固體物理基礎(chǔ) 課后答案 西安電子科技大學(xué)出版社(曹全喜 雷天明 黃云霞 李桂芳 著)第一二三四五章

聲明 第一條 佐正：第 1 章第 5 題“原子數(shù)、面密度”改為“原 子數(shù)面密度”；第 7 章第 7 題“原于量”改為“原子 量”。 第二條 本習(xí)題解答基于版本：固體物理基礎(chǔ) -西安電子 科技大學(xué)出版社 (曹全喜 雷天明 黃云霞 李桂芳 著 ) ，且僅限于習(xí)題解答，而不包含思考題部分； 第三條 此版本只含有習(xí)題參考答案（部分題目提供了多 種解法），而不含有思維分析，若要交流，請百度嗨 小生； 第四條 由于本學(xué)期只教習(xí)了前 5 章，因此本解答僅包含 前 5 章內(nèi)容，完整版將于寒假后奉上； 第五條 本習(xí)題解答由 “ 蘇大師 ” 整理 /解答 /編排而成； 第六條 紕漏難免，歡迎指正； 第七條 不加水印 方便打印 版權(quán)所有 網(wǎng)傳必究 ！ 第 1章 晶體結(jié)構(gòu) 習(xí)題 1畫出下列晶體的 慣用原胞 和布拉菲格子， 指明各晶體的結(jié)構(gòu) 以及慣用原胞、初基原 胞中的原 子個數(shù)和 配位數(shù)。 (1) 氯化鉀 ； （2 ）氯化鈦 ； （3 ）硅 ； （4 ）砷化鎵 ； （5 ）碳化硅（ 6）鉭酸鋰 ； （ 7）鈹 ； （8 ）鉬 ； （9 ）鉑 。 解： 名稱 分子式 結(jié)構(gòu) 慣用元胞 布拉菲 格子 初基元胞 中原子數(shù) 慣用元胞 中原子數(shù) 配位數(shù) 氯化鉀 KCl NaCl結(jié)構(gòu) fcc 2 8 6 氯化鈦 TiCl CsCl結(jié)構(gòu) sc 2 2 8 硅 Si 金剛石 fcc 2 8 4 砷化鎵 GaAs 閃鋅礦 fcc 2 8 4 碳化硅 SiC 閃鋅礦 fcc 2 8 4 鉭酸鋰 LiTaO3 鈣鈦礦 sc 5 5 2、 6、 12 O、 Ta、 Li 鈹 Be hcp 簡單 六角 2 6 12 鉬 Mo bcc bcc 1 2 8 鉑 Pt fcc fcc 1 4 12 2 、 試證明：理想六角密堆積結(jié)構(gòu)的 128 1.633 3ca 。如果實際的 ca 值比這個數(shù)值大得多，可以把晶體 視為由原子密排平面所組成，這些面是疏松堆垛的。 證明 ： 如 右 圖所示，六角層內(nèi)最近鄰原子間距為 a，而相鄰兩層的最近鄰原子間距為 ： 2122 43 cad 。 當(dāng) d=a 時構(gòu)成理想密堆積結(jié)構(gòu)，此時有： 2122 43 caa ， 由此解出： 633.1 38 21 ac 。 若 633.1ac 時，則表示原子平面的層間距較理想結(jié)構(gòu)的層間距大， 因此層間堆積不夠緊密。 3、畫出立方晶系中的下列晶向和晶面： 1 01、 11 0、 112、 121 、（ 1 10）、（ 211）、（ 111 ）、（ 1 2）。 解： 4 考慮指數(shù)為（ 100）和（001 ）的面，其晶格屬于面心立方，且指數(shù)指的是立方慣用原胞。若采用初基 原胞基矢坐標(biāo)系為軸，這些面的指數(shù)是多少？ 解： 如右 圖所示：在立 方慣用原胞中的（ 100）晶面，在初基原胞基矢坐標(biāo) 系中，在 1a 、 2a 、 3a 三個基矢坐標(biāo)上的截距為 2,2 ，則晶面 指數(shù)為（ 101）。同理，（ 001）晶面在初基原胞基矢坐標(biāo)系 1a 、 2a 、 3a 上的截距為 ,2,2 ，則 晶面指數(shù)為（ 110）。 5試求面心立方結(jié)構(gòu)（ 100）、（ 110）、（ 1 1）晶面族的原子數(shù)面密度和面間距，并比較大?。徽f明垂直于 上述各晶面的軸線是什么對稱軸？ 解： 晶面指數(shù) 面間距 對稱軸 （ 100） 22a C4 （ 110） a 22 C2 （ 111） a 33 C3 6對于二維 六角密積結(jié)構(gòu)， 初基原胞基矢為： 1 32aa i j ， 2 32aa i j ， kcc 。 求 其倒格子基矢，并判斷倒格子也是六 方結(jié)構(gòu)。 解： 由倒格基失的定義，可計算得： 32 1 2 aab = a2 ) 31( ji ， 2a 2a a a33 jiaaab )31(22 132 ， kcaab 22 21 3 （未在圖中畫出） 正空間二維初基原胞如圖（ A）所示，倒空間初基原胞如圖（ B）所示 （ 1）由 21 bb、 組成的倒初基原胞構(gòu)成倒空間點陣，具有 C6操作對稱性，而 C6對稱性是六角晶系的特 征。 （ 2）由 21 aa、 構(gòu)成的二維正初基原胞，與由 21 bb、 構(gòu)成的倒初基原胞為相似平行四邊形，故正空間 為六角結(jié)構(gòu)，倒空間也必為六角結(jié)構(gòu)。 （ 3）倒 空間初基原胞基矢與正格子初基原胞基矢形式相同，所以也為六方結(jié)構(gòu)。 7 、 用倒格矢的性質(zhì)證明，立方晶 系 的 hkl晶向與 （ hkl） 晶面垂直。 證 明 ： 由倒格矢的性質(zhì)，倒格矢 321 blbkbhG h kl 垂直于晶面（ hkl）。由晶向指數(shù)（ hkl）， 晶向可用 矢量 A 表示，則： 321 alakahA 。 倒格 子 基矢的定義： )(2 32 1 aab ； )(2 13 2 aab ； )(2 21 3 aab 在立方晶系中，可取 321 aaa 、 相互垂直且 321 aaa ，則可得知 332211 bababa ， ， 且 321 bbb 。設(shè) m a b i i （為常值，且有量綱，即不為純數(shù)）， 則 ，即 與 A 平行。 