新課標理科數學第十章第二節(jié)排列與組合.ppt

菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 第二節(jié) 排列與組合 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 1 排列與排列數 ( 1 ) 排列 從 n 個不同元素中取出 m ( m n ) 個元素， 按照一定的 _ _ _ _ _ _ _ _ 排成一列 ，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個 元素的一個排列 ( 2 ) 排列數 從 n 個不同元素中取出 m ( m n ) 個元素的 所有 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的排列數，記作 _ 順序 不同排列的個數 Amn 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 2 組合與組合數 ( 1) 組合 從 n 個不同元素中取出 m ( m n ) 個元素 _ _ ，叫 做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個組合 ( 2) 組合數 從 n 個不同元素中取出 m ( m n ) 個元素的 _ _ _ ，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的組合數，記作 _ 組成一組 所有不 同組合的個數 Cmn 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 3 排列數 、 組合數的公式及性質 公式 ( 1 ) A m n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ n ！ （ n m ）！ ( 2 ) C m n A m n A m m n （ n 1 ）（ n 2 ） （ n m 1 ） m ！ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( n ， m N * ，且 m n ) 特別地 C 0 n 1. 性質 ( 1 ) 0 ！ _ _ _ ； ( 2 ) A n n _ _ _ _ _ . (2 ) C m n C n m n ； C m n 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . n ( n 1 ) ( n 2) ( n m 1) n ！ m ！（ n m ）！ n！ C mn C m 1n 1 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 1 如何區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題 ？ 【 提示 】 區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題 ， 關 鍵是看所選出的元素與順序是否有關 ， 若交換某兩個元素的 位臵對結果產生影響 ， 則是排列問題 ， 否則是組合問題 2 若 C xn C mn ，則 x m ，這個結論一定正確嗎？ 【提示】 不正確由 C xn C mn 可得 x m 或 x n m . 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 1 (人教 A版教材習題改編 )從 1， 2， 3， 4， 5， 6六個數 字中 ， 選出一個偶數和兩個奇數 ， 組成一個沒有重復數字的 三位數 ， 這樣的三位數共有 ( ) A 9個 B 24個 C 36個 D 54個 【 答案 】 D 【解析】 選出符合題意的三個數字有 C 13 C 23 種方法， 這三個數可組成 C 13 C 23 A 33 54 個沒有重復數字的三位數 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 2 A、 B、 C、 D、 E五人并排站成一排 ， 如果 B必須站 在 A的右邊 (A、 B可以不相鄰 )， 那么不同的排法共有 ( ) A 24種 B 60種 C 90種 D 120種 【 答案 】 B 【解析】 可先排 C 、 D 、 E 三人，共 A 35 種排法，剩余 A 、 B 兩人只有一種排法，由 分步計數原理滿足條件的排法 共 A 35 60( 種 ) 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 3 (2012浙江高考 )若從 1， 2， 3， ， 9這 9個整數中 同時取 4個不同的數 ， 其和為偶數 ， 則不同的取法共有 ( ) A 60種 B 63種 C 65種 D 66種 【 答案 】 D 【解析】 滿足題設的取法可分為三類：一是四個奇 數相加，其和為偶數，在 5 個奇數 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 中，任意 取 4 個， 有 C 4 5 5( 種 ) ；二是兩個奇數加兩個偶數其和為偶 數，在 5 個奇數中任取 2 個，再在 4 個偶數 2 ， 4 ， 6 ， 8 中任取 2 個，有 C 2 5 C 2 4 60( 種 ) ；三是四個偶數相加，其和為偶 數， 4 個偶數的取法有 1 種，所以滿足條件的取法共有 5 60 1 66( 種 ) 