高等數(shù)學(xué)-微積分公式

3.2 微積分基本公式 3.2.1 原函數(shù)和不定積分的概念 3.2.2 基本積分表 3.2.3 微積分基本公式 3.2.1 原函數(shù)和不定積分的概念 一、案例 二、概念和公式的引出 一、案例 路程函數(shù) 已知物體的運(yùn)動方程為 2)( tts ，則其速度為 tttstv 2)()()( 2 這里速度 2t是路程 t2的導(dǎo)數(shù)，反過來，路程 t2又稱為速 度 2t的什么函數(shù)呢？若已知物體運(yùn)動的速度 v(t)，又如 何求物體的運(yùn)動方程 s(t)呢？ 二、概念和公式的引出 如果在開區(qū)間 I內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù) F(x)的導(dǎo)函數(shù)為 f(x), 即當(dāng) Ix 時 , xfxF 或 xxfxF dd 則稱函數(shù) F(x)是函數(shù) f(x)在區(qū)間 I內(nèi)的一個 原函數(shù) 原函數(shù) 若 xF 是函數(shù) xf 在開區(qū)間 I 內(nèi)的一個原函數(shù)， 即 xxf d CxF 其它符號的名稱與定積分中的名稱一致 不定積分 在該區(qū)間 I 內(nèi)的 不定積分 ，記作 xxf d稱為 xf C 為任意常數(shù)） xf 的所有原函數(shù)的表達(dá)式 CxF 則 （ C稱為 積分常數(shù) ， xfxxf d d d df( x ) x f x x或 Cxfxxf d 或 Cxfxfd 函數(shù)的不定積分與導(dǎo)數(shù)（或微分）之間的 運(yùn)算關(guān)系： 3.2.2 基本積分表 一、案例 二、概念和公式的引出 一、案例 冪函數(shù)的不定積分 于是 Cxxx 1d 1 1 類似地 , 由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，可以寫出與之對應(yīng)的不定積分公式 x x 1 1 因?yàn)?1 1 x 是 x 的一個原函數(shù) 1.基本積分表 Ckxxk d (1) k 為常數(shù)） ( (2) Cxxx 1d 1 1 (3) Cxxx lnd1 (4) Caaxa xx lnd (5) Cexe xx d (6) Cxxx c o sds in (7) Cxxx s indc o s (8) Cxxx t a nds e c 2 二、概念和公式的引出 (9) Cxxx c o tdc s c 2 (10) Cxxxx s e cdt a ns e c (11) Cxxxx c s cdc o tc s c (12) Cxxx a r c s ind1 1 2 (13) Cxxx a r c t a nd1 1 2 2、不定積分的性質(zhì) xxgxxfxxgxf ddd 即兩個函數(shù)和（差）的不定積分等于這兩個函數(shù) 的不定積分的和（差）。 性質(zhì)可推廣到有限個函數(shù)的情形 xxfkxxkf dd 0k k 為常數(shù) 即被積函數(shù)中不為的常數(shù)因子可以提到積分號外 (1) 性質(zhì) 1 (2) 性質(zhì) 2 3.2.3 微積分基本公式 一、案例 二、概念和公式的引出 三、進(jìn)一步練習(xí) 列車快進(jìn)站時必須減速若列車減速后的速度為 ttv 311 （ km/min） ，問列車應(yīng)該在離站臺多遠(yuǎn)的 地方開始減速？ 