8 考慮晶格中的一個晶面（ hkl），證明： (a) 倒格矢 1 2 3hG hb k b lb 垂直于這個晶面； (b) 晶格中相 hklGhklG A 鄰兩個平行晶面的間距為 2 hkl hd G ； (c) 對于簡單立方晶格有 22 2 2 2 ad h k l 。 證明： （ a）晶面 （ hkl） 在 基 矢 321 aaa 、 上的截距為 lakaha 321 、 。作矢量： kaham 211 ， lakam 322 ， halam 133 顯然這三個矢量互不平行，均落在 （ hkl） 晶面上（如右圖），且 0222 321 21 321 13 321 3221 321 21 1 aaa aal aaa aak aaa aah k a h a blbkbh k a h aGm h 同理，有 02 hGm ， 03 hGm 所以，倒格矢 hklGh 晶面。 （ b） 晶面族（h kl） 的面間距為： hhh hh k l GG blbkbhha G Ghad 232111 （ c）對于簡單立方晶格： 212222 lkh aG h 222 22 lkh ad 9 用 X光衍射對 Al作結(jié)構(gòu)分析時，測得從 (111)面反射的波長為 1.54， 反射角為 =19.20， 求面間距 d111。 解： 由布拉格反射模型，認(rèn)為入射角反 射角，由布拉格公式：2dsin =，可得 sin2nd （對主極大 取 n=1） )(34.22.19sin2 54.1 0 Ad 10 試證明：勞厄方程與布拉格公式是等效的。 證明： 由 勞厄方程 ： 2)( 0 kkR l 與正倒格矢關(guān)系 ： 2 hl GR 比較可知： 若 0kkGh 成立 ， 即入射波矢 0k ，衍射波矢 k 之差為任意倒格矢 hG ，則 k 方向產(chǎn)生衍射光， 0kkGh 式稱為倒空間勞厄方程又稱衍射三角形。 現(xiàn)由倒空間勞厄方程出發(fā)，推導(dǎo) Blagg公式。 對 彈性散射 ： 0kk 。 由倒格子性質(zhì)，倒格矢 hG 垂直于該 晶面族。所以， hG 的垂直平分面必與該晶面族平行。 由 右圖可 知： sin4sin2 kG h (A) 又若 hG 為該方向的最短倒格矢，由倒格矢性質(zhì)有： dG h 2 ； 若 hG 不是該方向最短倒格失， 由倒格子周期性 ： ndGnG hh 2 （ B） 比較（ A）、（ B）二式可得 ： 2dSin n 即為 布拉格公式。 11 、 求金剛石的幾何結(jié)構(gòu)因子，并討論衍射面指數(shù)與衍射強度的關(guān)系。 解： 每個慣用元胞中有八個同類原子 ，其坐標(biāo)為 ： 434341434143414343414141212102102102121000 ， 結(jié)構(gòu)因子 ： m ij lwkvhuijh k l jjjefS 2 lkhilkhilkhilkhilhilkikhi eeeeeeef 33233233221 前四項為 fcc 的結(jié)構(gòu)因子，用 Ff表示從后四項提出因子 )(2 lkhie lkhiflkhifflkilhikhilkhifh k l eFeFFeeeefFS 22)()()()( 112 因為 衍射強度 2hklSI ， lkhilkhi flkhilkhifh k l eeFeeFS 222)()(22 211 22 用尤拉公式 整理后： )(2cos12 22 lkhFS fh k l 討論： 1、 當(dāng) h、 k、 l 為奇異性數(shù)（奇偶混雜）時 ， 0fF ， 所以 02 hklS ； 2、 當(dāng) h、 k、 l 為全奇數(shù)時 ， 2222 32)4(22 ffFS flkh ； 3、 當(dāng) h、 k、 l 全為偶數(shù)，且 nlkh 4 （ n 為任意整數(shù) ）時， 2222 . 64164)11(2 ffFS flkh 當(dāng) h、 k、 l 全為偶數(shù)，但 nlkh 4 ， 則 122 nlkh 時， 0)11(2 22 . FS lkh 12 、 證明第一布里淵區(qū)的體積為 nullnull cV 32nullnull ，其中 Vc是正格子初基原胞的體積。 證明： 根據(jù)正、倒格子之間的關(guān)系： )(2 32 1 aab ， )(2 13 2 aab ； )(2 21 3 aab Vc是正格子初基原胞的體積，第一布里淵區(qū)的體積為就為倒格子原胞的體積，即 cc c c VaaaaaaV aaaaaaVaaaV 3 123123 3 211332 3 321 22 )()(2 第 2章 晶體的結(jié)合 習(xí) 題 1、已知某晶體兩相鄰原子間的互作用能可表示成： nm rbrarU )( ，求： 晶體平衡時兩原子間的距離； 平衡時的二 原子間的互作用能； 若取 m=2， n=10，兩原子間的平衡距離為 3，僅考慮二原子間互作用則離解能為 4eV，計算 a 及 b 的值； 若把互作用勢中排斥項 nbr 改用玻恩梅葉表達式 exp r p ，并認(rèn)為在平衡時對互作用勢能具 有相同的貢獻，求 n 和 p 間的關(guān)系。 解： (1) 由 nm rbrarU )( ， 平衡時： 0)( 1 010 0 nmr bnra m rr rU ， 得： ambnr mn 0 ， 化簡后得： mnambnr 1)(0 。 (2) 平衡時把 r0表示式代入 U(r)中： mn mn mn mn nm mn b am na bn m am bn b am bn arU mn n mn m )()( )( 0 。 （ 3）由 r0表示式得： 81)5(103 10 ab 若理解為互作用勢能為二原子平衡時系統(tǒng)所具有的能量，由能量最小原理，平衡時系統(tǒng)能量具有 極小值，且為負值；離解能和結(jié)合能為要把二原子拉開，外力所作的功，為正值，所以，離解能結(jié) 合能 互作用勢能，由 U(r)式的負值，得 ： 101021019 )103()103(106.14 ba 化簡為 ： 80 10 1039104.6 ba 略去第二項 計算可得： 2115238 1045.9102.7 mJbmJa ， (4) 由題意得 ： * 00 lnlnln rnbpr ， bprrn lnln 00 ， 則： 0 0 ln ln r b p r n 0 0 rp n be r 又解：* 式兩邊對 r0求導(dǎo)，得： 10 npr bnre p ， 與 *式比較得： prn 10 可解得： npr 0 2、 N對離子組成的 Nacl晶體相互作用勢能為： ReRBNRU n 0 2 4)( 。 證明平衡原子間距為： ne BR n 2010 4 ； 證明平衡時的互作用勢能為： )11( 4)( 00 2 0 nRNeRU ； 若試驗試驗測得 Nacl晶體的結(jié)合能為 765kJ/mol，晶格常數(shù)為 5.6310-10m，計算 Nacl晶體的排斥 能的冪指數(shù) n，已知 Nacl晶體的馬德隆常數(shù)是 1.75。 證明： （ 1）由： ReRBNRU n 0 2 4)( 得： 120 22 0 21 4)1(4)()( nn R BnReNReRnBNdR RdU 令 ： 0)( 0 RRR RdU ，即 04 1 0200 2 nRBnReN 得 ： 2010 4 e BnR n 。 （ 2）把以上結(jié)果代入 U(R)式，并把 R 取為 R0，則： nR eNeBNRU nn e Bne Bne Bn 11 4)(4)()( 00 2 40 2 440 11 201 1 2020 若認(rèn)為結(jié)合能與互作用能符號相反，則上式乘“” 。 （ 3）由（2 ）之結(jié)論整理可得 ： )(4 0002 2 RUReN eNn 式中 ： 23100.6 N N， 19106.1 e 庫侖 ， 120 1085.8 法 /米 若題中 R0為異種原子的間矩， 則： mR 100 1063.55.0 ； m o lJRU /1065.7)( 50 U（平衡時互作用勢能取極小值，且為負，而結(jié)合能為正值） 馬德隆常數(shù) ： 75.1 ，將這些一致數(shù)據(jù)代入 n 的表達式中，則： 8.8 1056.275.1100.6 1065.71082.21085.814.341 1)(4 1 1 3823 51012 2 000 eN RURn 3、 如果把晶體的體積寫成： V NR3，式中 N 是晶體中的粒子數(shù)； R 是最近鄰粒子間距； 是結(jié)構(gòu)因子， 試求下列結(jié)構(gòu)的 值： fcc； bcc； NaCl； 金剛石。 解： 取一個慣用元胞來考慮： 結(jié)構(gòu) V0 N0 R0 fcc a3 4 a22 22 bcc a3 2 a23 2334 NaCl a3 8 2a 1 金剛石 a3 8 a43 2338 4、 證明：由兩種離子組成的 間 距 為 R0的一維晶格的馬德隆常數(shù) 2ln2 。 已知 1 1 1ln2 1 n n n 證明： 由馬德隆常數(shù)的定義： j ja 1 ，其中同號離子取“”，異號離子取“”。 若以一正離子為參考點，則： .21.6141212.12 1.513112 nn (A) 又由已知 1 1 1ln2 1 n n n ，代入（ A）式，則： 2ln2 5、假定由 2N 個交替帶電荷為 q 的離子排布成一條線，其最近鄰之間的排斥勢為 nbr ，試證明在平衡間距 下有： 2 0 002 ln 2 114NqUR Rn 。 證明： 由 RqRBNRU n 0 2 4)( ，得： 120 22021 4)1(4)()( nn R BnRqNRqRnBNdR RdU 令： 0)( 0 RRR RdU ，即 04 1 0200 2 nRBnRqN 得： 2010 4 q BnR n 。把該式代入 U(R)式，并把 R 取為 R0，則： nR qNqBNRU nn q Bn q Bn q Bn 11 4)(4)()( 00 2 4 0 2 440 11 201 1 2020 (A) 由馬德隆常數(shù)的定義： j ja 1 ，其中同號離子取“”，異號離子取“”。 若以一正離子為參考點，則： .21.6141212.12 1.513112 nn (B) 又由已知 1 1 1ln2 1 n n n ，代入（ B）式，則： 2ln2 。將 代入 (A) 式，得： 2 0 002 ln 2 114NqUR Rn 。 6、試說明為什么當(dāng)正、負離子半徑比 37.1/ rr 時不能形成氯化銫結(jié)構(gòu)；當(dāng) 41.2/ rr 時不能形成 氯化鈉結(jié)構(gòu)。當(dāng) 41.2/ rr 時將形成什么結(jié)構(gòu)？已知 RbCl、 AgBr及 BeS中正、負離子半徑分別為 ： 晶 體 r+/nm r-/nm RbCl AgBr BeS 0.149 0.113 0.034 0.181 0.196 0.174 若把它們看成是典型的離子晶體，試問它們具有什么晶體結(jié)構(gòu)？若近似地把正、負離子都看成是硬小 球，請計算這些晶體的晶格常數(shù)。 解： 通常 rr ，當(dāng)組成晶體時，可以認(rèn)為正、負離子球相互密接。 