《工程流體力學(xué)》電子教案第四至七章

工程 流體力學(xué) （第四至七章） 周 云龍 洪文鵬 合編 開(kāi) 始 第四章 不可壓縮流體的有旋流 動(dòng)和二維無(wú)旋流動(dòng) 第一節(jié) 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 第二節(jié) 有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng) 第三節(jié) 無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù) 第四節(jié) 二維平面流動(dòng)的流函數(shù) 第五節(jié) 基本的平面有勢(shì)流動(dòng) 第六節(jié) 平面勢(shì)流的疊加流動(dòng) 歡 迎 進(jìn) 入 第 四 章 的 學(xué) 習(xí) 流體由于具有易變形的特性（易流動(dòng)性），因此流體 的運(yùn)動(dòng)要比工程力學(xué)中的剛體的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多。在流體運(yùn) 動(dòng)中，有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的兩種類(lèi)型。由流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析可知，有旋流動(dòng)是指流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度 的流動(dòng)，無(wú)旋流動(dòng)是指 的流動(dòng)。 實(shí)際上，黏性流體的流動(dòng)大多數(shù)是有旋流動(dòng)，而且有 時(shí)是以明顯的旋渦形式出現(xiàn)的，如橋墩背流面的旋渦區(qū)， 船只運(yùn)動(dòng)時(shí)船尾后形成的旋渦，大氣中形成的龍卷風(fēng)等等。 但在更多的情況下，流體運(yùn)動(dòng)的有旋性并不是一眼就能看 得出來(lái)的，如當(dāng)流體繞流物體時(shí)，在物體表面附近形成的 速度梯度很大的薄層內(nèi)，每一點(diǎn)都有旋渦，而這些旋渦肉 眼卻是觀察不到的。至于工程中大量存在著的紊流運(yùn)動(dòng)，更是充滿(mǎn)著尺度不同的大小旋渦。 0 0 流體的無(wú)旋流動(dòng)雖然在工程上出現(xiàn)得較少，但 無(wú)旋流動(dòng)比有旋流動(dòng)在數(shù)學(xué)處理上簡(jiǎn)單 得多，因 此，對(duì)二維平面勢(shì)流在理論研究方面較成熟。對(duì) 工程中的某些問(wèn)題，在特定條件下對(duì)黏性較小的 流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行無(wú)旋處理，用勢(shì)流理論去研究其運(yùn) 動(dòng)規(guī)律，特別是繞流物體的流動(dòng)規(guī)律，對(duì)工程實(shí) 踐具有指導(dǎo)意義和應(yīng)用價(jià)值。因此，本章先闡述 有旋流動(dòng)的基本概念及基本性質(zhì)，然后再介紹二 維平面勢(shì)流理論。 第一節(jié) 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 兩部分。流體與剛體的主要不同在于它具 有流 動(dòng)性，極易變形。因此，任一流體微 團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不但與剛體一樣可以移動(dòng) 和轉(zhuǎn)動(dòng)，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。所以， 在一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為 移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)三部分。 一、表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式 在運(yùn)動(dòng)流體中，在時(shí)刻 t 任取一正交六面體流體微團(tuán)，其邊長(zhǎng)分別為 d x 、 d y 、 d z ， 如圖 4 - 1 所示。當(dāng)選取該流體微團(tuán)上的 F( x ， y ， z ) 點(diǎn)為參考點(diǎn)時(shí)，則該點(diǎn)的速度分 量分別為 u ( x ， y ， z ) 、 v ( x ， y ， z ) 、 w ( x ， y ， z ) ，其他各點(diǎn)的速度均可利用泰勒級(jí) 數(shù)展開(kāi)并略去二階及以上無(wú)窮小量得到。因此 C( x +d x ， y + d y ， z + d z ) 點(diǎn)的速度分 量可表示為 zzuyyuxxuuu c ddd zzvyyvxxvvv c ddd zzwyywxxwww c ddd 圖 4-1 分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)用圖 為了把流體微團(tuán)的速度進(jìn)行分解，并以數(shù)學(xué) 形式表達(dá)出來(lái)，現(xiàn)將上式進(jìn)行改造。在第一 式右邊 y x v d 2 1 、 z x w d 2 1 ，在第二式右邊 x y u d 2 1 、 z y w d 2 1 ， 在第三式右邊 x z u d 2 1 、 y z v d 2 1 ，重新整理后可得 到 yyuxvzxwzuzxwzuyxvyuxxuuu c d21d21d21d21d zzvywxyuxvzywzvxyuxvyvvv c d21d21d21d21dy xxwzuzzvywyzvywxzuxwzzwww c d21d21d21d21d 剪切變形速率 、 、 、 、 、 ， 引入記號(hào)，并賦予運(yùn)動(dòng)特征名稱(chēng)： 線變形速率 、 、 ， xx 、 yy 、 zz ， z w y v x u zzyyxx , xy yx yz zy xz zx x w z u z v y w y u x v xzzx zyyz yxxy 2 1 2 1 2 1 （ 4-1） （ 4-2） 于是可得到表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式為 旋轉(zhuǎn)角速度 、 、 ， x y z y u x v x w z u z v y w z y x 2 1 2 1 2 1 （ 4-3） xyyxzww zxzxyvv yzzyxuu yxzyzxzzc xzyzyxyyc zyxzxyxxc ddddd ddddd ddddd （ 4-4） 式 (4 - 4) 表明，在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可分解為三部分：以流體微團(tuán)中 某點(diǎn)的速度作整體平移運(yùn)動(dòng) ( u 、 v 、 w ) ；繞通過(guò)該點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) ( x 、 y 、 z ) ； 微團(tuán)本身的變形運(yùn)動(dòng) ( 線變形 xx 、 yy 、 zz 和剪切變形 xy 、 yz 、 zx ) 。 二、流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解 為進(jìn)一步分析流體微團(tuán)的分解運(yùn)動(dòng)及其幾何特 征，對(duì)式 (4-4)有較深刻的理解，現(xiàn)在分別說(shuō)明流 體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所呈現(xiàn)出的平移運(yùn)動(dòng)、線變 形運(yùn)動(dòng)、角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。 為簡(jiǎn)化分析，僅討論在 平面上流體微團(tuán)的運(yùn) 動(dòng)。假設(shè)在時(shí)刻 ，流體微團(tuán) ABCD為矩形，其上 各點(diǎn)的速度分量如圖 4-2所示。由于微團(tuán)上各點(diǎn)的 速度不同，經(jīng)過(guò)時(shí)間 ，勢(shì)必發(fā)生不同的運(yùn)動(dòng)， 微團(tuán)的位置和形狀都將發(fā)生變化，現(xiàn)分析如下。 xoy t td 1平移運(yùn)動(dòng) 由圖 4 - 2 可知，微團(tuán)上 A 、 B 、 C 、 D 各點(diǎn)的速度 分量中均有 u 和 v 兩項(xiàng)，在經(jīng)過(guò) d t 時(shí)間后，矩形微團(tuán) A B C D 向右、向上分別移動(dòng) u d t 、 v d t 距離，即平移到 新位置，形狀不變，如圖 4 - 3( ) 所示。