2017年全國高考理科數(shù)學(xué)全國一卷試題及答案

2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知集合，則A B C D2如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是A B C D3設(shè)有下面四個(gè)命題：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)，則.其中的真命題為ABCD4記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和若，則的公差為A1B2C4D85函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)若，則滿足的的取值范圍是ABCD6展開式中的系數(shù)為A15B20C30D357某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為A10 B12 C14 D168右面程序框圖是為了求出滿足的最小偶數(shù)，那么在和兩個(gè)空白框中，可以分別填入A和 B和C和 D和9已知曲線，則下面結(jié)論正確的是A把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線B把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線D把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線10已知為拋物線的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，直線與交于A、B兩點(diǎn)，直線與交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A16B14C12D1011設(shè)為正數(shù)，且，則A B CD12幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，再接下來的三項(xiàng)是，依此類推。求滿足如下條件的最小整數(shù)且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪。那么該款軟件的激活碼是A440B330C220D110二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知向量a，b的夾角為60，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= 14設(shè)滿足約束條件，則的最小值為 15已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)。若，則的離心率為_。16如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D、E、F為圓O上的點(diǎn)，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當(dāng)ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為（1）求;（2）若，求ABC的周長(zhǎng).18.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB/CD，且.（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值.19（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查（）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到0.01）附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，20.（12分）已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點(diǎn).21.（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為.（1）若a=1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求a.23選修45：不等式選講（10分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范圍.2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1A, 2B, 3B, 4C, 5D, 6C, 7B,8D,9D,10A,11D,12A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 1314-51516三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周長(zhǎng). 解：（1）由題設(shè)得，即由正弦定理得 ，故。（2）由題設(shè)及（1）得，即所以，故.由題設(shè)得，即由余弦定理得，即，得故的周長(zhǎng)為18.（12分）解：（1）由已知，得，由于，故， 從而平面又平面，所以平面平面（2）在平面內(nèi)作，垂足為.由（1）可知，平面，故，可得平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）及已知可得.所以設(shè)是平面的法向量，則即 可取設(shè)是平面的法向量，則即 可取則.所以二面角的余弦值為.19（12分）解：（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故，因此的數(shù)學(xué)期望為（2）（i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小。因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的。（ii）由，得的估計(jì)值為的估計(jì)值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查。剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,因此的估計(jì)值為10.02.剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為.因此的估計(jì)值為.20.（12分）解：（1）由于兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故由題設(shè)知經(jīng)過兩點(diǎn).又由知，不經(jīng)過點(diǎn)，所以點(diǎn)在上因此解得 故的方程為.（2）設(shè)直線與直線的斜率分別為如果與軸垂直，設(shè)，由題設(shè)知，且，可得的坐標(biāo)分別為則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)，將代入得.由題設(shè)可知設(shè)，則而 .由題設(shè)，故,即.解得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，于是，所以過定點(diǎn)21.（12分）解：（1）的定義域?yàn)椋╥）若，則，所以在單調(diào)遞減（ii）若，則由的.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。（2）（i）若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn)（ii）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為 當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒有零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，即又又，故在有一個(gè)零點(diǎn)。設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).綜上，的取值范圍為.22解：（1）曲線的普通方程為，當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為由解得或 從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2）直線的普通方程為，故上的點(diǎn)到的距離為當(dāng)時(shí)，的最大值為，由題設(shè)得，所以；當(dāng)時(shí)，的最大值為，由題設(shè)得，所以.綜上，或23解：（1）當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于 當(dāng)時(shí)，式化為，無解；當(dāng)時(shí)，式化為，從而；當(dāng)時(shí)，式化為，從而所以的解集為（2）當(dāng)時(shí)，所以的解集包含，等價(jià)于當(dāng)時(shí)又在的最小值必為與之一，所以且，得所以的取值范圍為