對氯化銫結(jié)構(gòu)，如圖（ a）所示， 8個正離子組成立方體，負離子處在立方體的中心，所以立方體 的對角線 rrd 22 ，立方體的邊長為： rrda 323 為了能構(gòu)成氯化銫結(jié)構(gòu)晶體，負離子的直徑 r2 必須小于立方體的邊長 a，即 rrar 322 ，由此可得： 37.1 131/ rr 。 即為了能構(gòu)成 氯化銫結(jié)構(gòu)晶體， rr/ 必須小于 1.37。 （ a） （ b） （ c） 對于氯化鈉結(jié)構(gòu)，如圖（ b）所示 為氯化鈉結(jié)構(gòu)的一個慣用原胞（ 100）面的離子分布情況 ， 這 里設(shè)正離子處在頂角，由圖可見， rrdr 22 ，則 41.2121/ rr 。 所以，構(gòu)成 氯化鈉結(jié)構(gòu) rr/ 必須小于 2.41。 對于閃鋅礦結(jié)構(gòu)，如圖 （ c）所示 為閃鋅礦結(jié)構(gòu)的一個慣用原胞（ 110）面的離子分布 ， 這里設(shè)負離 子處在面心 立方 位置，由圖可見， arr 43 ， ar 24 ， ra 22 rarr 224343 ， 則： 41.245.4/ rr 所以，構(gòu)成 氯化鈉結(jié)構(gòu) rr/ 必須大于 2.41。 晶 體 r+/nm r-/nm rr/ 晶體結(jié)構(gòu) 晶格常數(shù) a/nm RbCl AgBr BeS 0.149 0.113 0.034 0.181 0.196 0.174 1.214 1.734 5.118 氯化銫 氯化鈉 閃鋅礦 0.381 0.618 0.492 第3章 晶格振動 習(xí)題 1.設(shè)有一雙子鏈最近鄰原子間的力常數(shù)為和10，兩種原子質(zhì)量相等，且最近鄰距離為a/2， 求在q=0,q= a 處的(q).并定性畫出色散曲線。 m m 10 m m _ 22 aa 解：已知 21)cos2(1 212221212 qamA m (1) 21)cos2(1 212221212 a0 mm (2) 由題意 2 101 10 代入（1）式 得 21)cos20100(111 222 qamA m = 21)cos20101(11 qamm = 21)cos20101(11 qam 當(dāng)q=0時 0)1111(02 q mA 當(dāng)q= a 時 mq a mA 2)9112 ( 把 2=101=10代入（2）式 得 21)cos20101(2 11 qa0 m 當(dāng)q=0時 q m 2202 0 時aq q a m 202 0 2. 設(shè)三維晶格的光學(xué)格波在 q=0 的長波極限附近有 i (q)=0 Aq2 A0）（ ，求證光學(xué)波頻 率分布函數(shù)(格波密度函數(shù))為：g()= )1(3 1 s i 24 V 23 21)( 0 i A i 0 g()=0 i 0 證：由格波密度函數(shù)的定義已知，對一支格波在d i 區(qū)間格波數(shù)為 g ( i )d i = q d d iV i i 3)2 ( 在長波極限下等頻率面為球面 則 g( i )d i = dqqV 243)2( 當(dāng) i 0 時 因為 q 2 A q)i(0 A q)iq (0 dq= 2121 )(2 )( q0A qd i i 所以 g( i )= 2121 )(2 14 )2( 0 0 3 i i AA V = - 23 21 2 0 4 )( A V i 由模式密度的物理意義，取其絕對值 而當(dāng) i 0 時 因為 i 0 Aq2 所以Aq2= 0 i 又因為 A 0 20 因為q本身為實數(shù)) 所以 上式右邊必滿足 0 i 即不存在 i 0 的格波則 則 g( i )=0 又因為 三維晶體中共要有3（S1）支光學(xué)格波 所以 光學(xué)波頻率分布函數(shù)為： i 0 0 0 3 求一維單原子鏈的格波密度函數(shù)。若用德拜模型，計算系統(tǒng)的零點能。 解： (1)設(shè)一維單原子鏈長LNa，a為原子間距，N為原子數(shù)，在 a q a 區(qū)域 內(nèi) q只 能取N個值， dq間距內(nèi)的格波數(shù)為 f(q)dq= dqLdqNadq a N 222 色散關(guān)系為 2sin4 qam (1) )cos1(22 qam = 2 2 m (1-cosqa) (2) 其中 =m 21)4( m q ( = - 由于對應(yīng)于q, 取相同的值，（色散關(guān)系的對稱性，則d區(qū)間的格波數(shù)為 g( )d2 dq Nad ddq Na 2 (3) 由色散關(guān)系（2）可得： 2 d= 2a m 2 sinqa dq qaaqaadqd mm 2 22 cos14sin4 = 222 a m 代入(3)可得： g( )= 2 2 2 N m (4) (2) 在德拜模型下，色散關(guān)系為線性 pq pdqd 代入(3)式 得； g()= p L p Na (5) 則零點能為： E 零 dLd D g p D 22 1)( 0 0 = p L D 2 4 (6) 又因為 NLdLdg p D D p D 0 ) 0 ( 得： N LDp (7) 代入（6）式 得： E =零 aNQKNN DBd 444 4. 試用平均聲子數(shù)n（ 1)KTe 1 證明：對單式格子，波長足夠長的格波平均能量為 kT； 當(dāng)TQ 時，大約有多少模式被激發(fā)？并證明此時晶體比熱正比于 (d 3)Q D T 。 