式 (4 - 4) 中 的第一項(xiàng)即為該流體微團(tuán)平移運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)速度。 圖 4-2 分析流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)用圖 a 2線變形運(yùn)動(dòng) 在圖 4 - 2 中，比較 B 與 A 、 C 與 D 點(diǎn)在 x 方向及 D 與 A 、 C 與 B 點(diǎn)在 y 方向的速度差可 得： x x u uu dAB ， x x u uu dDC ； y y v vv d AD ， y y v vv d BC 。由此可知，流體線段 AB 和 DC 在 d t 時(shí)間內(nèi)將伸長(zhǎng) ( 或縮短 ) tx x u dd ，同樣， AB 和 BC 線段將伸長(zhǎng) ( 或縮短 ) ty y v dd 。 定義單位時(shí)間內(nèi)單位長(zhǎng)度流體線段的伸長(zhǎng) ( 或縮短 ) 量為流體微團(tuán)的線變形速 率，則沿 x 軸方向的線變形速率為 xx x u txtx x u )d(ddd 同理可得流體微團(tuán)沿 y 軸方向和沿 z 軸方向的線變形速率分別為 y v yy ， z w zz 上述即為式 (4 - 1) 及其物理意義。式 (4 - 4) 中的第二項(xiàng)所表示的便是該線變形運(yùn)動(dòng)所 引起的速度變化。 將 x 、 y 、 z 方向的線變形速率加在一起，有 z w y v x u zzyyxx （ 4 - 5 ） 對(duì)于不可壓縮流體，上式等于零，是不可壓縮流體的連續(xù)性方程，表明流體微團(tuán)在運(yùn) 動(dòng)中體積不變。而三個(gè)方向的線變形速率之和所反映的實(shí)質(zhì)是流體微團(tuán)體積在單位時(shí) 間的相對(duì)變化，稱(chēng)為流體微團(tuán)的體積膨脹速率。因此，不可壓縮流體的連續(xù)性方程也 是流體不可壓縮的條件。在圖 4 - 3( ) 中示出了該流體微團(tuán)的平面線變形。 b 圖 4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解 (a) 返回 圖 4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解 (b) 返回 圖 4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解 (c) 返回 圖 4-3 流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解 (d) 返回 3角變形運(yùn)動(dòng) 在圖 4 - 2 中，比較 D 和 A 、 C 和 B 在 x 方向及 B 和 A 、 C 和 D 在 y 方向的速度 差可得： y y u uu d AD ， y y u uu d BC ； x x v vv d AB ， x x v vv d DC 。由此可知，若速度增量 均為正值，流體微團(tuán)在 d t 時(shí)間內(nèi)則發(fā)生圖 4 - 3( ) 所示的角變形運(yùn)動(dòng)。由圖可 見(jiàn)，由于 D 點(diǎn)和 A 點(diǎn)、 C 點(diǎn)和 B 點(diǎn)在 x 方向的運(yùn)動(dòng)速度不同，致使 AD 流體邊在 d t 時(shí) 間內(nèi)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了 d 角度；由于 B 點(diǎn)和 A 點(diǎn)、 C 點(diǎn)和 D 點(diǎn)在 y 方向的速度不同， 致使 AB 流體邊在 d t 時(shí)間內(nèi)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了 d 角度。于是，兩正交流體邊 AB 和 AD 在 d t 時(shí)間內(nèi)變化了 ( d + d ) 角度。顯然，微元角度 d 和 d 可由下列公式求得 t x v xtx x v ddddt g dd t y u yty y u ddddtgdd c 通常把兩正交微元流體邊的夾角在單位時(shí)間內(nèi)的變化量定義為角變形 速度，而把該夾 角變化的平均值在單位時(shí)間內(nèi)的變化量 ( 角變形速度的平 均值 ) 定義為剪切變形速率。則在 xy 平面上，將流體微團(tuán)的剪切變形速率記 為 xy ( yxxy ) ，因此有 同理，也可得到 yz 平面和 zx 平面上的剪切變形速率 yz 和 zx 。于是，過(guò)流體微 團(tuán)任一點(diǎn) A 的三個(gè)正交微元流體面上的剪切變形速率分別為 上述即為式 (4 - 2) 及其物理含義。式 (4 - 4) 中的第三、第四項(xiàng)所表示的便是 由該剪切變形所引起的速度變化。 y u x v tyxxy 2 1 d ) / 2dd( yuxvyxxy 21 zvywzyyz 21 xwzuxzzx 21 4旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 由圖 4 - 3 ( c ) 可知，流體微團(tuán)在 d t 時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)了角變 形運(yùn)動(dòng)。若微元角度 d = d ，則流體微團(tuán)只發(fā)生角變形； 若 d = - d ，即 yuxv ，則流體微團(tuán)只發(fā)生旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生 角變形，如圖 4 - 3( ) 所示。一般情況下， dd ，流體 微團(tuán)在發(fā)生角變形的同時(shí)，還要發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。 d 在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中，用符號(hào) 表示流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的 大小，其定義為：過(guò)流體微團(tuán)上 A 點(diǎn)的任兩條正交微元 流體邊在其所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角速度的平均值，稱(chēng)作 A 點(diǎn) 流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度在垂直該平面方向的分量。如圖 4 - 3 ( c ) 所示，在 xy 平面上，過(guò) A 點(diǎn)的兩正交流體邊 AB 和 AD ， AB 邊在 d t 時(shí)間內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了微元角度 d ， AD 邊在 d t 時(shí)間 內(nèi)順時(shí)針旋 轉(zhuǎn)了微元角度 d ，通常規(guī)定以逆時(shí)針旋 轉(zhuǎn)為正，則該兩條正交微元流體 邊在 xy 平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)角 速度的平均值為 ，于是得流體微團(tuán)沿 z 軸方向 的旋 轉(zhuǎn)角速度分量為 y u x v tz 2 1 d d-d 2 1 td d/)-d(21 同理可求得流體微團(tuán)沿 x 軸方向和 y 軸方向旋轉(zhuǎn)角速度的分量 和 。 于是，以流體微團(tuán) A 點(diǎn)為軸的旋轉(zhuǎn)角速度 的三個(gè)分量分別為 (4 - 6) 寫(xiě)成矢量形式為 （ 4 - 7 ） 上述即為式 (4 - 3) 及其物理含義。式 (4 - 4) 中的第五、第六項(xiàng)所表示的便 是由該旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所引起的速度變化。 y u x v x w z u z v y w z y x 2 1 2 1 2 1 222 zyx )(21 Vkji zyx x y 綜上所述，在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)總是可 以分解成：整體平移運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、線變形運(yùn)動(dòng)及角變 形運(yùn)動(dòng)，與此相對(duì)應(yīng)的是平移速度、旋轉(zhuǎn)角速度、線變形 速率和剪切變形速率。 第二節(jié) 有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng) 一、有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的定義 二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度 一、有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的定義 流體的流動(dòng)是有旋還是無(wú)旋，是由流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn) 來(lái)決定的。