解 由變速直線運(yùn)動路程的計(jì)算，有 303 ( ) ds v t t 當(dāng)列車速度為 時停下，解出 3t （ min） 0311)( ttv 一、案例 列車制動 ttvts 311)( ，且 00 s 因此，求 dttv3 0 )( 即 s（ 3)轉(zhuǎn)化為求 s(t),而 211( ) d ( 1 ) d36s t v t t t t t t C 303 ( )ds v t t 5.13613 2 （ km） 即列車在距站臺 1.5km處開始減速 由速度與路程的關(guān)系 tstv 知路程 ts 滿足 列車從減速開始到停下來的 3min內(nèi)所經(jīng)過的路程為 將 s(0)=0代入上式，得 C=0，故 21 6s t t t 原函數(shù)，則 dba f x x F b F a baxF 此公式稱為 微積分基本公式 ，也稱為 牛頓萊布尼茲公式 xF 是連續(xù)函數(shù) xf 在區(qū)間 ba,若函數(shù) 上的一個 二、概念和公式的引出 微積分基本公式 2、定積分的性質(zhì) xxgxxfxxgxf ddd 即兩個函數(shù)和 (差 )的定積分等于它們定積分的和 (差 ) 性質(zhì)可推廣到有限個函數(shù)的情形 xxfkxxkf dd k 為常數(shù) 即被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外 (1) 性質(zhì) 1 (2) 性質(zhì) 2 牛頓萊布尼茨公式提供了計(jì)算定積分的簡 便方法，即求定積分的值，只要求出被積函數(shù) f(x)的一個原函數(shù) F(x)，然后計(jì)算原函數(shù)在區(qū)間 a,b上的增量 F(b)F(a)即可 . 該公式把定積分的計(jì)算歸結(jié)為求原函數(shù)的問 題，揭示了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系 . 練習(xí) 1 運(yùn)動方程 已知一物體作直線運(yùn)動， (1)求速度 v與時間 t的函數(shù)關(guān)系； (2)求路程 s與時間 t的函數(shù)關(guān)系 三、 進(jìn)一步的練習(xí) tta s in312 2 且當(dāng) 0t 時， ,5v 3s加速度為 解 (1)由速度與加速度的關(guān)系 )()( tatv 知速度 )(tv 滿足 tttatv s in312)()( 2 且 5)0( v 求不定積分，得 23( 1 2 3 s in ) 4 3 c o st t t t t C d 將 5)0( v 代入上式得 C=2所以 2c o s34)( 3 tttv (2)由路程與速度的關(guān)系 )()( tvts ，知路程 )(ts 滿足 2c o s34)()( 3 tttvts 且 3)0( s 求不定積分，得 34( ) ( 4 3 c o s 2 )d 3 s i n 2s t t t t t t t C 將 代入上式得 C=3所以 3)0( s 4( ) 3 s i n 2 3s t t t t 練習(xí) 2 磁場能量 在電壓和電流關(guān)聯(lián)參考方向下， 電感元件吸收的功率為 d d ip ui L i t 在 dt時間內(nèi)，電感元件在磁場中的能量增加量為 d d dW p t L i i 電流為零時，磁場亦為零，即無磁場能量；當(dāng)電流從 0增大到 i時，電感元件儲存的磁場能量為 2 0 1d 2 iW Li i Li 由此可見，磁場能量只與最終的電流值有關(guān)，而與電流 建立的過程無關(guān)。 練習(xí) 3 電流函數(shù) 若 t=0時 i=2A，求電流 i關(guān)于時間 t的函數(shù) . 2d 4 0.6 d i tt t 一電路中電流關(guān)于時間的變化率為 解 由 26.04 tt dt di 得 )(ti 2( 4 0 . 6 ) dt t t 將 代入上式得 C=2所以 2)0( i )(ti 232 0 . 2 2tt 232 0 . 2t t C 練習(xí) 4 結(jié)冰厚度 起到時刻 t(單位： h)冰的厚度（單位： cm）， t 是正的常數(shù)求 y關(guān)于 t的函數(shù) tkty dd 給出，其中 y 是自結(jié)冰 池塘結(jié)冰的速度由 解 由 tkty dd ,得 3 22( ) d d ( ) 3y t k t t k t t k t C 其中 t=0開始結(jié)冰，此時冰的厚度為 0，即有 y(0)=0 代入上式，得 C=0.所以 3 22() 3y t k t