解析幾何大題帶答案

三、解答題26.（江蘇18）如圖，在平面直角坐標系中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k（1）當直線PA平分線段MN，求k的值；（2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d；（3）對任意k>0，求證：PAPB本小題主要考查橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力和推理論證能力，滿分16分.解：（1）由題設(shè)知，所以線段MN中點的坐標為，由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又直線PA過坐標 原點，所以（2）直線PA的方程解得于是直線AC的斜率為（3）解法一：將直線PA的方程代入則故直線AB的斜率為其方程為解得.于是直線PB的斜率因此解法二：設(shè).設(shè)直線PB，AB的斜率分別為因為C在直線AB上，所以從而因此28.（北京理19） 已知橢圓.過點（m,0）作圓的切線I交橢圓G于A，B兩點.（I）求橢圓G的焦點坐標和離心率；（II）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.（19）（共14分）解：（）由已知得所以所以橢圓G的焦點坐標為離心率為（）由題意知，.當時，切線l的方程，點A、B的坐標分別為此時當m=1時，同理可得當時，設(shè)切線l的方程為由設(shè)A、B兩點的坐標分別為，則又由l與圓所以由于當時，所以.因為且當時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.32.（湖南理21） 如圖7，橢圓的離心率為，x軸被曲線截得的線段長等于C1的長半軸長。（）求C1，C2的方程；（）設(shè)C2與y軸的焦點為M，過坐標原點O的直線與C2相交于點A,B,直線MA,MB分別與C1相交與D,E（i）證明：MDME;（ii）記MAB,MDE的面積分別是問：是否存在直線l,使得?請說明理由。解 ：（）由題意知故C1，C2的方程分別為（）（i）由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為.由得.設(shè)是上述方程的兩個實根，于是又點M的坐標為（0，1），所以故MAMB，即MDME.（ii）設(shè)直線MA的斜率為k1，則直線MA的方程為解得則點A的坐標為.又直線MB的斜率為，同理可得點B的坐標為于是由得解得則點D的坐標為又直線ME的斜率為，同理可得點E的坐標為于是.因此由題意知，又由點A、B的坐標可知，故滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為34.（全國大綱理21） 已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線與C交于A、B兩點，點P滿足（）證明：點P在C上；（）設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上解：（I）F（0，1），的方程為，代入并化簡得2分設(shè)則由題意得所以點P的坐標為經(jīng)驗證，點P的坐標為滿足方程故點P在橢圓C上。6分 （II）由和題設(shè)知， PQ的垂直平分線的方程為設(shè)AB的中點為M，則，AB的垂直平分線為的方程為由、得的交點為。9分故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知A、P、B、Q四點在以N為圓心，NA為半徑的圓上12分36.（山東理22） 已知動直線與橢圓C: 交于P、Q兩不同點，且OPQ的面積=,其中O為坐標原點.（）證明和均為定值;（）設(shè)線段PQ的中點為M，求的最大值；（）橢圓C上是否存在點D,E,G，使得?若存在，判斷DEG的形狀；若不存在，請說明理由.（I）解：（1）當直線的斜率不存在時，P，Q兩點關(guān)于x軸對稱，所以因為在橢圓上，因此又因為所以由、得此時 （2）當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為由題意知m，將其代入，得，其中即（*）又所以因為點O到直線的距離為所以又整理得且符合（*）式，此時綜上所述，結(jié)論成立。 （II）解法一： （1）當直線的斜率存在時，由（I）知因此 （2）當直線的斜率存在時，由（I）知所以 所以，當且僅當時，等號成立.綜合（1）（2）得|OM|PQ|的最大值為解法二：因為 所以即當且僅當時等號成立。因此 |OM|PQ|的最大值為 （III）橢圓C上不存在三點D，E，G，使得證明：假設(shè)存在，由（I）得因此D，E，G只能在這四點中選取三個不同點，而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，與矛盾，所以橢圓C上不存在滿足條件的三點D，E，G.40.（天津理18）在平面直角坐標系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點已知為等腰三角形（）求橢圓的離心率；（）設(shè)直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問題能力與運算能力.滿分13分. （I）解：設(shè) 由題意，可得即整理得（舍），或所以（II）解：由（I）知可得橢圓方程為直線PF2方程為A，B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得解得 得方程組的解不妨設(shè)設(shè)點M的坐標為，由于是由即，化簡得將所以因此，點M的軌跡方程是42.（重慶理20）如題（20）圖，橢圓的中心為原點，離心率，一條準線的方程為 （）求該橢圓的標準方程； （）設(shè)動點滿足：，其中是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由解：（I）由解得，故橢圓的標準方程為 （II）設(shè)，則由得因為點M，N在橢圓上，所以，故 設(shè)分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知因此所以所以P點是橢圓上的點，設(shè)該橢圓的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值，又因，因此兩焦點的坐標為