流體在流動(dòng)中，如果流場(chǎng)中有若干處流體微團(tuán)具 有繞通過(guò)其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱(chēng)為有旋流動(dòng)。如果在 整個(gè)流場(chǎng)中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則 稱(chēng)為無(wú)旋流動(dòng)。這里需要說(shuō)明的是，判斷流體流動(dòng)是有旋流 動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)，僅僅由流體微團(tuán)本身是否繞自身軸線的旋 轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)決定，而與流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)，在圖 4-4(a)中， 雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓形，但由于微團(tuán)本身不旋轉(zhuǎn)，故 它是無(wú)旋流動(dòng)；在圖 4-4(b)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是直線， 但微團(tuán)繞自身軸線旋轉(zhuǎn)，故它是有旋流動(dòng)。在日常生活中也 有類(lèi)似的例子，例如兒童玩的活動(dòng)轉(zhuǎn)椅，當(dāng)轉(zhuǎn)輪繞水平軸旋 轉(zhuǎn)時(shí)，每個(gè)兒童坐的椅子都繞水平軸作圓周運(yùn)動(dòng)，但是每個(gè) 兒童始終是頭向上，臉朝著一個(gè)方向，即兒童對(duì)地來(lái)說(shuō)沒(méi)有 旋轉(zhuǎn)。 圖 4-4 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng) 無(wú)旋流動(dòng) 有旋流動(dòng) 判斷流體微團(tuán)無(wú)旋流動(dòng)的條件是：流體中每一個(gè)流體微團(tuán)都滿(mǎn)足 根據(jù)式（ 4-3），則有 0 zyx ,zvyw , x w z u y u x v （ 4-8） 二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度 1速度環(huán)量 為了進(jìn)一步了解流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，引入流體力 學(xué)中重要的基本概念之一 速度環(huán)量。 在流場(chǎng)中任取封閉曲線 k，如 圖 4-5所示。速度 沿該封閉曲線的線積分稱(chēng)為速度沿封閉曲線 k的環(huán) 量，簡(jiǎn)稱(chēng)速度環(huán)量，用 表示，即 式中 在封閉曲線上的速度矢量； 速度與該點(diǎn)上切線之間的夾角。 速度環(huán)量是個(gè)標(biāo)量，但具有正負(fù)號(hào)。 V K K svsV dc o sd （ 4-9） V 圖 4-5 沿封閉曲線的速度環(huán)量 在封閉曲線 k 上的速度矢 量 速度 與該點(diǎn) 上切線之間 的夾角 V 速度環(huán)量的正負(fù)不僅與速度方向有關(guān)，而且與積分時(shí)所 取的繞行方向有關(guān)。通常規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)?K的正方向， 即封閉曲線所包圍的面積總在前進(jìn)方向的左側(cè)，如圖 4-5 所示。當(dāng)沿順時(shí)針?lè)较蚶@行時(shí)，式（ 4-9）應(yīng)加一負(fù)號(hào)。 實(shí)際上，速度環(huán)量所表征的是流體質(zhì)點(diǎn)沿封閉曲線 K運(yùn)動(dòng) 的總的趨勢(shì)的大小，或者說(shuō)所反映的是流體的有旋性。 由于 和 ，則 kwjviuV kzjyixs dddd zwyvxusV dddd 代入式（ 4-9），得 K K zwyvxusV )ddd(d （ 4-10） 2旋渦強(qiáng)度 沿封閉曲線 的速度環(huán)量與有旋流動(dòng)之間有一個(gè)重要 的關(guān)系，現(xiàn)僅以平面流動(dòng)為例找出這個(gè)關(guān)系。如圖 4- 6所示，在平面 上取一微元矩形封閉曲線，其面 積 ， 流體在 A點(diǎn)的速度分量為 和 ， 則 B、 C和 D點(diǎn)的速度分量分別為： XOY yxA ddd u v xxuuu dB xxvvv dB yyuxxuuu ddC yyvxxvvv ddC yyuuu dD yyvvv dD 圖 4-6 沿微元矩形的速度環(huán)量 xxuu d xxvv d yyuxxuu dd yyvxxvv dd yyuu d yyvv d 于是，沿封閉曲線反時(shí)針?lè)较?ABCDA的速度環(huán)量 將 、 、 、 和 、 、 、 各值代入上式，略去高于一階的 無(wú)窮小各項(xiàng)，再將式（ 4-3）的第三式代入后，得 然后將式（ 4-11）對(duì)面積積分，得 yvvxuuyvvxuu d2d2d2d2d ADDCCBBA Au Bu Cu Du Av Bv Cv Dv Ayxyuxv z d2ddd （ 4-11） A z d2 （ 4-12） 于是得到速度環(huán)量與旋轉(zhuǎn)角速度之間關(guān)系的斯托克斯定理： 沿封閉曲線的速度環(huán)量等于該封閉周線內(nèi)所有的旋轉(zhuǎn)角速 度的面積積分的二倍，稱(chēng)之為旋渦強(qiáng)度 I，即 和 式中 在微元面積 的外法線 上的分量。 AI n d2d AI n d2 （ 4-13） n Ad n 由式（ 4-11）可導(dǎo)出另一個(gè)表示有旋流動(dòng)的量， 稱(chēng)為渦量，以 表示之。它定義為單位面積上的速 度環(huán)量，是一個(gè)矢量。它在 Z軸方向的分量為 對(duì)于流體的空間流動(dòng)，同樣可求得 X和 Y軸方向渦 量的分量 和 。于是得 即 zz y u x v A 2 d d zz yy xx y u x v x w z u z v y w 2 2 2 V 2 （ 4-14） （ 4-15） 也就是說(shuō)，在有旋流動(dòng)中，流體運(yùn)動(dòng)速度 的旋度稱(chēng)為 渦量。 由此可見(jiàn)，在流體流動(dòng)中，如果渦量的三個(gè)分量中有一 個(gè)不等于零，即為有旋流動(dòng)。如果在一個(gè)流動(dòng)區(qū)域內(nèi)各處 的渦量或它的分量都等于零，也就是沿任何封閉曲線的速 度環(huán)量都等于零，則在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的流動(dòng)一定是無(wú)旋流動(dòng)。 下面舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度的物 理意義，以及有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的區(qū)別。 V 【 例 4-1】 一個(gè)以角速度 按反時(shí)針?lè)较蜃飨駝傮w一 樣的旋轉(zhuǎn)的流動(dòng)，如 圖 4-7所示。試求在這個(gè)流場(chǎng) 中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并證明它是有旋流動(dòng) . (解 ) 【 例 4-2】 一個(gè)流體繞 O點(diǎn)作同心圓的平面流動(dòng)，流 場(chǎng)中各點(diǎn)的圓周速度的大小與該 點(diǎn)半徑成反比， 即 ，其中 C為常數(shù)，如 圖 4-8所示。試求在流 場(chǎng)中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并分析它的流動(dòng)情 況。 (解 ) rCV 【 解 】 在流場(chǎng)中對(duì)應(yīng)于任意兩個(gè)半徑 和 的圓周速 度各為 和 ，沿圖中畫(huà)斜線扇形部分的周 界 ABCDA的速度環(huán)量 可見(jiàn)，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)是有旋流動(dòng)。又由于扇形面積 于是 上式正是斯托克斯定理的一個(gè)例證。 以上結(jié)論可推廣適用于圓內(nèi)任意區(qū)域內(nèi)。 