,(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式;,由anan10,知數(shù)列an的項(xiàng)正負(fù)相間出現(xiàn),,(2)證明:數(shù)列bn中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列. 證明 假設(shè)存在某三項(xiàng)成等差數(shù)列, 不妨設(shè)為bm、bn、bp,其中m、n、p是互不相等的正整數(shù), 可設(shè)mnp,,那么只能有2bnbmbp,,上式不可能成立,則只能有nm1,,所以假設(shè)不成立,那么數(shù)列bn中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.,思維升華,(1)有關(guān)否定性結(jié)論的證明常用反證法或舉出一個(gè)結(jié)論不成立的例子即可. (2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩種方法,我們常用分析法尋找解決問(wèn)題的突破口,然后用綜合法來(lái)寫(xiě)出證明過(guò)程,有時(shí)候,分析法和綜合法交替使用.,跟蹤演練3 (1)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.,只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc), 需證c2a2acb2, 又ABC三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列, 故B60°, 由余弦定理,得b2c2a22accos 60°, 即b2c2a2ac, 故c2a2acb2成立. 于是原等式成立.,證明 假設(shè)x0是f(x)0的負(fù)根,,熱點(diǎn)四 數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟 (1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)結(jié)論成立. (2)假設(shè)nk(kN*,且kn0)時(shí)結(jié)論成立,證明nk1時(shí)結(jié)論也成立. 由(1)(2)可知,對(duì)任意nn0,且nN*時(shí),結(jié)論都成立.,(1)當(dāng)n1,2,3時(shí),試比較f(n)與g(n)的大?。?解 當(dāng)n1時(shí),f(1)1,g(1)1,所以f(1)g(1);,(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系,并給出證明. 解 由(1),猜想f(n)g(n),下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明. 當(dāng)n1,2,3時(shí),不等式顯然成立, 假設(shè)當(dāng)nk(k3)時(shí)不等式成立,即,那么,當(dāng)nk1時(shí),,由可知,對(duì)一切nN*,都有f(n)g(n)成立.,思維升華,用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時(shí),關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式的兩邊各有多少項(xiàng),由nk到nk1時(shí),等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng),增加怎樣的項(xiàng).難點(diǎn)在于尋求等式在nk和nk1時(shí)的聯(lián)系.,(1)寫(xiě)出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式;,(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論. 證明 易知,n1時(shí),猜想正確.,這說(shuō)明,nk1時(shí)猜想正確.,高考押題精練,1,2,3,1.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表.設(shè)aij(i,jN*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù),如a428.若aij2 011,則i與j的和為_(kāi).,1,2,3,押題依據(jù) 數(shù)表是高考命題的重點(diǎn),本題以教材中的楊輝三角為背景,考查觀察、分析、歸納猜想的能力.,解析 由三角形數(shù)表的排列規(guī)律知,aij2 011, 則i必為奇數(shù). 設(shè)i2m1.在第i行上面,必有m行為奇數(shù)行,m行為偶數(shù)行. 在前2m行中,共有奇數(shù)m2個(gè). 最大的奇數(shù)為1(m21)×22m21,,1,2,3,由2m212 011得m的最大值31. i63. 最大的奇數(shù)為1 921,在第63行中,首項(xiàng)為1 923, 即1 923(j1)×22 011, j45,故ij108. 答案 108,1,2,3,押題依據(jù) 根據(jù)n個(gè)等式或不等式歸納猜想一般規(guī)律的式子是近幾年高考熱點(diǎn),相對(duì)而言,歸納推理在高考中出現(xiàn)的機(jī)率較大.,1,2,3,解析 已知所給不等式的左邊第一個(gè)式子都是x,不同之處在于第二個(gè)式子,,顯然式子中的分子與分母是對(duì)應(yīng)的,分母為xn,分子是nn,,1,2,3,顯然不等式右邊的式子為n1,,1,2,3,3.設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和,證明:數(shù)列Sn不是等比數(shù)列.,押題依據(jù) 反證法是一種重要的證明方法,對(duì)含“至多”“至少”等詞語(yǔ)的命題用反證法十分有效,近幾年高考時(shí)有涉及.,1,2,3,因?yàn)閍10,所以(1q)21qq2, 即q0,這與q0矛盾, 故Sn不是等比數(shù)列.,