解：單式格子僅有聲學(xué)格波，而對聲學(xué)波波長入足夠長，則很低對滿足 Tk B 1的格波 把 TBKwe 泰勒展開，只取到一次項 TBKwe （1 Tkw ） B Tk w ， B 1 1 = 平均聲子數(shù) n 1)KT(e 1 ，所以 w TkBn 而屬于該格波的聲子能量為 當(dāng)T 時，可使用德拜模型，格波密度函數(shù)為教材（D 372） g(w)= 23223 V 只有 TkB 的格波才能激發(fā)，已激發(fā)的格波數(shù)可表示為： dg T A BK ) ( 0 33 )2 ( T2 kV B 由上已知，此時格波平均能量為K T則晶格熱容可表示為 B TkTkV TC B B ) V (32 2 3332 42 TvkB 把（375）式 31)6 2( VND 及 DBQD K 代入整理為： C v 12NKB 3)(Q D T 所以晶格比熱正比于（ 3)Q D T 得證 5. 對于金剛石、Zns、單晶硅、金屬Cu、一維三原子晶格，分別寫出 (1) 初基元胞內(nèi)原子數(shù)； (2). 初基元胞內(nèi)自由度數(shù) (3).格波支數(shù); (4). 聲學(xué)波支數(shù) (5).光學(xué)波支數(shù) 解： 金剛石 Zns Si Cu 一維三原子晶格 初基元胞內(nèi)原子數(shù) 2 2 2 1 3 初基元胞內(nèi)自由度數(shù) 6 6 6 3 3 格波支數(shù) 6 6 6 3 3 聲學(xué)波支數(shù) 3 3 3 3 1 光學(xué)波支數(shù) 3 3 3 0 2 6. 證明在極低溫度下，一維單式晶格的熱容正比于T . 證：在極低溫度下，可用德拜模型，q點密度為 2L g d區(qū)間格波數(shù)為 g( )d2 dLddqL wq 1 dw2 所以格波密度函數(shù)g() L 只有 Tk B 的格波才能被激發(fā)，已激發(fā)的格波數(shù)為； A TkLd Bg TKB )( 0 由第4 題已證，在極低溫度下，一維單式格子主要是長聲波激發(fā)對滿足kT 1的格 波能量為K T。則晶格熱容為B TLKTKTLKT BC BBV 22 即熱容正比于T。 7. NaCl 和KCl具有相同的晶體結(jié)構(gòu)。其德拜溫度分別為320K和230K。KCl在5K時的 定容熱容量為3.810-2 .Jmol-1.K-1，試計算NaCl在5K和KCl在2K時的定容熱容量。 解： 設(shè)NaCl和KCl晶體所包含的初基元胞數(shù)相等，均為N，T D ，可用德拜模型（德 拜溫度分別為NaCl320K，KCl230K）利用 CV=qNk( 2 4 0 3 )1() x x eD dxex Q TT D Q TQD 1. 積分上限近似可取為、則有 154)1 2 ( 2 4 0 x x e dxex 3 4 )(512 D Bv Q TNKC 對KCl： T5K時 C v 3.8X10-2 當(dāng) 2K時 2331 1024.012588.32 5 vCvC (J.mol-1.K-1) 對NaCl：T=5K時 3 310 311 3 11 )320( )230(8.3 )( ) 2( X D Dv v Q QCC 1.41X10-2(J.mol-1.K-1) T 8、在一維無限長的簡單晶格中，若考慮原子間的長程作用力，第 n個與第 n+m 或 n-m個原子間的恢復(fù)力系數(shù)為 m，試求格波的色散關(guān)系。 解： 設(shè)原子的質(zhì)量為 M，第 n個原子對平衡位置的位移為 n,第 n+m和 n-m個原子 對平衡位置的位移分別為 n+m和 n-m（ m = 1， 2， 3 ），則第 n+m和 n-m 個原子對第 n個原子的作用力為： .2, nmnmnmnmnmnmnmmn uuuuuuuf 第 n個原子受力的總和為 .211 , nmnmnm mm mnn uuufF 因此第 n個原子的運動方程為 .212 2 nmnmnm mn uuudt udM 將格波的試探解 tqnain Aeu 代入運動方程，得 212 iq m aiq m a m m eeM 1c o s21 qm am m .2s in4 21 qm a m m 由此得格波的色散關(guān)系為 .2s in4 212 q m aM m m 9、 求半無限單原子鏈晶格振動的色散曲線。 解： 原子之間的耦合系數(shù)以 n 表示。正方向由表面指向體內(nèi)。 m 為原子質(zhì)量。 1、 對于 n=0的表面原子，只受到 n=1的原子作用 , 耦合系為 0。其運動方程為： 0 0 1 2mx xx（ - ） （ 1） 2、 對于 n=1 的表層原子，受到 0 號、 1 號原子作用 , 耦合系為 0， 1。其運 動方程為： 1 1 2 1 0 1 0m x x xxx （ - ） （ - ） （ 2） 其中 10 3、 對于 n=2 的表面第三層原子，受到 1 號及 3 號原子的作用。假定第三層原 子代表體內(nèi)原子。 12 體內(nèi)原子振動方程為 2 2 3 2 1 2 1 3 1 2 m x x xxxx ( - ) ( - ) ( + -2 ) 一般表達式為 11m x x xn n n n nx ( + -2 ) （ 3） 聯(lián)立三個運動方程 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 0 11 m x x m x x x m x x xn n n n n x xx x ( - ) ( 1 ) ( - ) ( - ) ( 2 ) ( + - 2 ) ( 3 ) 以上三個振動方程的解 有 20 0 1 1 2 2,i t i t i tx A e x A e x A e 一般情況下，振幅 A0=A1=A2= 振動方程通解為： i t nnx Ae （ 4） 其中 ： n=0， 1， 2 ； n=0 代表表面原子。 