1r 2r 11 rV 22 rV )()( 212211221122DACDBCABA B C D A rrrVrVrVrV )(2d 21222 1 rrrrA r r A 2AB C D A 返回例題 圖 4-7 有旋流動(dòng)中速度環(huán)量的計(jì)算 圖 4-8 無(wú)旋流動(dòng)中速度環(huán)量的計(jì)算 返回例題 【 解 】 沿扇形面積周界的速度環(huán)量 可見(jiàn)，在這區(qū)域內(nèi)是無(wú)旋流動(dòng)。這結(jié)論可推廣適用于任何 不包圍圓心 O的區(qū)域內(nèi)，例如 。若包有圓心 ( )，該 處速度等于無(wú)限大，應(yīng)作例外來(lái)處理?，F(xiàn)在求沿半徑 的 圓周封閉曲線的速度環(huán)量 上式說(shuō)明，繞任何一個(gè)圓周的流場(chǎng)中，速度環(huán)量都不等 于零，并保持一個(gè)常數(shù)，所以是有 旋流動(dòng)。但凡是繞不 包括圓心在內(nèi)的任何圓周的速度環(huán)量必等于零，故在圓心 O點(diǎn)處必有旋渦存在，圓心是一個(gè)孤立渦點(diǎn)，稱(chēng)為奇點(diǎn)。 01 1 2 2 DACDBCABA B C D A rr Cr r C ADCBA 0r 2 0 2d 常數(shù)CrrC 返回例題 第三節(jié) 無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù) 如前所述，在流場(chǎng)中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度 在任意時(shí) 刻處處為零，即滿(mǎn)足 的流動(dòng)為無(wú)旋流動(dòng)，無(wú)旋流動(dòng)也 稱(chēng)為有勢(shì)流動(dòng)。 一、速度勢(shì)函數(shù)引入 二 、速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì) 0 V 一、速度勢(shì)函數(shù)引入 由數(shù)學(xué)分析可知， 是 成為某一標(biāo)量函數(shù) 全微分的充分必要條件。則函數(shù) 稱(chēng)為速度勢(shì)函數(shù)。因此， 也可以說(shuō)，存在速度勢(shì)函數(shù) 的流動(dòng)為有勢(shì)流動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)勢(shì) 流。根據(jù)全微分理論，勢(shì)函數(shù) 的全微分可寫(xiě)成 于是得 0 V zwyvxu ddd )( tzyx ， zzyyxx dddd zwyvxu ， （ 4-16） 按矢量分析 對(duì)于圓柱坐標(biāo)系，則有 于是 從以上分析可知，不論是可壓縮流體還是不可 壓縮流體，也不論是定常流動(dòng)還是非定常流動(dòng)， 只要滿(mǎn)足無(wú)旋流動(dòng)條件，必然存在速度勢(shì)函數(shù)。 g r a d kzjyixkwjviuV zvrvrv zr ， 1 zvrvrv zr dddd （ 4-17） （ 4-18） 二、速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì) （ 1）不可壓縮流體的有勢(shì)流動(dòng)中，勢(shì)函數(shù) 滿(mǎn)足拉普拉斯 方程，勢(shì)函數(shù) 是調(diào)和函數(shù)。 將式（ 4-16）代入到不可壓縮流體的連續(xù)性方程（ 3-28） 中，則有 式中 為拉普拉斯算子，式（ 4-19）稱(chēng)為拉普拉 斯方程，所以在不可壓流體的有勢(shì)流動(dòng)中，速度勢(shì)必定滿(mǎn) 足拉普拉斯方程，而凡是滿(mǎn)足拉普拉斯方程的函數(shù)，在數(shù) 學(xué)分析中稱(chēng)為調(diào)和函數(shù)，所以速度勢(shì)函數(shù)是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。 022 2 2 2 2 2 zyx (4-19) 2 2 2 2 2 22 zyx 0 zwyvxu 從上可見(jiàn)，在不可壓流體的有勢(shì)流動(dòng)中，拉普拉斯方 程實(shí)質(zhì)是連續(xù)方程的一種特殊形 式，這樣把求解無(wú)旋 流動(dòng)的問(wèn)題，就變?yōu)榍蠼鉂M(mǎn)足一定邊界條件下的拉普拉 斯方程的問(wèn)題。 （ 2）任意曲線上的速度環(huán)量等于曲線兩端點(diǎn)上速度勢(shì)函 數(shù) 值之差。而與曲線的形狀無(wú)關(guān)。 根據(jù)速度環(huán)量的定義，沿任意曲線 AB的線積分 這樣，將求環(huán)量問(wèn)題，變?yōu)榍笏俣葎?shì)函數(shù)值之差的問(wèn)題。 對(duì)于任意封閉曲線，若 A點(diǎn)和 B點(diǎn)重合，速度勢(shì)函數(shù)是單值 且連續(xù)的，則流場(chǎng)中沿任一條封閉曲線的速度環(huán)量等于零， 即 。 AB B A B A B A AB dw d zv d yudxsdV )( 0AB 第四節(jié) 二維平面流動(dòng)的流函數(shù) 一、流函數(shù)的引入 對(duì)于流體的平面流動(dòng)，其流線的微分方程為 ,將其改寫(xiě)成下列形式 （ 4-20） 在不可壓縮流體的平面流動(dòng)中，速度場(chǎng)必須滿(mǎn)足不可壓縮流體的連續(xù)性方程， 即 或 （ 4-21） 由數(shù)學(xué)分析可知，式（ 4-21）是（ ）成為某函數(shù)全微分的充分必要條 件，以 表示該函數(shù)，則有 （ 4-22） 函數(shù)稱(chēng)為流場(chǎng)的流函數(shù)。由式（ 4-22）可得 （ 4-23） vyux dd 0dd yuxv 0 yvxu y v x u yuxv dd yuxvyyxx ddddd ），（ yx xvyu ， 由式 (4-22)，令 ，即 常數(shù)，可得流線微分方程式 (4-20)。由 此可見(jiàn) , 常數(shù)的曲線即為流線，若給定一組常數(shù)值，就可得到流 線簇?；蛘哒f(shuō)，只要給定流場(chǎng)中某一固定點(diǎn)的坐標(biāo)（ ）代入流函 數(shù) ，便可得到一條過(guò)該點(diǎn)的確定的流線。因此，借助流函數(shù)可以形 象地描述不可壓縮平面流場(chǎng)。 對(duì)于極坐標(biāo)系，可寫(xiě)成 （ 4-24） （ 4-25） 在已知速度分布的情況下，流函數(shù)的求法與速度勢(shì)函數(shù)一樣，可由曲 線積分得出。 至此可看到，在不可壓縮平面流動(dòng)中，只要求出了流函數(shù) ，由 式（ 4-23）或式（ 4-24）就可求出速度分布。反之，只要流動(dòng)滿(mǎn)足不 可壓縮流體的連續(xù)性方程，不論流場(chǎng)是否有旋，流動(dòng)是否定常，流體 是理想流體還是黏性流體，必然存在流函數(shù) 。 這里需說(shuō)明，等流函數(shù)線與流線等同，僅在平面流動(dòng)時(shí)成立。對(duì) 于三維流動(dòng)，不存在流函數(shù)，也就不存在等流函數(shù)線，但流線還是存 在的。 0d ），（ yx 00 yx， rvr 1 rv ddd rvrv r ），（ yx 二、流函數(shù)的性質(zhì) （ 1）對(duì)于不可壓縮流體的平面流動(dòng)，流函數(shù) 永遠(yuǎn) 滿(mǎn)足 連續(xù)性方程。 將式（ 4-23）代入式（ 4-21）得 即流函數(shù)永遠(yuǎn)滿(mǎn)足連續(xù)性方程。 （ 2）對(duì)于不可壓縮流體的平面勢(shì)流，流函數(shù) 滿(mǎn)足拉普 拉斯方程，流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。 對(duì)于平面無(wú)旋流動(dòng)， ，則 將式（ 4-23）代入上式 因此，不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)的流函數(shù)也滿(mǎn)足拉普拉 斯方程，也是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。 因此，在平面不可壓縮流體的有勢(shì)流場(chǎng)中的求解問(wèn)題，可 以轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)滿(mǎn)足邊界條件的 的拉普拉斯方程 . yxxy 22 0z 0 yuxv 022222 yx （ 3）平面流動(dòng)中，通過(guò)兩條流線間任一 曲線單位厚度的體積流量等于兩條流線的 流函數(shù)之差。這就是流函數(shù) 的物理意義。 如圖 4-9所示，在兩流線間任一曲線 AB，則通過(guò)單位厚度的體積流量為 （ 4-26） 由式（ 4-26）可知，平面流動(dòng)中兩條流線 間通過(guò)的流量等于這兩條流線上的流函數(shù) 之差。 