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 4 (2013廣東六校聯考 )某校開設 A類選修課 3門 ， B類 選修課 4門 ， 一位同學從中共選 3門 ， 若要求兩類課程中各至 少選一門 ， 則不同的選法共有 _種 (用數字作答 ) 【解析】 分類討論， A 類選修 1 門， B 類選 修 2 門，有 C 13 C 24 1 8 ( 種 ) ； A 類選修 2 門， B 類選修 1 門，有 C 23 C 14 1 2 ( 種 ) ， 所以一共有 30 種 【 答案 】 30 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 4個男同學 ， 3個女同學站成一排 (1)3個女同學必須排在一起 ， 有多少種不同的排法 ？ (2)任何兩個女同學彼此不相鄰 ， 有多少種不同的排 法 ？ (3)甲 、 乙兩人相鄰 ， 但都不與丙相鄰 ， 有多少種不同 的排法 ？ 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 【 嘗試解答 】 (1)3個女同學是特殊元素 ， 共有 A種排 法；由于 3個女同學必須排在一起 ， 視排好的女同學為一整 體 ， 再與 4個男同學排隊 ， 應有 A種排法 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 由分步乘法計數原理，有 A 3 3 A 5 5 720 種不同排法 ( 2) 先將男生排好，共有 A 4 4 種排法，再在這 4 個男生的 中間及兩頭的 5 個空檔中插入 3 個女生有 A 3 5 種方法 故符合條件的排法共有 A 4 4 A 3 5 1 440 種不同排法 ( 3) 先排甲、乙和丙 3 人以外的其他 4 人，有 A 4 4 種排法； 由于甲、乙要相鄰，故再把甲、乙排好，有 A 2 2 種排法；最 后把甲、乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好的 4 人的 空檔中有 A 2 5 種排法 總共有 A 4 4 A 2 2 A 2 5 960 種不同排法 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 1 對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分 析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu) 先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置， 對于分類過多的問題可以采用間接法 2 對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、 定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方 法 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 在本例中 ， 條件不變 ， 把第 (1)、 (2)小題改為下面兩問 題： (1)甲不站排頭 ， 乙不站排尾 ， 有多少種不同的排法 ？ (2)若甲乙兩同學之間必須有 3人 ， 有多少種不同的排 法 ？ 【解】 ( 1) 用間接法， 4 名男生， 3 名女生站成一排的 方法共有 A 7 7 種 甲站排頭的方法有 A 6 6 種，乙站排尾的方法有 A 6 6 種 甲站排頭，乙站排尾的方法有 A 5 5 種 符合題意的排法有： A 7 7 2 A 6 6 A 5 5 3 720 種 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） ( 2) 先排甲、乙，有 A 22 種排法，再從其他 5 位同學中選 3 人排在甲、乙中間，有 A 35 種排法 ，最后把甲、乙及中間 3 人作為一個整體與剩余的 2 人全排列，有 A 33 種排法 所以共 有 A 22 A 35 A 33 720 種不同排法 . 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 男運動員 6名 ， 女運動員 4名 ， 其中男女隊長各 1名 ， 選派 5人外出比賽 ， 在下列情形中各有多少種選派方法 ？ (1)至少有 1名女運動員； (2)既要有隊長 ， 又要有女運動員 【 思路點撥 】 第 (1)問可以用直接法或間接法求 解 第 (2)問根據有無女隊長分類求解 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 【嘗試解答】 ( 1) 法一 至少有 1 名女運動員包括以 下幾種情況： 1 女 4 男， 2 女 3 男， 3 女 2 男， 4 女 1 男 由分類加法計數原理可得總選法數為 C 1 4 C 4 6 C 2 4 C 3 6 C 3 4 C 2 6 C 4 4 C 1 6 246( 種 ) 法二 “ 至少有 1 名女運動員 ” 的反面為 “ 全是男運動 員 ” 可用間接法求解 從 10 人中任選 5 人有 C 5 10 種選法，其中全是男運動員的 選法有 C 5 6 種 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 所以 “ 至少有 1 名女運動員 ” 的選法為 C 5 10 C 5 6 246( 種 ) ( 2) 當有女隊長時，其他人選法任意，共有 