體內(nèi) 表面 形式衰減系數(shù) 將此解，代入 n 2 振動方程，得到振動頻率表達式 2 2 (1 ch )m 2 ( 2 / )(1 c h )m （ 5） 注意： chx=(ex+e-x)/2,x=0,chx=1 由于 (4)式概括了表面原子與體內(nèi)原子的情況，所以（ 5） 式概括了表面原子與 體內(nèi)原子的情況，其區(qū)別取決于 “” 表面模振動頻率 必須是正實數(shù)或包含有正實部的復(fù)數(shù)，只有這樣（ 5）才能給出 的衰減解 . 代入 s i 到（ 5）式 得到 2 ( 2 / m )(1 c h )ss 由上式知 2 ms 體內(nèi)原子鏈?zhǔn)菬o限原子鏈，鏈上每個原子情況均相同，無衰減現(xiàn)象。數(shù)學(xué)上的表 征要求 為虛數(shù)。引入 =ib，代入（ 5）式中： 2b 2 1 ch (i )bm 24 sin 2bm b 為相鄰兩原子的位相差 且有： b=qa 式中： q 為波矢， a 為晶常數(shù) 表面模與體模頻率 第4章 固態(tài)電子論基礎(chǔ) 習(xí)題 1.試推導(dǎo)出一維和二維自由電子氣的密度。 拓展：三維自由電子氣系統(tǒng)的能態(tài)密度表達式 3 2 2 2 2( ) ( ) 2 V mN E E h 解 （1）一維情況 自由電子的色散關(guān)系為 m k E 2 22 = . 由此得 dkE m dk m k dE 21 21 22 2 = , 即 dEE m dk 21 21 2 2 = . 對應(yīng)同一個 dE ，在 k 方向各有一個 dk ，因此空間中 dEEE +與 之間的區(qū)間為 dEE m dkd 21 21 2 2 2 = , 在該范圍內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為 dEE mL d L dZ 21 21 2 2 = , 其中 L 是晶格長度. 于是，態(tài)密度 ( ) 21 21 2 2 = E mL dE dZ EN . （2）二維情況 參照教程，二維情況下態(tài)密度的一般表示式為 ( ) = L k E dLS EN 2 2 . 其中 S 是晶格的面積，積分沿能量為 E 的等能線進行. 由 ( ) 22 2 2 yx kk m E += 得 ( ) m k kk m E yxk 2 21 22 2 =+= . 于是有 ( ) 2 1 2 22 2 22 mS k m kS E dLS EN L k = = = . 2. )(2)( 2 2 yx KKmE 試求：（1）能量從E到EdE 之間的狀態(tài)數(shù) （2）T0時費米能量的表示式 解：（1）解1：在二維情況下，每個 K 點在倒二維空間占的面積為（2/L 2） , K 點面密 度為 考慮電子自旋，在K 單位面積內(nèi)電子態(tài)總數(shù)為(電子態(tài)密度) 對題示的電子，等能面為圓，k 空間半徑為 2 2| mEk 的圓內(nèi)電子態(tài)數(shù)目為 態(tài)密度 dE間隔的電子狀態(tài)數(shù)dZgdE 解2： 2 2 )2( L 2 2 2 2 242 LL 2 2 2 2 2 2 2 mEL LmEZ 2 2mL dE dzD dEmL2 2 KdKLdZ 222 2 KdKmdE 2 2 2 設(shè)N個自由電子被限制在邊長為L的正方形勢阱中運動，電子能量為 k (2) T=0 時 0電子把E 0 V 0 這樣兩塊金屬中的電子分別具有附加的靜電勢能為 -eV 0 它們發(fā)射的電子數(shù)分別變成 平衡時 由此得 eV eV 所以接觸電勢差 V V （1/e）（ ）(注意V0) TBK II eTKm B 2 2)( 4 TKeVB BeTKm /)( 3 2) 1 1( 4 TKeVB BeTKm /)( 3 2) 1 ( 4 11 = 1、在近鄰近似下，按緊束縛近似，針對簡立方晶體 S 能帶 : （ 1） 計算 s k關(guān)系； （ 2） 求能帶寬度； （ 3） 討論在第一3G$:j 心附近等能面的形狀。 注： CosX=1 X2/(2！ ) + X4/(4！) 解：（ 1） 對簡立方，最近鄰原子處于 Rn =ai , aj ,ak Es=sat A B e e e e e eik a ik a ik a ik a ik a ik ax x y y z z =sat A 2B （ Coskxa+Coskya+Coskza） （ 2） 當(dāng) Kx= Ky=Kz=0 時 Esmin=E sat A 6B 當(dāng) Kx=Ky=Kz= a 時 Esmax=Esat A +6B 能帶寬度 EmaxE min 12B （ 3）當(dāng) Kx, Ky, Kz 均趨于零時 Es（ k ） Esat A 2B（1 K a K a K ax y z2 2 2 2 22 1 2 1 2 ） = E sat A 2B 3 22 2 2 2 a K K Kx y z 球形 2 X近鄰近似下，用緊束縛近似導(dǎo)出體心立方晶體 S 能帶的 Es( )，試 畫出沿 Kx 方向（ Ky=Kz=0）的散射關(guān)系曲線，并計算能帶寬度。 