圖 4-9 說(shuō)明流函數(shù)物理意義用圖 2 1 2 1 2 1 2 1 dd)d(d x x y y x x y y V xxyyxvyuq 12 , ),( 22 11 d yx yx 三、 和 的關(guān)系 （ 1）滿(mǎn)足柯西 -黎曼條件 如果是不可壓縮流體的平面無(wú)旋流動(dòng)，必然同時(shí)存在著速 度勢(shì)和流函數(shù)，比較式（ 4-16）和式（ 4-23），可得到速度 勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)之間存在的如下關(guān)系 （ 4-27） （ 4-28） 這是一對(duì)非常重要的關(guān)系式，在高等數(shù)學(xué)中稱(chēng)作柯西 -黎曼 條件。因此， 和 互為共軛調(diào)和函數(shù)，這就有可能使我們利 用復(fù)變函數(shù)這樣一種有力的工具求解此類(lèi)問(wèn)題。 當(dāng)勢(shì)函數(shù) 和 流函數(shù)二者知其一時(shí)，另一個(gè)則可利用 式（ 4-27）的關(guān)系求出，而至多相差一任意常數(shù)。 xyyx ， 0 yyxx （ 2）流線與等勢(shì)線正交。 式（ 4-28）是等勢(shì)線簇 常數(shù) 和流線簇 常數(shù) 互相正交的條 件，若在同一流場(chǎng)中繪出相應(yīng)的一 系列流線和等勢(shì)線，則它們必然構(gòu) 成正交網(wǎng)格，稱(chēng)為流網(wǎng)，如圖 4-10 所示。 ），（ yx ），（ yx 圖 4-10 流網(wǎng) 0 yyxx 【 例 4-3】 有一不可壓流體平面流動(dòng)的速度分布 為 。該平面流動(dòng)是否存在流函數(shù)和速度 勢(shì)函數(shù)；若存在，試求出其表達(dá)式；若在流場(chǎng)中 A （ 1m， 1m） 處的絕對(duì)壓強(qiáng)為 1.4 105Pa，流體的密度 1.2kg/m3，則 B（ 2m， 5m） 處的絕對(duì)壓強(qiáng)是多少？ 【 解 】 （ 1）由不可壓流體平面流動(dòng)的連續(xù)性方程 該流動(dòng)滿(mǎn)足連續(xù)性方程，流動(dòng)是存在的，存在流函數(shù)。 由于是平面流動(dòng) 該流動(dòng)無(wú)旋，存在速度勢(shì)函數(shù)。 yvxu 44 ， 0)4()4( yyxxyvxu 0 yx 044 2 1 2 1 y x x y y u x v z （ 2）由流函數(shù)的全微分得： 積分 由速度勢(shì)函數(shù)的全微分得： 積分 （ 3）由于 ，因此， A和 B處的速度分別為 由伯努里方程 可得 yxxyyuxvyyxx d4d4ddddd Cxy 4 yyxxyvxuyyxx d4d4ddddd Cyx )(2 22 222 vuV )(32)14()14( 22222A smV )(4 6 4)54()24( 22222B smV 2BB2AA 2121 VpVp )(8.13 97 40)46 432(2.121104.1)(21 52B2AAB PaVVpp 第五節(jié) 基本的平面有勢(shì)流動(dòng) 流體的平面有勢(shì)流動(dòng)是相當(dāng)復(fù)雜的，很多復(fù)雜 的平面有勢(shì)流動(dòng)可以由一些簡(jiǎn)單的有勢(shì) 流動(dòng)疊加 而成。所以，我們首先介紹幾種基本的平面有勢(shì) 流動(dòng)，它包括 均勻直線流動(dòng) ， 點(diǎn)源和點(diǎn)匯 、點(diǎn)渦 等 一、均勻直線流動(dòng) 流體作均勻直線流動(dòng)時(shí)，流場(chǎng)中各點(diǎn)速度的大小相等，方 向相同，即 和 。由 式 （ 4-16） 和式 （ 4-23） ，得 于是速度勢(shì)和流函數(shù)各為 以上兩式中的積分常數(shù) 和 可以任意選取，而不影響流體 的流動(dòng)圖形（稱(chēng)為流譜）。 0uu 0vv 00 , vxyvuyxu 10000 dddd Cyvxuyvxuyyxx 20000 d)d(dd Cyuxvyuxvyyxx 1C 2C 若令 ，即得均勻直線流動(dòng)的速度勢(shì)和流函數(shù)各為 （ 4-29） （ 4-30） 由式 （ 4-29） 和式 （ 4-30） 可知，等勢(shì)線簇（ 常 數(shù)）和流線簇（ =常數(shù)）互相垂直，如 圖 4-11 所示。各流線與軸的夾 角等于 。 由于流場(chǎng)中各點(diǎn)的速度都相等，根據(jù)伯努里方程（ 3-41）， 得 常數(shù) 如果均勻直線流動(dòng)在水平面上，或流體為氣體，一般可以忽 略重力的影響，于是 常數(shù) 即流場(chǎng)中壓強(qiáng)處處相等。 021 CC yvxu 00 yuxv 00 yvxu 00 yuxv 00 001-tg uv gpz p 圖 4-11 均勻直線流的流譜 二、平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯 如果在無(wú)限平面上流體不斷從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向 各方流出，則這種流動(dòng)稱(chēng)為點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為源點(diǎn) （ 圖 4-12， a） ；若流體不斷沿徑向直線均勻地從各方流入一點(diǎn)，則這 種流動(dòng)稱(chēng)為點(diǎn)匯，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為匯點(diǎn) （ 圖 4-12， b） 。顯然，這兩 種流動(dòng)的流線都是從原點(diǎn) O發(fā)出的放射線，即從源點(diǎn)流出和 向匯點(diǎn)流入都只有徑向速度 ?，F(xiàn)將極坐標(biāo)的原點(diǎn)作為源點(diǎn) 或匯點(diǎn)，則 rv r rv 0v rv r dd 圖 4-12 點(diǎn)源和點(diǎn)匯的流譜 點(diǎn)源 點(diǎn)匯 back 根據(jù)流動(dòng)的連續(xù)性條件，流體每秒通過(guò)任一半徑為 的單位長(zhǎng)度圓柱 面上的流量 都應(yīng)該相等，即 常數(shù) 由此得 （ 4-31） 式中 是點(diǎn)源或點(diǎn)匯在每秒內(nèi)流出或流入的流量，稱(chēng)為點(diǎn)源強(qiáng) 度或點(diǎn)匯強(qiáng)度。對(duì)于點(diǎn)源， 與 同向， 取正號(hào)；對(duì)于點(diǎn)匯， 與 異向， 取負(fù)號(hào)，于是 積分得 式中積分常數(shù) 是任意給定的，現(xiàn)令 。又由于 ，于是得 速度勢(shì) （ 4-32） 當(dāng) 時(shí)，速度勢(shì) 和 速度都變成無(wú)窮大，源點(diǎn)和匯點(diǎn)都是奇點(diǎn)。所 以速度勢(shì) 和速度 的表達(dá)式（ 4-31）和式（ 4-32）只有在源點(diǎn)和匯點(diǎn) 以外才能應(yīng)用。 r Vq Vr qrv 12 r qv V r 2 Vq rv rvr rVq Vq r rq V d 2d Crq V ln2 C 0C 22 yxr 22ln2ln2 yxqrq VV 0r rv rv 現(xiàn)在求流函數(shù)，由式（ 4-25） 積分得 (令式中的積分常數(shù)為零 ) （ 4-33） 等勢(shì)線簇（ 常數(shù)，即 常數(shù)）是同心圓簇（在 圖 4-12中 用虛線表示）與流線簇（ 常數(shù)，即 常數(shù)）成正交。而 且除源點(diǎn)或匯點(diǎn)外，整個(gè)平面上都是有勢(shì)流動(dòng)。 如果 平面是無(wú)限水平面，則根據(jù)伯努里方程（ 341） 式中 為 在處的流體壓強(qiáng)，該處的速度為零。 將式（ 4-31）代入上式，得 （ 4-34） 由式（ 4-34）可知，壓強(qiáng) 隨著半徑 的減小而降低。當(dāng) 時(shí)， 。 圖 4-13表示當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)匯沿 半徑 的壓強(qiáng)分布。 d2dddd Vrr qrvrvrv x yqq VV 1-tg 22 r XOY g p g v g p r 2 2 p r 22 2 1 8 r qpp V p r 2/1220 )8/( pqrr V rr00p r 圖 4-13 點(diǎn)匯沿半徑的壓強(qiáng)分布 三、點(diǎn)渦 設(shè)有一旋渦強(qiáng)度為 的無(wú)限長(zhǎng)直線渦束，該渦束以等角 速度 繞自身軸旋轉(zhuǎn)，并帶動(dòng)渦束周?chē)牧黧w繞其環(huán)流。由 于直線渦束為無(wú)限長(zhǎng)，所以可以認(rèn)為與渦束垂直的所有平面 上的流動(dòng)情況都一樣。也就是說(shuō)，這種繞無(wú)限長(zhǎng)直線渦束的 流動(dòng)可以作為平面流動(dòng)來(lái)處理。