中考數(shù)學(xué) 第一輪 系統(tǒng)復(fù)習(xí) 夯實(shí)基礎(chǔ) 第一章 數(shù)與式 第4講 二次根式及其運(yùn)算課件.ppt

數(shù)學(xué) 第 4講 二次根式及其運(yùn)算 1 了解二次根式、最簡二次根式的概念 2 了解二次根式加、減、乘、除運(yùn)算法則 ， 會用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡單四則運(yùn)算 二次根式的知識點(diǎn)是新課標(biāo)的基本考查內(nèi)容之一 ， 常常以填空題、選擇題形式出 現(xiàn) 1 二次根式的基本運(yùn)算要求熟練掌握 ， 二次根式的運(yùn)算以整式的運(yùn)算為基礎(chǔ) ， 其 法則、公式都與整式類似 ， 特別是二次根式的加減 ， 沒有提出同類二次根式的概念 ， 完全參照合并同類項的方法；二次根式的乘除、乘方運(yùn)算類似于整式的乘除、乘 方運(yùn)算 2 二次根式的求值 ， 二次根式性質(zhì)的應(yīng)用等 3 主要體現(xiàn)類比轉(zhuǎn)化的思想方法 1 ( 2016 衢州 ) 二次根式 x 3 中字母 x 的取值范圍是 2 ( 2016 南充 ) 下列計算正確的是 ( ) A. 12 2 3 B. 3 2 3 2 C. x 3 x x D. x 2 x x3 A 3 ( 2016 南充 ) 計算： 1 2 18 ( 1) 0 sin 45 | 2 2|. 4 先化簡 ， 再求值： 2 (a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 ， 其中 a 2 1. 解：原式 12 3 2 1 22 2 2 3 解：原式 a 2 6a ， 當(dāng) a 2 1 時 ， 原式 4 2 3 1 若二次根式 a 2 有意義 ， 則 a 的取值范圍是 ( ) A a 2 B a 2 C a 2 D a 2 2 與 5 是同類二次根式的是 ( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【解析】 20 2 5 與 5 的被開方數(shù)相同 ， 故選 C. 解析：第 1 題根據(jù)負(fù)數(shù)沒有平方根列出關(guān)于 a 的不等式 ， 解之可得； 第 2 題根據(jù)化成最簡二次根式后 ， 被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二 次根式可得出答案 A C 1 二次根式的概念：形如 _ _ 的式子叫做二次根式 2 二次根式有意義的條件：要使二次根式 a 有意義 ， 則 a 0. 答案 ： 1. a （ a 0 ） 3 ( 2017 預(yù)測 ) 函數(shù) y 2 x 1 x 1 中自變量 x 的取值范圍是 ( ) A x 2 B x 2 且 x 1 C x 2 且 x 1 D x 1 【解析】 2 x 中 2 x 0 ， 分母 x 1 0 ， 即 x 2 且 x 1. 4 已知 | x y 2| x y 2 0 ， 則 x 2 y 2 的值為 _ _ . 【解析】 |x y 2| x y 2 0 ， x y 2 0 ， x y 2 0 ， x y 2 ， x y 2 ， x 2 y 2 (x y)(x y) 4. B 4 利用二次根式有意義的條件求字母的取值范圍時 ， 首先考慮被開方數(shù)為非負(fù) 數(shù) ， 其次還要考慮其他限制條件 ， 如分母不等于 0等 ， 往往轉(zhuǎn)化為不等式 (組 )來 解決問題 5 計算： 2 1 2 18 . 解：原式 2 22 3 2 2 3 2 2 2 6 ( 2017 預(yù)測 ) 實(shí)數(shù) a ， b 在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示 ， 化簡 |a| （ a b ） 2 的結(jié)果是 ( ) A 2 a b B 2 a b C b D b 【解析】 由圖可知 a 0 ， a b 0 ， 則 | a | （ a b ） 2 a ( a b ) 2 a b . 故選 A. 解析：第 5 題先將各個二次根式化成最簡二次根式 ， 再把被開方數(shù)相同 的二次根式進(jìn)行合并即可；第 6 題直接利用數(shù)軸上 a ， b 的位置 ， 進(jìn)而得出 a 0 ， a b 0 ， 再利用絕對值以及二次根式的性質(zhì)化簡得出答案 A 7 計算： 4 2016 0 | 3 2| 1. 解：原式 2 1 ( 2 3 ) 1 3 2 3 1 2 3 1 二次根式的性質(zhì)： (1)( a ) 2 a( _ _ _ ) (2) a 2 |a| （ a 0 ） ， （ a<0 ） . (3) ab _ _ _ (a 0 ， b 0 ) (4) a b _ _ _ (a 0 ， b 0) 2 最簡二次根式的概念：把滿足被開方數(shù)不含分母 ， 被開方數(shù)中不含 能開得盡方的 _ _ 或 _ _ 的二次根式 ， 叫做最 簡二次根式 3 二次根式的加減法：在二次根式的加減運(yùn)算中 ， 先要把二次根式化 成最簡二次根式 ， 類似于合并同類項 ， 我們可以把被開方數(shù)相同的二次根 式進(jìn)行合并 4 二次根式的乘除法： ( 1 ) 二次根式的乘法： a b _ _ _ ( a 0 ， b 0 ) ( 2 ) 二次根式的除法： a b _ _ _ ( a 0 ， b 0 ) 答案 ： 1. ( 1 ) a 0 ； ( 2 ) a ； a ； ( 3 ) a b ； ( 4 ) a b 2. 因數(shù)；因式 4. ab ； a b 8 ( 2016 重慶 ) 計算 3 5 2 5 的結(jié)果是 ( ) A. 5 B 2 5 C 3 5 D 6 【解析】 原式 (3 2) 5 5 . 