解：選體心原子為參考點，最近鄰原子的 2 位置 Rn =a2 i a2 j a2 k k (共八個 ) 則 Es(k )=Esat A B e i a k k k i a k k kx y z x y ze2 2( ) ( ) + )(2)(2 zyxzyx kkkaikkkai ee +e i a k k k ia k k k ia k k k ia k k kx y z x y z x y z x y ze e e2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) =E sat A 2 B e a kzi a k kx y2 2( ) cos + )(2 yx kkaie cosakz2 +eia k kx y2( ) cosakz2 + e a kzi a k kx y2 2( ) cos = E sat A 2B 2e a ky e a kyi a k i a kx x2 22 2c o s c o s cos a2 kz =E sat A 4B 2(coskax2 cos k a k ay z2 2cos ) =E sat A 8Bcos kax2 cos k a k ay z2 2cos 當(dāng) Ky=Kz=0 時 Es(kx)=Esat A8Bcos kax2 同時 Kx=0 時 Esmin=Esat A 8B 當(dāng) Kx=Ky=Kz=2 a 或 kx=2 /a;ky=kz=0 時 Esmax=Esat A +8B 能帶寬度 EmaxE min 16B 3一個晶格常數(shù)為 a 的二維正方晶格， （ 1）用緊束縛近似求 S 能帶表示式，能帶 頂 和能帶底的位置以及能帶 寬度； （ 2）求能 帶底電子和能帶頂空穴的有效質(zhì)量； （ 3） 寫出s能帶電子的速度 表示式。 解：（ 1）選某一原子為坐標(biāo)原點，最近鄰的原子有四個，位 置為 Rn =a2 i ， a2 j 由 Es=sat A B aikaikaikaik yyxx eeee =sat A2B （Cosk xa+Coskya） 在第一 B.Z 區(qū) 帶底位置： Kx =Ky =0, 帶頂位置： Kx = a Ky = a 帶寬： 8B （2 ）m xx* = 2 2 2 Kx E .= 2 /(2a 2BcosK xa) myy* = 2 2 2 Ky E .= 2 /(2a 2BcosK ya) mxy * = m yx * =0 把帶底位置 Kx =Ky =0 代入 得：m xx* = myy* = m*= 2 /(2a2B) 把帶頂位置： Kx = a ，K y = a 代入 得： mxx* = myy* = m*= 2 /(2a2B) 帶頂空穴有效質(zhì)量 mh* = m*= 2 /(2a2B) （3 ） 1v kEs(k )= 1 *2aB(sinKxai +sinKyaj ) 利用一維 Bloch 電子模型證明：在布里淵區(qū)邊界上，電子的能量 取極值。 解：由教材:,?9 E Th+ |Vh| + Th(2Th/|Vh| +1) E_ Th|V h|T h(2Th/|Vh| 1) nullnullnullE 2T h(2Th/|Vh| +1) 0 處 0 E Th+ |Vh| nullnullnullE 2T h(2Th/|Vh|1) 0 處 0 E_ Th|V h| 5、利用布洛赫定理， K(x+na)=K(x)eikna 的 形式，針對一維周期勢場 中的電子波函數(shù)。 (1) K(x)=sina x (2) K(x)icos 8a x (3) K(x)= l f(xla) (f 為某一確定函數(shù) ) 求電子在這些狀態(tài)的波矢 K(a 為晶格常數(shù) ) 解： (1) K(x)=sina x K(x+na)=sina (x+na)=sin(a x+n) =(-1)nsin(a x )=(-1)nK(x) eikna=(-1)n=ei(n+2m) (m 也為整數(shù) ) kna=(n+2m) 所以 K a （1 2mn ） (2) K(x)=icos8a x K(x+na)=icos8a (x+na) =icos(8a x+8n)=K(x) e ikna=1 kna=2m k=2mna (3) K(x)=l f(xla) K(x+na)=l f(x+nala)= l fx(l n)a 設(shè) l-n=m K(x+na)=m f(x-ma)=K(x) 所以 eikna=1 kna=2N N 也為整數(shù)和 零 K 2Nna 6、已知一維晶體的電子能帶可寫成 E(k )= 22ma (78 coska+ 18 cos2ka) 其中 a 為晶格常數(shù)，求（ 1）能帶寬度； （ 2）電子在波矢 k 狀態(tài)的速度； （ 3）帶頂和帶底的電子有效質(zhì)量。 解：（ 1） E(k)= 22ma (78 coska+ 18 cos2ka) = 22ma 78 coska+ 18 (2cos2ka 1) 224ma (coska 2)2 1 當(dāng) ka(2n+1) 時， n=0.1.2 E(k)max= 222ma 當(dāng) ka=2n 時 E(k)min=0 所以能帶寬度 EmaxE min= 222ma （2 ） (K )=1 E (K )= KE =( ma )sinka(1/4) sin2ka (3) = m (coska1/2 cos2ka) 1 當(dāng) k=0 時 為帶底， m* 2m; 當(dāng) k= /a 時 為帶頂， m* 2m/3 7、證明面心立方晶體 S 電子能帶 E（ K）函數(shù)沿著布里淵區(qū)幾個 主要 對稱方向上可化為： (1) 沿 X（ Ky=Kz=0, Kx=2a ， 1 ） E=Esa A4B （ 1 2cos） (2) 沿 L（K x=Ky=Kz= 2a ， 1/2） E=Esa A12Bcos 2 (3) 沿 K（ Kz=0, Kx= Ky=2a ， 3/4） E=Esa A4B （ cos22cos ） (4) 沿 W（ Kz=0, Kx=2 a，K y=a ， 1） E=Esa A 4B（ cos cos/2cos cos/2） 解：面心立方最近鄰的原子數(shù)為 12，根據(jù)禁束縛近似 S 帶計算公 