C 4 9 種選法 不選女隊長時，必選男隊長，共有 C 4 8 種選法其中不含女 運動員的選法有 C 4 5 種，所以不選女隊長時共有 C 4 8 C 4 5 種選 法， 所以既有隊長又有女運動員的選法共有 C 4 9 C 4 8 C 4 5 191( 種 ) 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 1 本題中第 (1)小題，含 “ 至少 ” 條件，正面求解情況 較多時，可考慮用間接法第 (2)小題恰當分類是關鍵 2 組合問題常有以下兩類題型變化 (1)“ 含有 ” 或 “ 不含有 ” 某些元素的組合題型： “ 含 ” ， 則先將這些元素取出 ， 再由另外元素補足； “ 不 含 ” ， 則先將這些元素剔除 ， 再從剩下的元素中去選取 (2)“ 至少 ” 或 “ 最多 ” 含有幾個元素的題型：若直接 法分類復雜時 ， 逆向思維 ， 間接求解 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） (2012陜西高考 )兩人進行乒乓球比賽 ， 先贏 3局者獲 勝 ， 決出勝負為止 ， 則所有可能出現的情形 (各人輸贏局次 的不同視為不同情形 )共有 ( ) A 10種 B 15種 C 20種 D 30種 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 【 答案 】 C 【解析】 由題意知比賽場數至少為 3 場，最多為 5 場分三類 ： 當為 3 場時，情況為甲或乙連贏 3 場，共 2 種 當為 4 場時，若甲贏，則前 3 場中甲贏 2 場，最后一場甲 贏，共有 C 2 3 3( 種 ) 情況；同理，若乙贏也有 3 種情況共 有 6 種情況 當為 5 場時，前 4 場，甲、乙各贏 2 場，最后 1 場勝出 的 人贏，共有 2 C 2 4 12( 種 ) 情況 由上綜合知，共有 20 種情況 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） ( 1 ) ( 2 0 1 2 北京高考 ) 從 0 ， 2 中選一個數字，從 1 ， 3 ， 5 中選兩個數字，組成無重復 數字的三位數，其中奇數的個 數為 ( ) A 24 B 18 C 12 D 6 ( 2 ) 某校高二年級共有 6 個班級，現從外地轉入 4 名學 生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排 2 名，則不同的 安排方案種數為 ( ) A A 2 6 C 2 4 B. 1 2 A 2 6 C 2 4 C A 2 6 A 2 4 D 2A 2 6 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 【 思路點撥 】 (1)0是特殊元素 ， 不能排在百位和個 位 ， 按選出的數字是否含 0分類 (2)可將 4名同學分成兩組 (每組 2人 )， 再分配到兩個班級 【嘗試解答】 ( 1) 根據所選偶數為 0 和 2 分類討論求 解 當選數字 0 時，再從 1 ， 3 ， 5 中取出 2 個數字排在個位 與百位 排成的三位奇數有 C 2 3 A 2 2 6 個 當取出數字 2 時，再從 1 ， 3 ， 5 中取 2 個數字有 C 2 3 種 方法 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 然后將選中的兩個奇數數字選一個排在個位，其余 2 個 數字全排列 排成的三位奇數有 C 2 3 A 1 2 A 2 2 12 個 由加法計數原理，共有 A 2 3 A 1 2 A 2 3 18 個三位奇 數 ( 2) 法一 將 4 人平均分成兩組有 1 2 C 2 4 種方法，將此兩組 分配到 6 個班級中的 2 個班有 A 2 6 種，所以不同的安排方法有 1 2 C 2 4 A 2 6 種 法二 先從 6 個班級中 選 2 個班級有 C 2 6 種不同方法，然 后安排學生有 C 2 4 C 2 2 種，故有 C 2 6 C 2 4 1 2 A 2 6 C 2 4 種 【答案】 ( 1 ) B ( 2 ) B 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 1 解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素 (或位 置 )的性質進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步具 體地說，解排列組合問題常以元素 (或位置 )為主體，即先滿 足特殊元素 (或位置 )，再考慮其他元素 (或位置 ) 2 不同元素的分配問題 ， 往往是先分組再分配 在分 組時 ， 通常有三種類型： (1)不均勻分組 (2)均勻分組 (3) 部分均勻分組 ， 注意各種分組類型中 ， 不同分組方法的求 法 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） (2013惠州模擬 )已知集合 A 5， B 1， 2， C 1， 3， 4， 從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐 標系中點的坐標 ， 則確定的不同點的個數為 ( ) A 33 B 34 C 35 D 36 【解析】 ( 1) 若從集合 B 中取元素 2 時，再從 C 中任取 一個元素，則確定的不同點的個數為 C 13 A 33 . ( 2) 當從集合 B 中取元素 1 ，且從 C 中取元素 1 ，則確定的 不同點有 C 13 1 C 13 . 