故選 A. A 9 已知 ( x y 3 ) 2 2x y 0 ， 則 x y 的值為 ( ) A 0 B 1 C 1 D 4 【解析】 由 ( x y 3 ) 2 2 x y 0 知 ( x y 3 ) 2 0 ， 2 x y 0. 即得 ( x y 3 ) 2 0 ， 2 x y 0 ， 即 x y 3 0 ， 2 x y 0 ， 解得 x 1 ， y 2. x y 2 1 1. 故選 C. C 10 計算： ( 3 1)( 3 1) 24 ( 1 2 ) 0 . 解：原式 ( 3 ) 2 1 2 2 6 1 3 1 2 6 1 2 6 1 1 最簡二次根式必須同時滿足以下條件： (1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù) ， 因式是整式 (分母中不應(yīng)含有根號 )； (2)被開方數(shù)中 不含開方開得盡的因數(shù)或因式 ， 即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為 1. 2 二次根式加減法運(yùn)算的步驟： (1)將每個二次根式化成最簡二次根式； (2)找 出其中被開方數(shù)相同的二次根式； (3)將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并 3 二次根式乘除法運(yùn)算的步驟：先利用法則將被開方數(shù)化為積 (或商 )的二次根 式 ， 再化簡 ， 最后結(jié)果要化為最簡二次根式、整式或分式 11 已知 10 的整數(shù)部分為 a ， 小數(shù)部分為 b ， 求 a 2 b 2 的值 解析：先把 b 用含 10 的式子表示 ， 再代入求值 解： 3< 10 <4 ， 10 的整數(shù)部分 a 3 ， 小數(shù)部分 b 10 3 ， a 2 b 2 3 2 ( 10 3 ) 2 9 ( 10 6 10 9 ) 10 6 10 12 ( 2017 預(yù)測 ) 先化簡 ， 再求值： ( 2x 1 )( 2x 1 ) ( x 1 )( 3x 2 ) ， 其中 x 2 1. 解析：利用整式乘法運(yùn)算法則化簡 ， 進(jìn)而去括號合并同類項 ， 再將已知 代入求出答案 解：原式 4x 2 1 ( 3x 2 3x 2x 2 ) 4x 2 1 3x 2 x 2 x 2 x 1 ， 當(dāng) x 2 1 時 ， 原式 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 1 3 2 2 2 2 5 3 2 二次根式混合運(yùn)算 ， 可以運(yùn)用運(yùn)算律或適當(dāng)改變運(yùn)算順序 ， 使運(yùn)算簡便 13 先化簡 ， 再求值： 1 a 1 a （ a 1 ） 2 ， 其中 a 2 1. 解：原式 a 1 a （ a 1 ） 2 1 （ a 1 ） 2 . 當(dāng) a 2 1 時 ， 原式 1 （ 2 1 1 ） 2 1 （ 2 ） 2 1 2 14 先化簡 ， 再求值： x 1 y x 2 1 y 2 ， 其中 x 2 1 ， y 3 . 解：原式 x 1 y y 2 x 2 1 x 1 y y 2 （ x 1 ）（ x 1 ） y x 1 ， 把 x 2 1 ， y 3 代入 ， 得原式 3 2 1 1 3 2 6 2 二次根式的綜合計算與化簡問題 ， 一般先化簡再代入求值 ， 最后的結(jié)果要化為 分母不含根號的數(shù)或者是最簡二次根式 ， 也可以利用所給條件整體考慮 15 ( 原創(chuàng)題 ) 已知任意三角形的三邊長 ， 如何求三角形面積？ 古希臘的幾何學(xué)家海倫解決了這個問題 ， 在他的著作度量論一書中 給出了計算公式 海倫公式 S p （ p a ）（ p b ）（ p c ） ( 其中 a ， b ， c 是三角形的三 邊長 ， p a b c 2 ， S 為三角形的面積 ) ， 并給出了證明 例如：在 ABC 中 ， a 3 ， b 4 ， c 5 ， 那么它的面積可以這樣計算： a 3 ， b 4 ， c 5 ， p a b c 2 6 ， S p （ p a ）（ p b ）（ p c ） 6 3 2 1 6. 事實(shí)上 ， 對于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題 ， 還可用我國南 宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決 如圖 ， 在 ABC 中 ， BC 5 ， AC 6 ， AB 9 (1) 用海倫公式求 ABC 的面積； (2) 求 ABC 的內(nèi)切圓半徑 r. 【解析】 (1) 先根據(jù) BC ， AC ， AB 的長求出 p ， 再代入到公式 S p （ p a ）（ p b ）（ p c ） 即可求得 S 的值； (2) 根據(jù)公式 S 1 2 r(AC BC AB) ， 代入可得關(guān)于 r 的方程 ， 解方程得 r 的值 解： ( 1 ) BC 5 ， AC 6 ， AB 9 ， p BC AC AB 2 5 6 9 2 10 ， S p （ p a ）（ p b ）（ p c ） 10 5 4 1 10 2 ， 故 ABC 的面積 10 2 ( 2 ) S 1 2 r ( AC BC AB ) ， 10 2 1 2 r ( 5 6 9 ) ， 解得 r 2 ， 故 ABC 的內(nèi)切圓半徑 r 2 16 如圖 ， ABC 中 ， AB 17 ， AC 10 ， BA 邊上的高 CD 8 ， 求邊 BC 的長 解：在 Rt ADC 中 ， AD AC 2 CD 2 6 ， BD AB AD 11 ， 在 Rt BCD 中 ， BC BD 2 CD 2 185 根據(jù)圖形特點(diǎn) ， 作輔助線構(gòu)造出直角三角形 ， 利用勾股定理 ， 轉(zhuǎn)化為二次根式是解 題的常用方法