2 2 2* KE m 式 有 Es（K ） =EsaA 4B（cos 2a Kx cos2a Ky+ cos2a Ky cos2a Kz+ cos2a Kz cos 2a Kx） 把各方向的 Kx、 Ky、 Kz 值代入上式即可得到相應(yīng)的5 A明單位長度的一維晶體中電子態(tài)密度為 D(E)=2 dkdE 證：一維 K 空間， K 點密度為 L2 因為 E(K)是偶函數(shù)， dE 間隔對應(yīng)正、負二個 dk, 所以在 dk 對應(yīng) 的能量間隔 dE 間，第 n 個能帶對應(yīng)的電子狀態(tài)數(shù) dz4 L2 dk=2L dk 又有 dz=D(E)dE D(E)=2L dkdE 當(dāng) L1 (單位長度 )時 . D(E)=2 dkdE 9索未菲自由電子模型，證明在 k 空間費米球半徑為： Kf=(32n)1/3 其中 n 為電子濃度 證： 對自由電子 E mk222 在 k 空間等能面為球面，二等能面間 體積 v=4k2dk dk= 2m 12 E12 dE 考慮到自旋， v 內(nèi)的狀態(tài)數(shù) d Z= 22 3Vc( ) 4k2dk D= 213 23)2(4 Eh mVdEdz c 對索未菲自由電子 Ef= mkf222 T0 時 電子均有費米球內(nèi) f = 11/)( KTEE fe =1 常溫時 .費米能級略有下降，電子仍基本均在費米球內(nèi) 電子數(shù) N= 0 fD dE= 0 Ef DdE = 0 Ef 213 23)2(4 Eh mVc dE = 2332)2(4 233 fc EmhV = 3 3 )(324 fc khV =VKc f3 23 又 價電子濃度 n= cV N 所以 Kf=(32 31) cV N = (32n)1/3 10、據(jù)上題，當(dāng)電子濃度 n 增大時，費米球膨脹。證明當(dāng)電子濃 度 n 與原子濃度 na 之比 n na =1.36 時，費米球與 fcc 第一布里淵區(qū)的邊界接 觸。 解：由教材 p圖 ， f.c.c 的第03G$:j 14 面體， 14 面體表 面離中心 T點最近的點為 L 點。坐標(biāo)為 2a (1/2.1/2.1/2) TL 距離為 2a 34 =a 3 5.4/a 由上題費米球半徑為 Kf=(32n)1/3 f. c.c 原子密度為 34ana 當(dāng) n=1.36na136 4 3. a 時 Kf=(32 136 4 3. a )1/35.4/a 所以費米球與 f.c.c 的第一 b.z 相切。 0 230 d)(1)d()( EEECf NN EENEEf E 當(dāng)T0時,每個電子的平均能量： 11、絕對溫度T0時，求含N個價電子的自由電子費米氣系統(tǒng) 的動能。（N=nV） )(6 )()()d()( F 2 B F Eg TkEgE E fEgI EEfENCEEfNC )d(52)(52 0 25 0 25 25 5 2)( E N CEg 21 2 25 2 3 65 2 F B F )( E N CTkE N CE 2 0 F B 2 250 F 12 51)( 5 2 E TkE N C 21 F 2 B25 F 2 3 6 )( 5 2 E N CTkE N CE 2 F B25 F 8 51 5 2 E TkE N C 2 0 F B 252 0 F B 2 250 F 8 51 12 1)( 5 2 E Tk E TkE N C 2 0 F B 2 0 F B 2 250 F 8 51 24 51)( 5 2 E Tk E TkE N C 2 0 F B 2 250 F 12 51)( 5 2 E TkE N C 2 0 F B 2 250 F 12 51)( 5 2 E TkE N CE 230 F3 2 ECN 2 0 F B 2 0 F 12 51 5 3 E TkE 0 F 2 B 2 0 F )( 4 5 3 E TkE =0 由 2123 2 3)(,)( E N CEgE N CEg 得 13、若一維晶體的電子勢能 如圖所示，用近自由電子模型，求第一個帶隙的寬度 0 0 ( 1 )22 () 22 ddn a x n a Vx dd V n a x n a 解：對金屬處于費米面上的電子，其能量 mKEf 2 22 其速度 mEmKV fff 2 又因為 fff mEmVK 2 由第 9 題 又有 Kf（ 3 2ne） 1/3 比較以上二式可得價電子密度 32 32 3 f e Vmn 由 式 )(1 2 fe ken m 所以 32 32 2 3)( fe f mVeen mk 在 Ef 附近，由于電子受核作用（晶格場作用）較弱，可設(shè) mm e 則 代入數(shù)據(jù) ，可得 Vf1.57 106 米 /秒 f 2.68 10-14 秒 fVf 4.21 10 8米 12、Cu的 費米能 Ef=7.0ev，試求電子的費米速度 Vf。在 273K 時， Cu 的電 阻率為 1.56 10 -8 m,試求 電的平均自由時間 和平均自 由程 。 解： 根據(jù)公式可知，禁帶寬度的表達式： Eg=2|Vn|， 其中 Vn是周期勢場 V(x)傅里葉級數(shù)的系數(shù)， 該系數(shù)可由相應(yīng)的公式求得 第一禁帶寬度為 22/ 2 i / 2 i 10- / 2 - / 2222 | | ( ) e d e d a x d xaa adV V x x V xaa /2/2 0 0 0 - / 2 /2 22e x p d e x p s indd d d V V V di x x i xa a a a 2i 0 1 ( )e da nxanV V x xa 112| |gEV