由渦束所誘導(dǎo)出的環(huán)流的流 線是許多同心圓，如 圖 4-14所示。根據(jù)斯托克斯定理可知， 沿任一同心圓周流線的速度環(huán)量等于渦束的旋渦強(qiáng)度，即 常數(shù) 于是 （ 4-35） 因此渦束外的速度與半徑成反比。若渦束的半徑 ，則 成為一條渦線，這樣的流動(dòng)稱(chēng)為點(diǎn)渦，又稱(chēng)為純環(huán)流。但當(dāng) 時(shí)， ，所以渦點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)。 I Irv 2 02 rvrv ， 00 r 00 r v 圖 4-14 點(diǎn)渦的流譜 現(xiàn)在求點(diǎn)渦的速度勢(shì)和流函數(shù)。由于 由 積分后得速度勢(shì) （ 4-36） 又由于 由 積分后得流函數(shù) （ 4-37） 當(dāng) 時(shí)，環(huán)流為反時(shí)針?lè)较?，?圖 4-14所示；當(dāng) 時(shí)，環(huán)流 為順時(shí)針?lè)较颉?由式（ 4-36）和式（ 4-37）可知，點(diǎn)渦的等勢(shì)線簇是經(jīng)過(guò)渦點(diǎn)的放射 線，而流線簇是同心圓。而且除渦點(diǎn)外，整個(gè)平面上都是有勢(shì)流動(dòng)。 rrvrv r 2 10 ， d2d1dd rrrr x y1-tg 22 rrvrv r 20 1 ， rrrrrr d2d1dd rln2 0 0 設(shè)渦束的半徑為 ，渦束邊緣上的速度為 ，壓強(qiáng) 為 ； 時(shí)的速度顯然為零，而壓強(qiáng)為 。代入伯努里 方程（ 3-41），得渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng) 分布為 （ 4-38） 由式（ 4-38）可知，在渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)隨著半徑的減小 而降低，渦束外緣上的壓強(qiáng)為 或 （ 4-39） 所以渦束外區(qū)域內(nèi)從渦束邊緣到無(wú)窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)降是一個(gè)常 數(shù)。又由式（ 4-38）可知，在 處，壓強(qiáng) ，顯然這 是不可能的。所以在渦束內(nèi)確實(shí)存在如同剛體一樣以等角速 度旋轉(zhuǎn)的旋渦區(qū)域，稱(chēng)為渦核區(qū)。由式（ 4-39）可得渦核的 半徑 0r 00 2 rv 0p r p 22 22 1 82 rp vpp 202 220 0 1 82 rp vpp 202 22 00 1 82 1 rvpp 0r p 常數(shù) gVgpz 2 2 由于渦核內(nèi)是有旋流動(dòng)，故流體的壓強(qiáng)可以根據(jù)歐拉運(yùn)動(dòng)微 分方程求得。平面定常流動(dòng)的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程為 將渦核內(nèi)任一點(diǎn)的速度 和 代入上兩式，得 以 和 分別乘以上兩式，然后相加，得 或 積分得 x p y uv x uu 1 y p y vv x vu 1 yu xv x px 12 y py 12 xd yd yypxxpyyxx dd1)dd(2 pyx d1d2 22 2 ）（ CvCrCyxp 222222 212121 ）（ 在 處， ，代入上式，得 最后得渦核區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)分布為 （ 4-40） 或 （ 4-40a） 于是渦核中心的壓強(qiáng) 而渦核邊緣的壓強(qiáng) 所以 可見(jiàn)，渦核內(nèi)、外的壓強(qiáng)降相等，都等于用渦核邊緣速度計(jì) 算的動(dòng)壓頭。渦核內(nèi)、外的速度分布和壓強(qiáng)分布如 圖 4-15所 示。 0rr 00 vvpp 、 2020200200 2121 vpvvpvpC 220 21 vvpp 22202 21 rrpp 20220 rpvpp c 2 0 22 00 2 1 2 1 rpvpp 2 0 22 000 2 1 2 1 2 1 rvpppppp cc ）（ 圖 5-14 渦流中渦核內(nèi)、外的速度和壓強(qiáng)分布 第六節(jié) 平面勢(shì)流的疊加流動(dòng) 從上節(jié)可以看到，只有對(duì)一些簡(jiǎn)單的有勢(shì)流動(dòng)， 才能求出它們流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)，但當(dāng)流動(dòng)較復(fù)雜時(shí)， 根據(jù)流動(dòng)直接求解流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)往往十分困難。 我們可以將一些簡(jiǎn)單有勢(shì)流動(dòng)進(jìn)行疊加，得到較復(fù) 雜的流動(dòng)，這樣一來(lái)，為求解流動(dòng)復(fù)雜的流場(chǎng)提供 了一個(gè)有力的工具。因此，本節(jié)先介紹勢(shì)流的疊加 原理，然后再介紹幾種典型的有實(shí)際意義的疊加流 動(dòng)。 一、勢(shì)流疊加原理 前面我們知道，速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)都滿(mǎn)足拉普拉斯方 程。凡是滿(mǎn)足拉普拉斯方程的函數(shù)，在數(shù)學(xué)分析上都稱(chēng)為調(diào) 和函數(shù)，所以速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)。根據(jù)調(diào)和 函數(shù)的性質(zhì)，即若干個(gè)調(diào)和函數(shù)的線性組合仍然是調(diào)和函 數(shù)，可將若干個(gè)速度勢(shì)函數(shù) (或流函數(shù) )線性組合成一個(gè)代表 某一有勢(shì)流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù) (或流函數(shù) )?，F(xiàn)將若干個(gè)速度勢(shì) 函數(shù) 、 、 、 疊加，得 （ 4-41） 而 （ 4-42） 顯然，疊加后新的速度勢(shì)函數(shù)也滿(mǎn)足拉普拉斯方程。同樣， 疊加后新的流函數(shù)也滿(mǎn)足拉普拉斯方程，即 （ 4-43） 1 2 3 321 0)( 32221232122 03222122 這個(gè)疊加原理方法簡(jiǎn)單，在實(shí)際應(yīng)用上有很大意義，可 以應(yīng)用這個(gè)原理把上一節(jié)所討論的幾個(gè)簡(jiǎn)單的基本平面有勢(shì) 流動(dòng)疊加成所需要的復(fù)雜有勢(shì)流動(dòng)。 將新的速度勢(shì)函數(shù) 分別對(duì) 、 和 取偏導(dǎo)數(shù)，就等于 新的有勢(shì)流動(dòng)的速度分別在 、 和 軸方向上的分量： （ 4-44） 或 （ 4-45） 即 （ 4-46） x y z zzzz yyyy xxxx 321 321 321 321 321 321 wwww vvvv uuuu X Y Z 321 VVVV 由此可見(jiàn)，疊加后所得的復(fù)雜有勢(shì)流動(dòng)的 速度為疊加前原來(lái)的有勢(shì)流動(dòng)速度的矢量 和。 由此，可得出一個(gè)重要結(jié)論：疊加兩個(gè)或多個(gè)不 可壓平面勢(shì)流流動(dòng)組成一個(gè)新的復(fù)合流動(dòng)，只要把 各原始流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)或流函數(shù)簡(jiǎn)單地代數(shù)相加，就 可得到該復(fù)合流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)或流函數(shù)。該結(jié)論稱(chēng)為 勢(shì)流的疊加原理。 二、螺旋流 螺旋流是點(diǎn)渦和點(diǎn)匯的疊加。將式（ 4-36）和式 （ 4-32） 相加以及將式（ 4-37）和式（ 4-33）相加即得新的有勢(shì)流動(dòng) 的速度勢(shì)和流函數(shù) （ 4-47） （ 4-48） 式中 取反時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎Ｓ谑堑玫葎?shì)線方程 常數(shù) 或 （ 4-49） 流線方程為 常數(shù) 或 （ 4-50） 顯然，等勢(shì)線簇和流線簇是兩組互相正交的對(duì)數(shù)螺旋線簇 （圖 4-16） ，稱(chēng)為螺旋流。流體從四周向中心流動(dòng)。 ）（ rq V ln21 ）（ Vqr ln21 rq V ln Vq Cr e1 Vqr ln q VCr e 2 圖 4-16 螺旋流的流譜 研究螺旋流在工程上有重要意義。