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 【 答案 】 A ( 3) 當從 B 中取元素 1 ，且從 C 中取出元素 3 或 4 ，則確 定 的不同點有 C 12 A 33 個 由分類計數原理，共確定不同的點有 C 13 A 33 C 13 C 12 A 33 33 個 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 排列與組合最根本的區(qū)別在于 “ 有序 ” 和 “ 無序 ” 取 出元素后交換順序 ， 如果與順序有關是排列 ， 如果與順序無 關即是組合 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 1. 先特殊后一般 2 先組合后排列 3 先分組再分配 1. 排列數公式 A mn n ！ （ n m ）！ . 2 組合數公式 C mn n ！ m ?。?n m ）！ . 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 求解排列組合問題的思路： “ 排組分清 ， 加乘明確；有 序排列 ， 無序組合；分類相加 ， 分步相乘 ” 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 從近兩年的高考試題來看 ， 排列 、 組合及排列與組合的 綜合應用是高考的熱點 ， 題型以選擇題 、 填空題為主 ， 中等 難度 ， 在解答題中 ， 排列 、 組合常與概率 、 分布列的有關知 識結合在一起考查 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 易錯辨析之十七 實際意義理解不清導致計數錯誤 (2012山東高考改編 )現有 16張不同的卡片 ， 其中紅 色 、 黃色 、 藍色 、 綠色卡片各 4張 ， 從中任取 3張 ， 要求這 3 張卡片不能是同一種顏色 ， 且紅色卡片至多 1張 ， 不同取法 的種數為 ( ) A 232 B 256 C 472 D 484 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 【 答案 】 B 【錯解】 第一類，含有一張紅色卡片，取出紅色卡 片有 C 1 4 種方法，再從黃、藍、綠三色中選出兩色并各取一 張卡片有 C 2 3 C 1 4 C 1 4 種方法，因此滿足條件的取法有 C 1 4 C 2 3 C 1 4 C 1 4 192 種 第二類，不含有紅色卡片，從其余三色卡片中各取一 張有 C 1 4 C 1 4 C 1 4 64 種取法 由分類計數原理，不同的取法共有 192 64 256 種 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 錯因分析： (1)錯解的原因是沒有理解 “ 3張卡片不能是 同一種顏色 ” 的含義 ， 誤認為 “ 取出的三種顏色不同 ” (2)運用間接法求 “ 不含有紅色卡片 ” 時 ， 忽視 “ 3張卡 片不能是同一種顏色 ” ， 誤求為 C， 導致錯選 D. 防范措施： (1)準確理解題意 ， 抓住關鍵字詞的含義 ， “ 3張卡片不能是同一種顏色 ” 是指 “ 兩種顏色或三種顏 色 ” 都滿足要求 (2)選擇恰當分類標準 ， 避免重復遺漏 ， 出現 “ 至少 、 至多 ” 型問題 ， 注意間接法的運用 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 【 答案 】 C 【正解】 第一類，含有 1 張紅色卡片，共有不同的取 法 C 1 4 C 2 12 264( 種 ) 第二類，不含有紅色卡片，共有 不同的取法 C 3 12 3 C 3 4 220 12 208( 種 ) 由分類加法計數原理知不同的取法有 264 208 472( 種 ) 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 1 (2012遼寧高考 )一排 9個座位坐了 3個三口之家 ， 若 每家人坐在一起 ， 則不同的坐法種數為 ( ) A 3 3! B 3 (3！ )3 C (3！ )4 D 9! 【 解析 】 把一家三口看作一個排列 ， 然后再排列這 3 家 ， 所以有 (3！ )4種 【 答案 】 C 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 2 (2013汕頭質檢 )若一個三位數的十位數字比個位數 字和百位數字都大 ， 稱這個數為 “ 傘數 ” 現從 1， 2， 3， 4， 5， 6這六個數字中取 3個數 ， 組成無重復數字的三位數 ， 其中 “ 傘數 ” 有 ( ) A 120個 B 80個 C 40個 D 20個 【解析】 分類討論：若十位數為 6 時，有 A 25 20( 個 ) ；若十位數為 5 時，有 A 24 1 2 ( 個 ) ；若十位數為 4 時，有 A 23 6( 個 ) ；若十位數為 3 時，有 A 22 2( 個 ) ， 因此一共有 40 個 【 答案 】 C 菜 單 課 后 作 業(yè) 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 實 固 基 礎 高 考 體 驗 明 考 情 新課標 理科數學 （ 廣東專用 ） 課后作業(yè)（六十五）