例如旋流燃燒室、旋 風(fēng)除塵設(shè)備及多級(jí)離心泵反導(dǎo)葉中的旋轉(zhuǎn)氣流即可看成是這 種螺旋流。 螺旋流的速度分布為 （ 4-51） （ 4-52） （ 4-53） 代入伯努里方程（ 3-41），得流場(chǎng)的壓強(qiáng)分布 （ 4-54） r rv 2 1 r q rv V r 2 22 22 222 4 r qvvV V r 2 2 2 1 22 221 11 8 rr qpp V ）（ 三、偶極流 將流量各為 的點(diǎn)源和 的點(diǎn)匯相距 2a距離放在 X軸 上，疊加后的流動(dòng)圖形如 圖 4-17所示，它的速度勢(shì)和流函數(shù) 各為 （ 4-55） （ 4-56） 由流線方程（ 4-56） 常數(shù)，得 常數(shù)，所以流線是經(jīng) 過(guò)源點(diǎn) A和匯點(diǎn) B的圓簇，而且從源點(diǎn)流出的流量全部流入?yún)R 點(diǎn)。 222221 lnln2lnln2 yaxyax qrrq VV ）（）（）（ 22 22 ln4 yax yaxq V ）（ ）（ 22 21 VV qq ）（ Vq Vq 圖 4-17 點(diǎn)源和點(diǎn)匯的疊加 常數(shù) 現(xiàn)在分析一種在點(diǎn)源和點(diǎn)匯無(wú)限接近的同時(shí)，流量無(wú)限增 大（即 ），以至使 保持一個(gè)有限常數(shù)值 的 極限情況。在這種極限情況下的流動(dòng)稱(chēng)為偶極流， 稱(chēng)為偶 極矩或偶極強(qiáng)度。偶極流是有方向的，一般規(guī)定由點(diǎn)源指向 點(diǎn)匯的方向?yàn)檎?。?圖 4-18所示，偶極流指向 軸方向， 這時(shí)的偶極矩 取正值。 偶極流的速度勢(shì)可由式（ 4-55）根據(jù)上述極限條件求得， 將式（ 4-55）改寫(xiě)成 Vqa ，02 Vaq2 M M M X 2 21 2 1 21 1ln2ln2lnln2 r rrq r rqrrq VVV ）（ 常數(shù) 常數(shù) 圖 4-18 偶極流的流譜 從 圖 4-19中可知，當(dāng) A點(diǎn)和 B點(diǎn)向原點(diǎn) O無(wú)限接近 時(shí)， ，而且當(dāng) ， 時(shí) ， ， ，又由于 當(dāng) 為無(wú)窮小時(shí)，可以略去高階項(xiàng)，得 。因 此，偶極流的速度勢(shì) 或 （ 4-57） 121 c o s2 arr 02 a Vq Maq V 2 rrr 21 021 4321ln 432 ）（ )1ln ( 2 1 022 1 02 co s2 2lim co s21ln 2lim r aq r aq V q a V q a VV 2 co s 22 co s r rM r M 222 22 yx xM r xM 圖 4-19 推導(dǎo)偶極流用圖 在圖 4-19中， BC為從 B點(diǎn)向 AP所作的垂線，則 又當(dāng) ， ， ，所以 ，代入式 （ 4-56） 得偶極流的流函數(shù) 或 （ 4-58） 令式（ 4-58）等于常數(shù) ，于是得流線方程 （ 4-59） 即流線簇是半徑為 、圓心為（ 0， ），且與軸在原 點(diǎn)相切的圓簇，如圖 4-18中實(shí)線所示。 又令式（ 4-57）等于常數(shù)，得等勢(shì)線方程 （ 4-60） 即等勢(shì)線簇是半徑為 、圓心為（ ， 0）且與軸在原 點(diǎn)相切的圓簇，如圖 4-18中虛線所示。 12 s i n2s i nBC ar 02 a 0a sin s in2 ar 20202 s i n 2 s i n2 2lim2lim r rM r aqq V q a V q a VV 222 22 yx yM r yM 1C 2 1 2 1 2 44 C M C Myx 14C M 14 C M 2 2 2 2 2 44 C My C Mx 24C M 24 C M 四、繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng) 將均勻直線流與偶極流疊加，可以得到繞圓柱體無(wú)環(huán)量 流動(dòng)。設(shè)有一在無(wú)窮遠(yuǎn)處速度 為 、平行于 X軸、由左向右 流的均勻直線流，與在坐標(biāo)原點(diǎn) O上偶極矩為 M、方向與 X軸 相反的偶極流疊加，如 圖 4-20所示，組合流動(dòng)的流函數(shù)為 （ 4-61） 流線方程 （ 4-62） 選取不同的常數(shù)值 ，可得到如圖 4-20所示的流動(dòng)圖形。對(duì) 的所謂零流線的方程為 或 ， V 2222 1 212 yxV MyV yx yMyV Cyx yMyV 222 C 0 C 0121 22 yxV MyV 0y VMyx 222 圖 4-20 均勻流繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng) 由此可知，零流線是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑 的 圓周與正負(fù) X軸 和 所構(gòu)成的圖形。該流線到 A點(diǎn)處分為 兩段，沿上、下兩個(gè)半圓周流到 B點(diǎn)，又重新匯合。這個(gè)平 面組合流動(dòng)的流函數(shù)為 (4-63) 同樣，也可得到它的速度勢(shì) (4-64) 以上兩式中， ，這是因?yàn)?的圓柱體內(nèi)的流動(dòng)沒(méi)有實(shí) 際意義。 VMr 20 BB AA s i n11 2 2 0 22 2 0 r r rV yx ryV 22 2 0 22 12 yx rxV yx xMxV c o s1 2 2 0 r r rV r 0r 0rr 流場(chǎng)中任一點(diǎn)的速度分量為 (4-65) 在 ， 處， ， 。這表示，在離開(kāi)圓柱體無(wú)窮 遠(yuǎn)處是速度為 的均勻直線流動(dòng)。在 圖 4-20中的 A點(diǎn)（ ， 0）和 B點(diǎn) ( ， 0)處， ， A點(diǎn)為前駐點(diǎn)， B點(diǎn)為后駐 點(diǎn)。 用極坐標(biāo)表示的速度分量為 （ 4-66） 2s i n )( 2 2c o s1 )( )( 1 2 2 0 222 2 0 2 2 0 222 222 0 r r V yx xy rV y v r r V yx yxr V x u x y Vu 0v V 0r 0r 0 vu s i n1 1 co s1 2 2 0 2 2 0 r r V r v r r V r v r 沿包圍圓柱體圓周的速度環(huán)量為 所以，均勻直線流繞圓柱體的平面流動(dòng)是沒(méi)有速度環(huán)量的。 因此，一個(gè)速度為 的均勻直線流繞半徑為 的圓柱體無(wú) 環(huán)量的平面流動(dòng)，可以用由這個(gè)均勻直線流與偶極矩 的偶極流疊加而成的平面組合流動(dòng)來(lái)代替。 當(dāng) ，在圓柱面上 （ 4-67） 這說(shuō)明，流體在圓柱面上各點(diǎn)的速度都是沿切線方向的，也 就是說(shuō)理想流體繞圓柱體無(wú)環(huán)量的平面流動(dòng)不會(huì)與圓柱面發(fā) 生分離。 2 0 2 2 0 0ds i n1d r rrVsv V 0r 202 rVM 0rr s in2 0 Vv v r 由式（ 4-67）可知，在圓柱面上的速度是按照正弦曲線 規(guī)律分布的，如 圖 4-21所示。在 （圖 4-20中的 B點(diǎn)）和 （圖 4-20中的 A點(diǎn)）處， ；在 處，達(dá)到 最大值 ，與圓柱體的半徑無(wú)關(guān)，而等于無(wú)窮遠(yuǎn)處速 度的兩倍。 由伯努里方程（ 3-41）可求得不可壓縮理想流體的圓柱 面上壓強(qiáng)分布的公式，即 將式（ 4-67）代入上式，得 (4-68) 在工程上常用無(wú)量綱的壓強(qiáng)系數(shù)來(lái)表示流體的壓強(qiáng)分布，它 定義為 (4-69) 將式（ 4-68）代入上式，得 (4-70) 0 180 0 v 90 Vv 2m a x 22 2 1 2 1 Vpvp )s i n41(21 22 Vpp 2 2 1 2 1 V v V ppC p 222 s i n41)180(s i n41s i n41 pC 無(wú)窮遠(yuǎn)處流 體的壓強(qiáng) 圖 4-21 均直流繞圓柱體無(wú)環(huán)量 流動(dòng)中圓柱面上的速度分布 根據(jù)式（ 4-70）計(jì)算出理論無(wú)量綱壓強(qiáng)系數(shù)曲線如 圖 4-22 中實(shí)線所示。注意 :在計(jì)算時(shí)， 角是從前駐點(diǎn) A（ ）起 沿順時(shí)針?lè)较蛟黾印Ｔ谇榜v點(diǎn) A（ ）上，速度等于零， 壓強(qiáng)達(dá)到最大值， ；垂直于來(lái)流方向的最大截面 ( ) 上，速度增加到最大值，壓強(qiáng)降到最小值， ；在后駐 點(diǎn) B（ ）上，速度又降到零，壓強(qiáng)又回升到最大 值 , 。這種流動(dòng)在圓柱面上的壓強(qiáng)分布上下、前后都是 對(duì)稱(chēng)的，因此流體作用在圓柱面上的壓強(qiáng)合力等于零。由于 流體作用在圓柱面上的壓強(qiáng)合力可分為與來(lái)流方向垂直的升 力和與來(lái)流方向平行的阻力。因此，無(wú)黏性的理想流體繞圓 柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng)時(shí)，圓柱體上既不承受升力，也不承受阻 力。不承受升力與實(shí)際情況是相符合的，但是不承受阻力則 與實(shí)際情況大不相符 ,這就是著名的達(dá)朗伯 （ J R dAlembert） 疑題 0 0 1pC 90 3pC 180 1pC 事實(shí)上，有黏性的實(shí)際流體繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng)時(shí)，在 圓柱面上流動(dòng)方向的壓強(qiáng)分布是不對(duì)稱(chēng)的。這是由于實(shí)際流 體存在著黏性，當(dāng)流體繞流圓柱體時(shí)，從前駐點(diǎn)開(kāi)始在圓柱 面上逐漸形成一層邊界層（在第五章中講述）。流體在圓柱 體的前半部的流動(dòng)是降壓增速，邊界層處于較穩(wěn)定狀態(tài)。到 圓柱體的后半部變?yōu)樯龎簻p速流動(dòng)，容易發(fā)生邊界層分離， 在圓柱體后面形成尾渦區(qū)，壓強(qiáng)下降。破壞了圓柱體面上前 后壓強(qiáng)分布的對(duì)稱(chēng)性，使圓柱體前后產(chǎn)生壓強(qiáng)差，形成壓差 阻力。 圖 4-22中所示的實(shí)驗(yàn)所得的亞臨界雷諾數(shù)下（層流） 的壓強(qiáng)分布曲線（虛線）比超臨界雷諾數(shù)下（紊流）的壓強(qiáng) 分布曲線（點(diǎn)劃線）更遠(yuǎn)離理論曲線。根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得，在亞 臨界雷諾數(shù)下層流邊界層的分離和超臨界雷諾數(shù)下紊流邊界 層的分離分別發(fā)生在大約 和 附近。 84 120 圖 4-22 壓強(qiáng)系數(shù)沿圓柱面的分布 理論線 超臨界 亞臨界 5107.6 Re 51086.1 Re 第五章 不可壓縮流體二維邊界層概述 第一節(jié) 邊界層的基本概念 第二節(jié) 邊界層的動(dòng)量積分方程 第三節(jié) 曲面邊界層分離現(xiàn)象 卡門(mén)渦街 第四節(jié) 繞流阻力和阻力系數(shù) 在本世紀(jì)初之前，流體力學(xué)的研究分為兩個(gè) 分支：一是研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)不考慮黏性，運(yùn)用數(shù) 學(xué)工具分析流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。另一個(gè)是不用數(shù)學(xué) 理論而完全建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上對(duì)流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研 究，解決了技術(shù)發(fā)展中許多重要問(wèn)題，但其結(jié)果 常受實(shí)驗(yàn)條件限制。這兩個(gè)分支的研究方法完全 不同，這種理論和實(shí)驗(yàn)分離的現(xiàn)象持續(xù)了 150多年， 直到本世紀(jì)初普朗特提出了邊界層理論為止。由 于邊界層理論具有廣泛的理論和實(shí)用意義，因此 得到了迅速發(fā)展，成為黏性流體動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重 要領(lǐng)域。本章介紹邊界層的基本概念及研究方法 第一節(jié) 邊界層的基本概念 一、邊界層的概念 1904年，在德國(guó)舉行的第三屆國(guó)際數(shù)學(xué)家學(xué)會(huì)上，德 國(guó)著名的力學(xué)家普朗特第一次提出了邊界層的概念。他認(rèn) 為對(duì)于水和空氣等黏度很小的流體，在大雷諾數(shù)下繞物體 流動(dòng)時(shí)，黏性對(duì)流動(dòng)的影響僅限于緊貼物體壁面的薄層中， 而在這一薄層外黏性影響很小，完全可以忽略不計(jì)，這一 薄層稱(chēng)為邊界層。普朗特的這一理論，在流體力學(xué)的發(fā)展 史上有劃時(shí)代的意義。 圖 5-1所示為大雷諾數(shù)下黏性流體繞流翼型的二維流動(dòng)， 根據(jù)普朗特邊界層理論，把大雷諾數(shù)下均勻繞流物體表面 的流場(chǎng)劃分為三個(gè)區(qū)域，即邊界層、外部勢(shì)流和尾渦區(qū)。 圖 5-1 翼型上的邊界層 II尾部流區(qū)域 I邊界層 邊界層外邊界 邊界層外邊界 在邊界層和尾渦區(qū)內(nèi)，黏性力作用顯著，黏性力和慣性力 有相同的數(shù)量級(jí)，屬于黏性流體的有旋流動(dòng)區(qū)；在邊界層和尾 渦區(qū)外，流體的運(yùn)動(dòng)速度幾乎相同，速度梯度很小，邊界層外 部的流動(dòng)不受固體壁面的影響，即使黏度較大的流體，黏性力 也很小，主要是慣性力。所以可將這個(gè)區(qū)域看作是理想流體勢(shì) 流區(qū)，可以利用前面介紹的勢(shì)流理論和理想流體伯努里方程來(lái) 研究流場(chǎng)的速度分布。普朗特邊界層理論開(kāi)辟了用理想流體理 論和黏性流體理論聯(lián)合研究的一條新途徑。實(shí)際上邊界層內(nèi)、 外區(qū)域并沒(méi)有明顯的分界面，一般將壁面流速為零與流速達(dá)到 來(lái)流速度的 99處之間的距離定義為邊界層厚度。邊界層厚度 沿著流體流動(dòng)方向逐漸增厚，這是由于邊界層中流體質(zhì)點(diǎn)受到 摩擦阻力的作用，沿著流體流動(dòng)方向速度逐漸減小，因此，只 有離壁面逐漸遠(yuǎn)些，也就是邊界層厚度逐漸大些才能達(dá)到來(lái)流 速度。 根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知 ， 同管流一樣 ， 邊界層內(nèi)也存在著層 流和紊流兩種流動(dòng)狀態(tài) ， 若全部邊界層內(nèi)部都是層流 ， 稱(chēng)為 層流邊界層 ， 若在邊界層起始部分內(nèi)是層流 ， 而在其余部分 內(nèi)是紊流 ， 稱(chēng)為混合邊界層 ， 如圖 5-2所示 ， 在層流變?yōu)槲闪?之間有一過(guò)渡區(qū) 。 在紊流邊界層內(nèi)緊靠壁面處也有一層極薄 的層流底層 。 判別邊界層的層流和紊流的準(zhǔn)則數(shù)仍為雷諾數(shù) ， 但雷諾數(shù)中的特征尺寸用離前緣點(diǎn)的距離 x表示之 ， 特征速度 取邊界層外邊界上的速度 ， 即 V xVRe x (5-1) 圖 5-2 平板上的混合邊界層 層流邊界層 過(guò)渡區(qū)域 紊流邊界層 層流底層 對(duì)平板的邊界層 ， 層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鞯呐R界雷諾數(shù) 為 。 臨界雷諾數(shù)的大小與物體壁面的粗糙度 、 層外流體的紊流度等因素有關(guān) 。 增加壁面粗糙度或?qū)油饬黧w 的紊流度都會(huì)降低臨界雷諾數(shù)的數(shù)值 ， 使層流邊界層提前轉(zhuǎn) 變?yōu)槲闪鬟吔鐚?。 二 、 邊界層的基本特征 (1) 與物體的特征長(zhǎng)度相比 ， 邊界層的厚度很小 , . (2) 邊界層內(nèi)沿厚度方向，存在很大的速度梯度。 (3) 邊界層厚度沿流體流動(dòng)方向是增加的，由于邊界 層內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)受到黏性力的作用，流動(dòng)速度降低，所 以要達(dá)到外部勢(shì)流速度，邊界層厚度必然逐漸增加。 x 65 103105 xRe (4) 由于邊界層很薄，可以近似認(rèn)為邊界層中各截面上的 壓強(qiáng)等于同一截面上邊界層外邊界上的壓強(qiáng)值。 (5) 在邊界層內(nèi)，黏性力與慣性力同一數(shù)量級(jí)。 (6) 邊界層內(nèi)的流態(tài)，也有層流和紊流兩種流態(tài)。 第二節(jié) 邊界層的動(dòng)量積分方程 邊界層內(nèi)的流體是黏性流體的運(yùn)動(dòng)，理論上可以用 N-S方程 來(lái)研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。但由此得到的邊界層微分方程中，非 線性項(xiàng)仍存在，因此即使對(duì)于外形很簡(jiǎn)單的繞流物體求解 也是很復(fù)雜的，目前只能對(duì)平板、楔形體繞流層流邊界層 進(jìn)行理論計(jì)算求得其解析解。但工程上遇到的很多問(wèn)題， 如任意翼型的繞流問(wèn)題和紊流邊界層，一